适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习单元质检卷四三角函数

单元质检卷四三角函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若θ=cos2021π,则角θ的终边在()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限2.某学生在“捡起树叶树枝,净化校内环境”的志愿活动中捡到了三根小树枝(视为三条线段),想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形.经测量,其长度分别为3cm,4cm,6cm,则()A.能作出一个锐角三角形B.能作出一个直角三角形C.能作出一个钝角三角形D.不能作出这样的三角形3.(2024山东日照一模)在平面直角坐标系xOy中,角θ的大小如图所示,则tanθ= ()A.32 B.4C.1 D.24.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(π-C)-2ccos(π+B)=0,则tanB=()A.22 B.C.-22 D.-5.(2024湖北模拟预料)已知cos75°+α2=33,则cos(30°-α)的值为()A.13 B.-1C.23 D.-6.如图,一个风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0起先按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是 ()A.h(t)=-8sinπ6t+B.h(t)=-cosπ6t+C.h(t)=-8sinπ6t+D.h(t)=-8cosπ6t+7.已知函数f(x)=asin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,其最小值为-2,且满意f(x)=-fπ2-x,则φ=()A.±π3 B.±C.π6或π3 D.-8.已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若cos2C=1-c2b2,则角BA.π4 B.C.π6 D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列式子等于cosx-π6的是()A.cosx-5π6 B.sinx-2π3C.3cosD.2cos2π12-x210.(2024湖南邵阳三模)已知函数f(x)=cos2x-π6,则()A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)在-5π12,0上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=7πD.若x∈0,π6,则f(x)的最大值为-111.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点2π3,A.f(x)在区间0,B.f(x)在区间-πC.直线x=7π6是曲线y=f(D.直线y=32-x是曲线y=f(x12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2C=tanA(2sin2C+cosC-2),则下列结论中错误的是()A.△ABC可能是直角三角形B.角B可能是钝角C.必有A=2BD.可能有a=2b三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.请写出函数f(x)=sin2x+2π3+sin2x+2的图象的一个对称中心:.

14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinC=2sinA,b2-a2=12ac,则sinB等于.15.记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=32,x=π9为f(x)的零点,则ω的最小值为16.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥BD,AB=BD,BC=CD,AD=2,在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若c2=2abcos∠BCA,则△ACD的面积为.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2024天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=39,b=2,∠A=120°.(1)求sinB的值;(2)求c的值;(3)求sin(B-C)的值.18.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式及其图象的对称中心的坐标;(2)设α∈(0,π),且fα2=-2,求α的值.19.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b=2.(1)若A=π6,求cos2B(2)当A取得最大值时,求△ABC的面积.20.(12分)(2024山东济南一模)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)(sinA-sinB)=bsinC.(1)证明:A=2B;(2)若a=3,b=2,求△ABC的面积.21.(12分)如图,打算在河岸一侧建立一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹角为120°的马路(长度均超过3千米),在两条马路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建立两条观光线路PM,PN,测得AM=3千米,AN=3千米.(1)求线段MN的长度;(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.22.(12分)在平面四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠D=60°,AC=6,CD=33.(1)求△ACD的面积;(2)若cos∠ACB=916,求AB+34BC

单元质检卷四三角函数1.D解析因为θ=cos2024π=-1∈-π2,0,所以角θ的终边在第四象限,故选D.2.C解析因为三条高线的长度为3cm,4cm,6cm,故三边长度之比为4∶3∶2,设最大边所对的角为α,则cosα=4+9-162×2×3=-13.D解析过P作PQ⊥x轴,垂足为Q(图略),依据正切值的定义tanθ+π4=|PQ||则tanθ+π4=tanθ+11-tanθ=4.D解析由已知得bsinC+2ccosB=0,即sinBsinC+2sinCcosB=0,因为sinC≠0,所以sinB+2cosB=0,故tanB=-2,故选D.5.A解析cos(30°-α)=1-2sin215°-α2=1-2cos275°+α2=1-23=13.6.D解析设h=Asin(ωt+φ)+BA>0,ω>0,|φ|≤π2,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,∴A=hmax-hmin2=8,B=hmax+hmin2=10,ω=2πT=π6,则h=8sinπt6+φ+10.当t=0时,8sinφ+10=2,得sinφ=-1,则φ=-π2,所以h=8sin7.A解析由最小正周期为π,可得ω=2.∵最小值为-2,∴a2+1=2,a=±3.∵f(x)=-fπ2-x∴函数图象关于点π4,0对称.①若a=3,则f(x)=3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin2x+φ+π6.∵2×π4+φ+π6=kπ(k∈Z),∴φ=kπ-2π3(k∈Z).令k=1,得②若a=-3,则f(x)=-3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=-2sin2x+φ-π6,∵2×π4+φ-π6=kπ(k∈Z),则φ=kπ-π3(k∈令k=0,得φ=-π3综上可得,φ=±π3,故选A8.A解析由cos2C=1-c2b2,结合正弦定理可得1-2sin2C=1-sin2Csin2B,整理得sin2B-2sin2Csin2B=sin2B-sin2C.又C为锐角,故sinC≠0.于是sin2B=9.CD解析cosx-5π6=cosx+π6-π=-cosx+π6≠cosx-π6,故A不正确;sinx-2π3=sinx-π6-π2=-cosx-π6≠cosx-π6,故B不正确;3cosx+sinx2=32cosx+12sinx=cosx-π6,故C正确;2cos2π12-x2-1=cosπ6-x=cosx-π10.BC解析由函数f(x)=cos2x-π6,则T=π,故A错误;由x∈-5π12,0,则2x-π6∈-π,-π6,∵y=cosx在[-π,0]上单调递增,∴f(x)在-5π12,0上单调递增,故B正确;由x=7π12,则2x-π6=π,∵y=cosx图象的对称轴为直线x=kπ(k由x∈0,π6,则-π6<2x-π6<π6,令2x-π6∵y=cosx在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,∴f(x)在0,π12上单调递增,在π12,π6上单调递减,故f(x)max=fπ12=cos2×π12-π6=故选BC.11.AD解析由题意得,f2π3=sin4π3+φ=0,所以4π3+φ=kπ,k∈Z,即φ=-4π3+kπ,又0<φ<π,所以k=2,φ=2π故f(x)=sin2x+2π3.选项A,当x∈0,5π12时,2x+2π3∈2π3,3π2,所以f(x选项B,当x∈-π12,11π12时,2x+2π3由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+2π3=3选项C,当x=7π6时,2x+2π3=3π,f7π6=0,所以直线x=7π选项D,结合该选项,若f'(x)=2cos2x+2π3=-1,得cos2x+2π3=-12,解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,从而得x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,所以函数y=f(x)的图象在点0,32处的切线斜率为y'|x=0=2cos2π312.BC解析依题意得2sinCcosC=sinAcosA(2-2cos2C+cosC-2),即2sinCcosC=sinAcosA·cosC(1-2cosC),整理得cosC·[2(sinAcosC+cosAsinC)-sinA]=0,即cosC·(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinA=2sinB.当cosC=0时,△ABC是直角三角形,故A选项正确;而当sinA=2sinB时,由正弦定理可得a=2b,故C选项错误,D选项正确;无论cosC=0或sinA=13.π3,2注:只要具有kπ2-π6,2(k∈Z)这种形式的对称中心都对解析f(x)=sin2x+2π3+sin2x+2=sin2xcos2π3+cos2xsin2π3+sin2x+2=12sin2x+32cos2x+2=sin2由2x+π3=kπ,解得x=kπ2-π所以函数f(x)图象的对称中心为kπ2-π6,2,k∈Z,当k=1时,所得函数图象的一个对称中心是π314.74解析∵sinC=2sinA,∴c=2a.又b2-a2=12ac,∴b2=2a2,即b=2a.由余弦定理可得,cosB=a2+c2-b22ac15.3解析依题意,T=2πω,则f(T)=f2πω=cos(2π+φ)=cos又0<φ<π,∴φ=π6.∴f(x)=cosωx又x=π9为f(x∴fπ9=cosπ9∴π9ω+π6=π2+kπ∴ω=3+9k,k∈Z.又ω>0,∴ω的最小值为3.16.22解析∵AB=BD,AB⊥BD,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=2AB=2c.在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-2abcos∠BCA=c2,又已知c2=2abcos∠BCA,∴a2+b2=2c2.又a=BC=CD,b=AC,AD=2c,∴AC2+CD2=AD2,∴AC⊥CD.作CF⊥BD分别交BD,AD于点F,E,∵BC=CD,E,F分别为线段AD,BD的中点,∴∠CED=45°,CE=ED=1,∴S△ACD=2S△ECD=2×12×EC×ED×sin45°=217.解(1)由已知及正弦定理,得asin∵a=39,b=2,∠A=120°,∴sinB=bsin(2)方法一:由(1)及已知,得cosB=1-sin2B=23913,sinC=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)由正弦定理,得c=asinCsin方法二:由余弦定理,得b2+c2-2bccosA=a2,即4+c2-2×2c×-12=39,整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去).(3)∵C为锐角,∴cosC=1-∴sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=1313×318.解(1)由题中函数图象可知A+B=1,B-A=-3,则A=2,B=-1.又T2=7π所以ω=2πT=2,从而函数f(x)=2sin(2x+φ)-把π12,1代入f(x)解析式得π6+φ=π2+2kπ,φ=π3+2kπ(k∈Z).又|φ|<π2,故φ=π3,所以函数解析式为f(x)=2sin2x+π3由2x+π3=kπ(k∈Z)得x=-π6+kπ所以f(x)图象的对称中心的坐标为kπ2-π6,-1(k∈(2)因为fα2=2sinα+π3-1=-2,所以sinα+π3=-12.又α∈(0,π),则α+π3∈π3,4π3,所以α+π319.解(1)由正弦定理asinA=解得sinB=33,∴cos2B=1-2sin2B=1-2(2)由余弦定理得cosA=b2∵c2+14∴cosA≥12,则0<A≤π3,即A的最大值为此时S△ABC=12bcsinA=12×2×1×20.(1)证明∵(a+b)(sinA-sinB)=bsinC,由正弦定理得a2-b2=bc,∴cosA=b2∴2cosAsinB=sinC-sinB=sin(A+B)-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB,∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B),∵A,B∈(0,π),∴A-B∈(-π,π),∴B=A-B,或B+(A-B)=π(不合题意),∴A=2B.(2)解由正弦定理,得2sin又由(1)知sinA=sin2B=2sinBcosB,所以2sinB=32sinBcos因为a=3,b=2,由(1)中a2-b2=bc可得c=52所以S=12acsinB=15716,即△ABC21.解(1)在△AMN中,