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三角函数求最值的六种类型类型1.与帮助角公式1.帮助角公式:形如的式子可做如下变换:--------(1)令(1)式=,其中.例1．已知.求的单调递增区间.解析：化简得，令，，解得，所以单调递增区间为，.例2．已知函数，其中，且．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值．解析：，，，解得：，又，，；令，解得：，的单调递增区间为；（2）.类型2.二次函数型（1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最终依据已知变量的范围求最值.（2）对于和的形式，也可转化为二次函数来求解.例3．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A类型3.如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟识的二次函数，可求它的最值.例4．已知函数，则的最大值为（

）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，则.故选：A.类型4.分式型其中同名函数利用分别常数法，形如非同名函数利用数形结合的方法，形如利用单位圆与直线相交相切来解决最值问题.例5.求值域。解：，故，则值域为.例6.求函数的最大值和最小值。解：法一：如图所示，表示过点的直线与单位圆有交点时，直线的斜率，令直线方程为，原点到直线的的距离为，故函数的最大值为，最小值为0.法二：利用帮助角公式：计算，，解得：.类型5.三次函数（1）形如：等均为三次函数.（2）三倍角结构这类函数虽然最终是借助导数来实现，但它的转化方向是一样的，结果就是三次函数！例7．已知函数，则函数的最大值为_____.解析：因为，令，则，，令，解得，当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，又，，由此，得在时取得最大值，最大值为，故的最大值为.故答案为：例8．函数的值域为____________．解析：，设，，则，，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为.例9．函数在上的最大值为______.解析：.又，故令，.，，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减..故答案为：.类型6.导数型例10．（2024全国1卷）已知函数，则的最小值是__________．解析：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.例11．已知函数，则的最小值是（

）A． B． C． D．解析：函数；明显，，函数值才取最小；由．令，可得：或．当，可得；当，，，时，函数取得最小值为．故选：A．例12．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的周期为 B．的图象关于对称C．的最大值为 D．在区间在上单调递减解析：由于，故A正确；由于，即的图象不关于对称

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