【三角视域下三角形理论建构与实践探究8700字（论文）】

三角视域下三角形理论建构与实践研究TOC\o"1-2"\h\u16640摘要： 3193341绪论 5237471.1研究背景 5208171.2研究的意义及目的 527651.3文献综述 6105182张景中院士的三角新体系 7321152.1正弦的定义 711222.2平行四边形和三角形的面积 7282753重建三角视域下三角形理论的实践探索 7212073.1面积法定义正弦教学设计 782813.2教学效果调查结果 14246954对三角新体系的一点看法 157197参考文献 1721334附录1 18摘要：在初中阶段，涉及到三角知识的有锐角三角函数和解直角三角形及其应用，所学习的内容较少，但涉及到的概念是比较抽象的，定义方式过于生硬，学生只能对概念进行识记而并不能真正的理解这个概念的推导过程.知其然而不知其所以然.因此要对数学现有的结构进行改革.本文以三角形面积为线索，将三角下放到初中，用单位菱形面积与单位正方形面积作比来定义正弦，然后又以正弦为前提推导出平行四边形面积公式和三角形面积公式，用面积来建立三角，用三角几何进行推导，对三角新体系的数学课程进行教学实践探索，并表达自己对三角新体系的一些认识。关键词:新体系；正弦；改革1绪论1.1研究背景在这个电子计算机技术飞速发展的智能时代背景下，数学思想方法渗透到各个学科，科技的进步和社会的发展对人们的数学素养提出了更高的要求，同时也对数学教育提出了新挑战，数学教学面临新任务.数学是一门有血有肉的学科，不但要将知识传授给学生，还要在培养学生能力、科学素质方面等发挥重要作用.随着时代的加速发展，数学课程所承担的责任在不断增加，其内容和重点也在发生改变.同时，在中学数学大纲改革的过程中，三角、代数、几何的教学内容也在不断调整、不断更新.[1]张景中院士指出：“三角是联系几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学和高等数学的一条通道.函数、向量、坐标、复数等许多重要的数学知识与三角有关，大量的实际问题的解决要用到三角知识”.在整个初中阶段，三角的教学分成了两段:初中阶段和高中阶段.在初中阶段涉及到三角的内容仅仅只有锐角三角函数，是用直角三角形边长与边长的比值来进行定义的.而对于解任意三角形知识的内容则是安排在高中阶段,学生在经历初中锐角三角函数的学习后通常认为三角函数难学,，特别是对有关公式和定理的推导过程是教学中的一大难点.基于这些问题，张景中院士通过探讨面积解题的规律，提出“重建三角”的初中数学新体系，为三角函数找到一种更直观严谨的定义方式，将三角、几何、代数彼此渗透.用单位等腰三角形（单位菱形）的面积对正弦进行定义，将三角重新下放到初中阶段，并发展出与之相对应的一套适用于初中数学教学的逻辑体系（新定义体系）..这种定义方式与传统定义方式相比,所需要的预备知识不多，新定义可以在小学数学知识的基础上建立三角,用三角的知识引出代数工具,并探索几何,新定义体系更直观、更严谨、更具有一般性，将三角、几何、代数串在一起，三者的联系更加紧密，并交互影响.1.2研究的意义及目的1.2.1研究的意义《全日制义务教育数学课程标准》[2]指出数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.从学生学习过的三角形面积公式入手，对所需预备知识要求较低，符合课程标准的要求.传统的定义以相似三角形的概念和知识为基础，在学习了相似三角形之后才引入锐角三角函数，新定义则以直角三角形面积为基础，用单位等腰三角形(菱形面积)定义正弦，并将其与现实生活中的“折扣”联系起来，在激发了学生的求知欲的同时，还调动了学生学习的积极性对学生来说更好接受很理解.并且新定义的推导过程是较为直观简便的计算性推理，对学生来说难度并不大.在缩减课时的同时学生还能够学习更多的内容,并给学生留下更大的思考讨论的空间.提高了学习效率的同时还能“减负”.首先，对学生来说，学生能够有更充足的时间品味数学，感受数学.其次，对老师来说，老师也能有足够的的时间复习和整理其他课程内容.三角、几何、代数紧密联系相互渗透，各部分知识串到一起，有利于提高学生的数学素质和思维能力.对正弦进行重新定义之后，更加严谨，使三角内容的学习门槛降低，学生能够更为轻松的学习有关内容.1.2.2研究目的“三角”在数学课程中具有很重要的地位，是数学中十分重要的一个部分.它作为连接三角和代数的一个桥梁，在数学中是不可或缺.因此，学习好三角对于数学这门课程来说是十分有必要的，用新的定义方式代替传统定义方式，其根本目的便是解决学生对抽象概念理解困难的问题，用更少的时间学习更多、更系统的数学知识.利用这样一种新的定义方式降低三角的学习难度，学生不再害怕三角，甚至会对接下来的内容产生期待，对学习数学始终保持浓厚的兴趣.1.3文献综述“重建三角”一词源自张景中院士于2006年在“数学教学”上发表的《三角下放全局皆活—初中数学课程结构性改革的一个建议》[1]他还在《从数学教育到教育数学》[3]中提出教育数学的观点：为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造，是“教育数学”的任务.在《三角下放全局皆活—初中数学课程结构性改革的一个建议》和《三角下放全局皆活—初中数学课程结构性改革的一个方案》[4]中他提出将三角下放，请三角早出茅庐，让学生更早地学习三角，有利于学生学习后续高等数学知识和用数学知识数学方法解决实际问题.并在《一线串通的初等数学》[5]中为“重构三角”提供了系统性的可操作方案.该书从三角形内角和的知识以及三角形面积公式出发，直观且严谨地给出了正弦的新定义，为初中数学教学提供了一条新思路.张奠宙在《让我们来重新认识“三角”—兼谈数学教学要在数学上下工夫》[6]中十分赞同张景中院士所提出的“重建三角”这一想法，对“一线串初等新体系”表示了肯定，他认为数学课程改革要在数学上下工夫,仅仅依靠一些教育理念是远远不够的.沈健也在《关于“重建三角”初等新体系的研究》[7]中表示初等新体系对初中数学的改革提供了参考.初等新体系对于培养学生的几何直观能力是很有帮助的.近年来有很多老师针对“重建三角”初中数学新体系做了教学实验，实验结果表明初中三角新体系是对学生的成绩有一定影响的.崔雪芳老师“角的正弦”[8]的实验课.实验得出相较于传统的‘对边比斜边’定义来说面积法定义正弦更为直观,更易掌握.全新的课程体系更有利于学生数形结合的数学思维的形成与发展,拓展后续学习的思维空间.此外，崔雪芳老师还组织过另一个教学探究[9]，探究结果表明新体系定义更有利于学生自主构建直观的数学模型,养成独立思考，自主探究的良好数学学习习惯.王文俊老师在用面积定义正弦的教学初探中得出:与已经学习了传统定义正弦的学生相比,未学过高中三角函数定义的学生对用面积定义正弦表现出更大的兴趣.新定义体系能让学生更容易地掌握三角部分内容[10].王雅琼在利用菱形的面积公式学习三角函数的教学中总结了利用菱形的面积定义正弦的好处:“赋予角的正弦新的几何意义,具有较强的直观性,学生易于接受,特别让刚学习三角函数的学生较快地建立直观理解.”这种方式,让学生深感巧妙、激发学习兴趣,开拓了学生思维[11].杨姗老师在进行三角新体系的教学实践中得出:用等腰三角形的模型定义正弦效果更好,提出将原有的定义和正弦新定义结合起来教学的建议,充分发挥两种定义的优势.拓展学生的思维的同时还有利于培养学生的发散性思维方式[12].张东方老师在广州市海珠实验中学进行的跟踪调查实验表明三角新体系相较于传统的定义方式来说是更容易理解和记忆[13].除了上面的案例,黄国春、李苹芳、杨彩霞、廖红丽等也做了相关的研究,研究结果表明选取的定义方式在一定程度上影响着学生的成绩，新定义对于提高学生的成绩是有一定帮助的.但数学是严谨的科学，仅仅依据这些少量的教学实验并不能真正的代表三角新体系比传统定义更好，因此关于三角新体系,还需要更多的教学案例去验证.2张景中院士的三角新体系“重建三角”新体系用面积法建构三角，把底和高为1的等腰三角形的面积记为12sinA2.1正弦的定义定义有一个角为A的单位菱形面积和单位正方形面积的比(它等于有一个角为A的单位菱形面积的2倍)，叫做角A的正弦，记做sin(A)或sin2.2平行四边形和三角形的面积将长方形面积打折就可以得到平行四边形的面积.边长分别为a和b的长方形面积为ab,用长方形面积乘以a和b的夹角A，就可以得到平行四边的面积，即S连接BD，将平行四边形分为两个全等的三角形，就可以得到三角形面积公式，即S3重建三角视域下三角形理论的实践探索3.1面积法定义正弦教学设计3.1.1教学目标知识与技能目标：了解正弦定理，理解用三角形面积定义正弦的过程，能够应用正弦定理解决实际问题.过程与方法目标:在自主探究，小组讨论交流正弦的定义方法的过程中，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力培养数学思维.情感态度价值观目标:通过对定义正弦新方法的探索，提高学习兴趣，能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活，能够真正的品味数学，感受数学的美.3.1.2教学重难点教学重点:了解正弦定理，理解用菱形面积定义正弦的过程.教学难点：能够应用正弦定理解决实际问题.3.1.3教学方法根据中学生的年龄和心理特征教师首先设计问题情景，学生一开始就进入学习状态，回顾旧知并初步感知正弦的定义方法并不是只有一个，其次让学生合作交流讨论并进一步新的定义正弦的方法，最后让学生灵活运用面积法将正弦定理推导出来.整个教学过程运用了讲授法、问答法等.3.1.4教学手段：多媒体3.1.5教学流程(一)问题导入教师：我们已经学习过了在在已知三角形的底和高的情况下怎样求解三角形的面积，那如果我们只知道三角形的边长并不知道三角形的高时我们该怎样来计算面积呢？生：不会.师：那这节课我们就来学习怎样对已知两边一夹角的情况下怎样对三角形面积求解,在解决这个问题之前我们要先来引入一个新的知识——正弦.(二)新课讲授环节一师：如图1，图2在多媒体上展示一个边长全为1的正方形和一个边长为1有一个角为30°的菱形.图SEQFigure\*ARABIC1正方形ABCD图SEQFigure\*ARABIC2菱形ABCD师：同学们，正方形的角度是多少，面积怎样计算，所得结果又是多少?生:正方形的角全为90°，面积等于边长的平方为1.师：那同学们观察菱形，它的面积是不是和正方形的面积一样，你们会计算吗？生：不一样，但是我不会计算。师：为什么会不一样，是什么导致他们的面积不同呢？生：角度，正方形的角全为90°，而菱形的不是，不可以直接利用边长来求解。师：对！我们计算面积是不能只根据边长来计算的，我们还有把角度考虑进去.现在我们来具体看看这个菱形的面积是多少呢？师：要解决这个问题我们首先要引进一个新的数学概念，那就是正弦，它表示边长为1,一个内角A为α度的菱形ABCD的面积，记作sinα环节二师：大家没有接触过，可能不太能理解这个定义的意思，要理解这个概念的关键在于菱形的面积，但这个菱形的面积我们现在还不知道.师:(教师将正弦表展示在多媒体上)大家看看这个REF_Ref72092733\h表1正弦表，当角度为30°时表中所对应的值是多少？表SEQ表\*ARABIC1正弦表0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°0°0.00000.17360.34200.50000.64280.76600.86600.93970.98481.00001°0.01750.17360.35840.51500.65610.77710.87460.94550.98770.99982°0.03490.19080.37460.53990.66910.78800.88290.95110.99030.99943°0.05230.25500.39070.54460.68200.79860.89100.95630099250.99864°0.06980.24190.40670.55920.69470.80900.89880.96130.99450.99765°0.08720.25880.42260.57360.70710.81920.90630.96590.99620.99626°0.10450.27560.43840.58780.71930.82900.91350.97030.99760.99457°0.12190.29240.45400.60180.73140.83870.92050.97440.99860.99258°0.13920.30900.46950.61570.74310.84800.92720.97810.99940.99039°0.15640.32560.48480.62930.75470.85720.93360.98160.99980.9877生：0.5.师：对！为了便于理解，我们把他表示为分数12，这里的12表示的是，边长为1，一个角度为30°的菱形的面积.现在我们就可以吧我们刚刚讨论的菱形生：S菱形师：那我们再来看一个正方形，如图3，它由9个边长为一的小正方形组成，它的面积是多少？图SEQFigure\*ARABIC3正方形ABCD生：9.师：如图4，改变∠A的大小，将∠A改为α，变成一个由9个边长为一的9个小菱形组成的菱形，将大菱形的面积记为S，那么S可以表示为？图SEQFigure\*ARABIC4菱形ABCD生：S=9sin师：很好！同学们观察一下，如果我们要通过正方形与菱形来将sinα表示出来的话，要怎样表示生：S菱形师：我们对这个结论加以总结就可以得到，设边长为a的正方形面积为S,边长为a一个内角为α为的菱形面积为s,s师：这个结论是不是只适用于正方形呢？我们一起来看看.师:如图5，是一个由6个单位正方形组成的边长为2和3的长方形.图SEQFigure\*ARABIC5长方形ABCD师：同学们，这个长方形的面积是多少？生：6.图SEQFigure\*ARABIC6平行四边形ABCD师：那我们改变长方形ABCD中∠A的大小使∠A=α生：6sin师：很好,同样我们也将平行四边形和矩形的面积进行作比，即设边长为a宽为b的长方形面积为S,边长为a宽为b一个内角为α的平行四边形面积为s,s师：接着我们再回来看图1这个边长为1的正方形，它的面积可不可以看成是边长为1的有一个角为30°的菱形的两倍，也就是说把菱形的面积看成是对正方形进行打折后计算出来的.生：(带着疑问思索着，没有回答).师：我们用另一种方式来理解，假如我去服装店买衣服，看中一件售价为100元的衣服，此时商家在搞活动，全部商品八折，那我看中的这件衣服实际上需要多少钱？生：80元.师：与这个道理相同，正方形的面积为1，对该面积打五折，就等于菱形面积12生：原来是这样呀，明白了.师：那现在我们设边长为1有一个角为60°的菱形的面积是多少？同学们对照着正弦表计算一下.生:S菱形师：对！我们可不可以理解为这是对正方形的面积打了0.866折？生：可以这样说.师：把角A为α的菱形面积看作是打了几折的正方形的面积？生：sinα折环节三师：现在我们再回过头来看我们刚刚学习的正方形和长方形，他们的面积通过打折后就得到了菱形和平行四边形的面积，那么我们是不是能进一步的认为，无论是正方形、长方形只要是它的一个角度发生了变化，那它的面积也会打折扣，可以将他表示成下面这个式子S生：对！师：那学习了平行四边形的面积公式之后，我们一起来检验同学们到底掌握了多少内容.例如图，一个边长分别为a和b的长方形ABCD，改变角A的大小使∠A=α，使其成为一个平行四边形ABCD，平行四边形ABCD的面积是多少？图SEQFigure\*ARABIC7平行四边形ABCD师：同学可以举手回答.生1：对长方形ABCD打sinα折，于是平行四边形ABCD的面积就是S师：好！两边长为a和b夹角为A的三角形的面积呢？生：（沉默）.师：那我们大家一起来讨论一下.师：如图，我们连接图BD，三角形是平行四边形的？图SEQFigure\*ARABIC8平行四边形ABCD生：一半.师：那这个三角形面积是多少？生：SΔ师：好！我们接下来看这个三角形.图SEQFigure\*ARABIC9三角形ABC师：同学们可以将它的面积表示出来吗？生1：SΔ生2：SΔ生3：还可以表示成SΔ师：好！我们一起将它们整理起来就可以得到一个通用的公式，你们说老师来写.生：S师：接下来我们来实际应用一下.例如图11，在三角形∆ABC中，已知c=12,b=5，∠A=60°,求∆ABC的面积.图SEQFigure\*ARABIC10三角形ABC师：同学们可以举手回答.生：S∆ABC师：对！我们直接利用三角形面积公式将题中已知的信息代入其中，就可以直接计算出结果了，下面我们一起写一下解题过程.解根据三角形面积公式S有S(三)巩固应用师：那现在我们一起来做几个练习，同学们先尝试着自己计算，3分钟后请学生上来展示.例∆XYZ的两边XY=12m，YZ=8m，∠XYZ=120°,求其面积.图SEQFigure\*ARABIC11图5(三角形∆XYZ)生：解法如下，根据三角形面积公式就可以直接将三角形面积直接求出来.解由三角形面积公式S于是S师：同学们都是这样做的吗？有没有其他不同的答案？生：是这样做的，答案也一样.师：我们根据三角形面积公式，将已知的条件代入到公式中就可以直接将面积求出，那我们再来看下一个题，与刚才一样给同学们3分钟时间，然后请同学到台上展示.例已知一块三角形的农田面积为90m2，B=60°,c=15m生：这个题跟上个题是一样的求法，直接将已知信息代入三角形面积公式就可以将a求出来了，解题过程如下解根据三角形面积公式S于是90=a=8(四)回顾总结本节课你学到了什么？你有什么收获？1.正弦：有一个角为A的单位菱形面积和单位正方形面积的比(它等于有一个角为A的单位菱形面积的2倍)，叫做角A的正弦，记做sin(A)或sin2.平行四边形面积公式：

S3.三角形面积公式：

S(五)作业布置3.2教学效果调查结果选取两个班级的学生进行问卷调查，调查结果如下表SEQ表\*ARABIC2问卷调查选项占比A百分比B百分比C百分比D百分比题目1100100%00%00%00%题目233%66%9090%11%题目377%22%8989%22%题目49393%66%11%\\题目533%55%77%8585%题目633%9090%33%44%表SEQ表\*ARABIC3问卷调查总分占比分数占比(%)62.25%83.7%109.12%1284.93%调查结果显示，大部分学生在学习了新体系定义之后，能够理解正弦的定义.识记三角形和平行四边形面积公式，并且能够灵活运用三角形和平行四边形面积公式解决实际问题，认为这种定义方式直观易懂，能够帮助他们理解正弦.间接的用面积来的推出三角形面积公式和四边形面积公式他们接受起来更为容易，对后续的学习也产生了更大的期待，发现数学其实并不是都是枯燥的，数学也是很有意思的.4对三角新体系的一点认识4.1传统定义与新定义除了用菱形面积定义正弦外，我们还可以使用三角形来定义正弦，传统定义与三角新体系方式不同本质是相同的.传统定义：在直角∆ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，如图4-1，sin图SEQFigure\*ARABIC12直角三角形∆ABC新定义：顶角为A的单位等腰直角三角形的面积和顶角为直角的等腰三角形的面积的比（它等于顶角为A的单位等腰三角形的面积的2倍），叫做角A的正弦，记做sin(A)，或省略括弧记做sin在等腰三角形∆ABC,AB=AC=1,图SEQFigure\*ARABIC13等腰三角形∆ABCS过点B作BH垂直AC，垂足为H，如下图：图SEQFigure\*ARABIC14等腰三角形∆ABC用传统定义方式得sinA用面积法进行定义的话需作一个单位等腰三角形，作AK垂直AC，垂足为A，且AC=AK=1,如下图：图SEQFigure\*ARABIC15等腰三角形∆ABC直角三角形∆AKC由面积法新定义有sinA=观察两个表达式，sinA=也就是说，通过证明，两个定义的本质是一样的，只是它们的表示方式不同，传统定义采用边对正弦进行定义而新的定义则采用面积的比值来表示.因此可以在教学中可以将两种方式结合起来.在大多数的教师看来，用直角三角形来定义正弦是预约定俗成的，根据学生的认知水平和已有知识结构，可以先用传统的定义方式引进正弦、余弦、正切，再用新体系定义进行拓展，将适用范围拓宽，说明实质.即sinA是单位正方形到单位菱形面积的折扣，也是直角三角形中斜边和角A对边的长度的折扣，这样，将两者合理的整合在一起.让学生更加系统、直观的4.2正弦定理判相似我们把三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形称为一对相似三角形.其中相似三角形对应边的比称为相似比.在判定三角形相似时，我们一般要对三角形的角及边进行分析，过程本来是不复杂的，但有一种方法能够更简单的判别相似三角形，那就是应用正弦定理.正弦定理在任意∆ABC2在∆ABC和∆DEF中，若∠A=由已知条件和三角形内角和定理知∠C=sinsin两式作比，将sinA=sinD,a由此便可以判断∆ABC和∆这种方法相对于要对三角形的角和边逐个分析的这种方法来说，更加简便，也更为清晰明了.4.3正弦判全等全