新九年级数学时期讲义第8讲与圆有关的位置关系-基础班(学生版+解析)

第8讲与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有

【例题精选】例1(2023春•西湖区校级月考）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断例2(2023秋•白云区期末）已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为（）A．点B在⊙A上 B．点B在⊙A外 C．点B在⊙A内 D．不能确定【随堂练习】1．(2023秋•温州期末）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm2．(2023秋•天河区期末）已知⊙O的半径为6，点A与点O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．不确定2直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质．

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

【例题精选】例1(2023•闽侯县模拟）已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2(2023•射阳县一模）圆的直径是8cm，若圆心与直线的距离是4cm，则该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【随堂练习】1．(2023•江岸区校级模拟）已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定2．(2023•温州模拟）已知⊙O的半径为6cm，图心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定3．(2023•夷陵区模拟）圆的直径是10cm，若圆心与直线的距离是5cm，则该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切4．(2023秋•邗江区校级期末）已知圆O的半径是4，圆心O到直线L的距离d＝6，则直线l与圆O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断3正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点诠释：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【例题精选】例1(2023•高州市模拟）如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）A．△OAB是等边三角形 B．OC平分弦AB C．∠BAC＝30° D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长例2(2023•双柏县二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CDB的度数是（）A．90° B．60° C．45° D．30°【随堂练习】1.(2023•宁波模拟）若正n边形的一个内角为135°，那么n的值为（）A．12 B．10 C．8 D．72．(2023•柯桥区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15° B．30° C．45° D．60°综合应用一．选择题1．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为（3，5），则B的坐标为（）A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）2．已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（）A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定3．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定4．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（）A．25° B．30° C．45° D．50°二．解答题5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长6．如图已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明．（2）当AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面积．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．8．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半径的长．9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，点E在AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE＝2，求△ABC的面积．第8讲与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有

【例题精选】例1(2023春•西湖区校级月考）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断分析：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．例2(2023秋•白云区期末）已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为（）A．点B在⊙A上 B．点B在⊙A外 C．点B在⊙A内 D．不能确定分析：根据题意确定AC＞AB，从而确定点与圆的位置关系即可．【解答】解：∵点C为线段AB延长线上的一点，∴AC＞AB，∴以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为点B在⊙A内，故选：C．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．【随堂练习】1．(2023秋•温州期末）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【解答】解：∵点P在⊙O上，∴OP＝r＝5cm，故选：B．2．(2023秋•天河区期末）已知⊙O的半径为6，点A与点O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．不确定【解答】解：∵OA＜R，∴点A在圆内，故选：B．2直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质．

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

【例题精选】例1(2023•闽侯县模拟）已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个分析：根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为3的点的个数．【解答】解：如图，∵⊙O的半径为7，点O到直线l的距离为4，∴CE＝3，过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝3，∴⊙O上到直线l的距离为3的点为A、B、C，故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．例2(2023•射阳县一模）圆的直径是8cm，若圆心与直线的距离是4cm，则该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切分析：由⊙O的直径为8cm，得出圆的半径是4cm，圆心O到直线l的距离为4cm，即d＝4cm，得出d＝r，即可得出直线l与⊙O的位置关系是相切．【解答】解：∵⊙O的直径为8cm，∴r＝4cm，∵d＝4cm，∴d＝r，∴直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系；若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d＝r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．【随堂练习】1．(2023•江岸区校级模拟）已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定【解答】解：∵d＝3＜半径＝4，∴直线与圆相交，故选：B．2．(2023•温州模拟）已知⊙O的半径为6cm，图心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【解答】解：∵⊙0的半径为6cm，点O到直线a的距离为6cm，6＝6，∴⊙O与直线a的位置关系是相切，故选：B．3．(2023•夷陵区模拟）圆的直径是10cm，若圆心与直线的距离是5cm，则该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【解答】解：圆的直径为10cm，则圆的半径为5cm，由圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切．故选：B．4．(2023秋•邗江区校级期末）已知圆O的半径是4，圆心O到直线L的距离d＝6，则直线l与圆O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断【解答】解：根据圆心到直线的距离6大于圆的半径4，则直线和圆相离．故选：A．3正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点诠释：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【例题精选】例1(2023•高州市模拟）如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）A．△OAB是等边三角形 B．OC平分弦AB C．∠BAC＝30° D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长分析：根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析．【解答】解：A、∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，∴△ABO为等边三角形，故A正确；B、∵OA＝AB，OC⊥AB，∴OC平分弦AB；故B正确；C、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC＝∠BOC＝×∠BOA＝×60°＝15°，故C错误．D、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，＝；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故D正确；故选：C．【点评】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．例2(2023•双柏县二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CDB的度数是（）A．90° B．60° C．45° D．30°分析：根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故选：D．【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记多边形的内角和是解题的关键．【随堂练习】1.(2023•宁波模拟）若正n边形的一个内角为135°，那么n的值为（）A．12 B．10 C．8 D．7【解答】解：∵正n边形的一个内角为135°，∴正n边形的一个外角为180°﹣135°＝45°，∴n＝360°÷45°＝8．故选：C．2．(2023•柯桥区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】解：连接OA、OB、如图所示：∵∠AOB＝＝60°，∴∠APC＝∠AOC＝30°，故选：B．综合应用一．选择题1．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为（3，5），则B的坐标为（）A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）【解答】解：过M作MN⊥y轴，连接BM，∵圆M与x轴相切，M（3，5），∴ON＝AM＝5，MN＝3，设BC＝x，则BN＝OB﹣ON＝x﹣5，BM＝AM＝5，在Rt△BMN中，根据勾股定理得：52＝32+（x﹣5）2，解得：x＝9（x＝1不符合题意，舍去），则B（0，9），故选：D．2．已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（）A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定【解答】解：∵点P到圆心的距离为3cm，而⊙O的半径为4cm，∴点P到圆心的距离小于圆的半径，∴点P在圆内，故选：A．3．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，交DE于点N，∴CM×AB＝AC×BC，∴CM＝＝4.8，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∴CN＝MN＝CM，∴MN＝2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r＝2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与AB的位置关系是：相交．故选：B．4．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（）A．25° B．30° C．45° D．50°【解答】解：∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故选：D．二．解答题5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长【解答】（1）证明：连接CO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴CO∥AD，∴CO⊥CD，∴DC为⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴AC＝AB＝3．6．如图已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明．（2）当AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面积．【解答】（1）当AC满足平分∠BAD条件时，有AD⊥CD，证明：连接BC，则∠ACB＝90°，即∠ABC+∠BAC＝90°，∵CD是圆O的切线，∴∠ACD＝∠ABC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，即∠ADC＝90°，AD⊥CD；（2）解：连结OC、OF．∵CD切⊙O于C点，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC．∴AC平分∠BAD，∴CD＝CE，∵OA＝5，CD＝4，∴OC＝OA＝5，CE＝4，∵CF⊥AB，∴CF＝2CEOE＝＝＝3，∴CF＝2×4＝8CF×OE÷2＝8×3÷2＝12，故△OCF面积为12cm2．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵＝，∴∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA