样本相关系数高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

样本相关系数复习回顾：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.1.相关关系把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.2.散点图3.正相关与负相关一个变量随另一个变量的增加呈现减小的趋势.正相关：一个变量随另一个变量的增加呈现增加的趋势.负相关：4.线性相关非线性相关

通过观察散点图中成对样本数据的分布规律,我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等.

散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小.能否像引人均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢?问题1.你能否判断出那副图的相关性更强呢？

如果变量x和变量y负相关,那么关于均值平移后的大多数点将分布在第二、四象限，对应的成对数据异号居多.························

一般地,如果变量x和变量y正相关,那么均值平移后的大多数点将分布在第一、三象限，对应的成对数据同号居多；问题3.根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗?

利用散点的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量问题4.Lxy的大小是否一定能度量出成对样本数据的相关程度吗?因为Lxy的大小与数据的度量得有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小.

样本相关系数

对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),‧‧‧,(xn,yn)，其中x1,x2,‧‧‧,xn和y1,y2,‧‧‧,yn的均值分别为和.我们称

为变量x和变量y的样本相关系数.样本相关系数的性质相关系数r的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：①当r>0时，成对样本数据正相关；

当r<0时，成对样本数据负相关.②r的范围：|r|≤1；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；但不排除它们有其他相关关系当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上.③当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；

当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；图(1)中成对样本数据的正线性相关程度很强.图(2)中成对样本数据的负线性相关程度比较强.图(3)中对样本数据的线性相关程度很弱.图(4)中成对样本数据的线性相关程度极弱

两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度：r的符号反映相关关系的正负性，|r|的大小反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度.例1根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.解:由样本数据可得由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.编号1234567891011121314年龄/岁2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6例1根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.编号1234567891011121314年龄/岁2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解:由样本数据可得由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.练习1.已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2,2),(3,－1),(5,－7)，计算成对样本数据的样本相关系数.能据此推断这两个变量线性相关吗?为什么?解：由样本数据可得虽然样本相关系数为－1，三个样本点在一条直线上，但是由于样本量太小，据此推断两个变量完全线性相关并不可靠.练习2.画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数.据此，请你谈谈样本相关系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点.(1)(－2,－3),(－1,－1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)；(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)；(3)(－2,－8),(－1,－1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27);(4)(2,0)

(1,),(0,2),(－1,),(－2,0).248x-4-320-213-16y-2••••••515x2041310y•••••20.51.5x-320-213-11y••••••51020x-10-320-213-115y-5••••••25例2.有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收人的总和)与A商品销售额的10年数据，如下表所示.解:第n年12345678910居民年收入/亿元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品销售额/万元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.

画出成对样本数据的散点图，如图所示.从散点图看，A商品销售额与居民年收人的样本数据呈现出线性相关关系.由样本数据计算得样本相关系数r≈0.95.由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强.例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如下表所示.体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性?编号身高/cm体重/kg臂展/cm编号身高/cm体重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425166176176175169184169182171177173173666149604886585458615851161166165173162189164170164173165169解：根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图(1)和(2)所示，两个散点图都呈现出线性相关的特征

练习3.随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下:解：由样本数据可得正线性相关，相关性较强，销售额与广告支出的变化趋势相同.超市ABCDEFG广告支出/万元1246101420销售额/万元19324440525354请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征.课堂小结：1.样本相关系数：2.相关系数的性质：①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r