2024新高考数学基础知识梳理与课本优题目巩固-模块11-数列

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块11-数列模块十一:数列1、数列的概念(1)数列的定义一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列(sequenceofnumber),数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1用a2表示⋯⋯第n个位置上的数叫做这个数列的第n用an说明:1.数列具有有序性,一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,注意与集合中元素的无序性区分开来.2、数列的项具有可重复性,数列中的数可以重复出现,这要与集合中元素的互异性区分开来.3、注意an与an的区别:an表示数列整体:a1,4.数列与函数的关系:数列an是从正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,⋯,n)到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记an=fn2、数列的分类3、数列的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号说明:数列的通项公式实际上是一个定义域比较特殊的函数的解析式,即an=f4、数列的递推公式如果一个数列an的相邻两项或者多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做数列a说明:(1)不是所有的数列都有递推公式.(2)递推公式是给出数列的一种方法.递推公式和数列的通项公式一样,都是关于项的序号n的恒等式,如果用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.(3)数列的表示方法:通项公式法;列表法;图象法;递推公式法.5、数列的前n项和○温馨提示an=Sn−Sn−1不是对一切正1.概念:数列an从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列整数n都成立,而是对的一切正整数n恒成立,因为如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系当n=1时,Sn−Sn−1无意义.因可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项此,由前两种情况,注意验证两种情形2.an与Sn的关系:an6、数列的函数性质(1)数列单调性的判断方法:(1)转化为函数,借助函数的单调性研究数列的单调性,如:数列an的通项公式为an=n2−n(2)利用定义判断:作差(作商)比较法,比较an+1与a例:已知数列an满足an=n2(1)借助数列的单调性研究数列的最大项与最小项.(2)利用an≥an+1a例:已知数列an的通项公式是an=7、等差数列与等比数列对比等差数列等比数列定义公式1.an=1.an=性质1.a,b,c成等差数列⇒称b为a与c的等差中项2.若m+1.a,b,c成等比数列⇒   称b为a与c的等比中项2.若m8、证明数列an(1)定义法:an−a(2)中项法:2a(3)通项法:an为n的一次函数⇔(4)前n项和法:Sn=A9、等差数列的性质:(1)在等差数列中,若m+n=(2)在等差数列an中,a(3)若an为等差数列,则Sks(4)等差数列的增减性:d>0时为递增数列,且当a1<0时前n项和Sn若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn,则A=d2,B=(1)利用an:D当a1>0,d<(2)当a1<0,d>0,前n注意:求Sn的最值时,当an=(2)利用Sn:由Sn=(3)利用函数的单调性11、等比数列的判定与证明方法:(1)定义法:若an+1an(2)等比中项法:若数列an中,an≠0且(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c12、等比数列的性质(1)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a、G、b成等比数列,那么称这个数G为中项。即G(2)等比中项的性质:(1)an(2)若m+n=(3)数列an首项是a1,公比为q1,数列bn首项为b1,公比为q2,则数列an⋅bn是首项为(4)在公比为q的等比数列an中,数列a(5)公比为qk;数列Sk、a13、递推数列的类型以及求通项方法总结:(1)定义法:等差数列的通项公式:an=等比数列的通项公式:an=(2)做差法:由an与Sn(即a1(3)累加法:由an+1(4)累乘法:已知an+1(5)已知递推关系求an形如an+1=pan(1)fn为常数,即递推公式为an+1=解法:先设参转化为an+1(2)fn为一次多项式,即递推公式为a(3)fn为n的二次式,则可设b递推公式为an+1=p⋅an+解法:一般地要先在原递推公式两边同除以qn+1,得:an+1qn+递推公式为an+2解法:先把原递推公式转化为an+2−s⋅aan+1−san形如an+1=p⋅o(1)等差数列求和:Sn(2)等比数列求和:Sn(3)分组求和法:把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列,再求和。对于求an的前n(4)倒序求和法:将数列的顺序倒过来排列,与原数列两式相加,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求出,这样的数列可用倒序相加法求和。(5)裂项相消法:就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两项彼此相消,只余有限几项,就可以化简后求和。适用条件:(1)canan+1其中(2)部分无理数列ca(6)一些常用的裂项公式:(1)1nn+(3)1nn+2=12(7)常见放缩公式:(1)2n(2)1k(3)1k(8)错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和。(9)周期法:有的数列是周期数列,把握了数列的周期则可顺利求和。【重要方法总结】1、特殊递推数列求通项公式数列数列通项公式a不动点递推法.令:an+1=an=x,即cx2−a−dx−b=0;解出两个根为α,βan+(1)当p+q=1时,an=a+b−a1−−qn−11+q.(2)当p+q≠1时,设aFn=F(1)定义:一个数列,前两项都为1,从第三项起,每一项都是前两项之和.(2)通项公式:Fn=an+(1)当p+q=1时,an+1−an=−qan−an−1+A,继续构造法,迭加法求出an.(2)当周期数列数列an满足:an+3、几个特殊数列的和自然数列的和:1平方数列的和:1立方数列的和:1奇数列的和:14、裂项求和中的方法(1)适用条件:适用于题目所给数列通项结构为分式形式的数列求和.(2)核心步骤:需把题目所给数列通项结构进行列项.其中:k列项公式:1(3)常见放缩方式:(1)形如1n+1(2)形如ka+qn(3)形如1n+【课本优质习题汇总】新人教A版选择性必修二P94.已知数列an的第1项是1,第2项是2,以后各项由a(1)写出这个数列的前5项;(2)利用数列an,通过公式b(第5题)bn,试写出数列b5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如图中第一行的1,3,6,6.假设某银行的活期存款年利率为0.35%,某人存人10万元后,既不加进存款也不取款,每年到期利息连同本金自动转存.如果不考虑利息税及利率的变化,用an表示第n年到期时的存款余额,求a1新人教A版选择性必修二P97.已知函数fx=2x−(1)求证an(2)an新人教A版选择性必修二P183.在等差数列an中,an=m,5.已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.新人教A版选择性必修二P235.已知数列an的通项公式为an=n−22n−15新人教A版选择性必修二P253.(1)求从小到大排列的前n个正偶数的和.(2)求从小到大排列的前n个正奇数的和.(3)在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数?求这些数的和.(4)在小于100的正整数中,有多少个数被7除余2这些数的和是多少?新人教A版选择性必修二P255.已知一个多边形的周长等于158 cm,所有各边的长成等差数列,最大的边长为44 cm,公差为6.数列an,bn都是等差数列,且7.已知Sn是等差数列an的前(1)证明Sn(2)设Tn为数列Snn的前n项和,若S8.已知两个等差数列2,6,新人教A版选择性必修二P2612.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设各层球数构成一个数列an(1)写出数列an*(2)根据(1)中的递推公式,写出数列an新人教A版选择性必修二P345.已知数列an的通项公式为an=n3新人教A版选择性必修二P372.已知a≠b,且ab≠a5.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列的公比等于多少?新人教A版选择性必修二P401.一个乒乓球从1 m(1)当它第6次着地时,经过的总路程是多少(精确到1 cm(2)至少在第几次着地后,它经过的总路程能达到400 cm新人教A版选择性必修二P413.求和:(1)2−(2)1+新人教A版选择性必修二P415.已知Sn是等比数列an的前n项和,S36.求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式:17.已知数列an的首项a1=(1)求证:an(2)求数列an的前n项和S8.若数列an的首项a1=1,且满足9.在流行病学中,基本传染数R0对于R0有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=3.8,平均感染周期为7天,那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要几轮传染?需要多少天?(初始感染者传染R010.已知数列an为等比数列,a1=1024,公比q=12.若T11.已知数列an的首项a1=(1)求证:数列1a(2)若1a1+12.已知数列an为等差数列,a1=1,a3=2(1)数列bn(2)数列an新人教A版选择性必修二P55(2)《莱因德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目,请给出答案:把100个面包分给5个人,使每人所得面包个数成等差数列,且使较大的三份之和的17(A)53(B)103(C)5(3)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图(1)的边长为1,把图(1)、图(2)、图(3)中图形的周长依次记为C1,C2,C3,C4(1)(2)(3)(4)(第3(3)题)新人教A版选择性必修二P5610.任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进人循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数现给出冰雹猜想的递推关系如下:已知数列an满足:a1=m(1)当m=17时,试确定使得(2)若a8=1,求m11.已知等差数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an(2)若bn=3n−1,令cn12.已知等比数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an(2)在an与an+1之间插人n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn新人教A版选择性必修二P5613.类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等,发现它们具有如下的对偶关系:只要将等差数列的一个关系式中的运算“十”改为“×”,“一”改为“”,正整数倍改为正整数指数幂,相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式,反之也成立.(1)根据上述说法,请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式;名称等差数列a等比数列b定义a通项公式b常用性质(1)a1+an(1)(2)(3)若m+n=(2)在等差数列an中,若aa相应地,在等比数列bn中,若b新人教A版选择性必修二P5714.在2015年苏州世乒赛期间,某景点用(第14题)乒乓球堆成若干堆“正三棱雉”形的装饰品,其中第1堆只有1层,就一个球;第2,3,4,⋯堆最底层(第一层)分别按图中所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n(1)求出f3(2)试归纳出fn+1与fn的关系式,并根据你得到的关系式探求15.有理数都能表示成mn(m,n∈Z,且n≠0,m与n互质)的形式,进而有理数集Q=(1)1.(2)1.24是有理数吗?请说明理由.16.平面上有nn*17.数学归纳法还有其他变化形式,例如,将数学归纳法中的第(1)步保持不变,第(2)步改为“以“当n0≤n≤kk∈若数列Fn满足F1=1,新人教B版选择性必修三P8(5)已知函数fx=2x−1x,设数列(1)求证:1≤(2)判断an(4)已知数列an的通项公式为a(4)古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,10等数称为三角形数,因为这些数目的点总可以摆成一个三角形,如下图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列,就能构成一个数列(第4题)新人教B版选择性必修三P(2)已知数列an的前n项和为Sn=(4)如图,已知直线l:y=x与曲线(第4题)曲线C上横坐标为1的点.过P1作x轴的平行线交l于Q2,过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2;再过P2作x轴的平行线交l于Q3,过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3⋯⋯(3)已知数列an的通项公式为a(4)已知函数fx=1(1)求证:an(2)数列an(5)写出数列1,(6)已知数列an中,前n项和Sn=(4)已知安装在一个公共轴上的5个皮带轮的直径成等差数列,其中最大的与最小的皮带轮的直径分别为216 mm与120已知一个无穷等差数列的首项为a1,公差为d(1)将数列的前m项去掉,其余各项依次构成的数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别为多少?(2)取出数列中的所有序号是奇数的各项,依次构成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别为多少?(3)取出数列中的所有序号是7的倍数的各项,依次构成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别为多少?新人教B版选择性必修三P27等差数列14,11,8,…前多少项的和最大?为什么?在两位数的正整数中,有多少个除以3余1的数?求它们的和.(4)已知一个凸n边形内角的度数按从小到大构成等差数列,且最小角为40∘,公差为20∘,求如果一个三角形的3个内角的度数成等差数列,这个三角形3个内角的大小能确定吗?你能得到什么结论?(2)已知等差数列an中,d(2)记等差数列an的前n项和为Sn,已知(4)在等差数列an中,已知a3+如果一个三角形的3个内角的度数成等差数列,这个三角形3个内角的大小能确定吗?你能得到什么结论?(2)已知等差数列an中,d(2)记等差数列an的前n项和为Sn,已知(4)在等差数列an中,已知a3+(3)已知函数fn=n(1)分别计算f1(2)当n为何值时,fn(2)我国古代数学名著《算法统宗》中说:九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠;次第每人多十七,要将第八数来言;务要分明依次第,孝和休惹外人传.说的是,有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止……你能根据这些信息算出每人分得了多少棉花吗?新人教B版选择性必修三P36当等比数列的首项与公比满足什么条件时，这个数列是递增数列?(4)求证:an为等比数列的充要条件是an=下图(1)是一个边长为1的正三角形,将每边3等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……试求第n个图形的周长和面积.(1)(2)(3)新人教B版选择性必修三P42(1)计算.(1)0.9+(2)a−如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列前15项的和等于多少?(3)已知等比数列的首项为-1,前n项和为Sn,如果S10S新人教B版选择性必修三P42(4)已知数列an的前n项和为Sn,点n,Sn我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?意思是,一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,求塔顶层灯的数目.你能求出来吗?新人教B版选择性必修三P43(2)求a4+a2b已知一个正三角形边长为a,以此正三角形的高为边作第2个正三角形,以此类推继续作正三角形.求前10个正三角形的周长之和.(3)设an是等比数列,且an>(6)设Sn是等差数列an的前n项和,已知13S313S3与1(2)已知等比数列an的前n项的积为Tn,即Tn=a1a新人教B版选择性必修三P44(1)求1×(2)在数列an中,S(1)设bn=a(2)设cn=a(3)求数列an的通项公式及前n(2)设数列an的前n项和为Sn,若对于任意的正整数,都有(1)求数列an(2)证明:数列bn满足bn+1=Abn+新人教B版选择性必修三P51(3)某人现有资金172500元,恰好可以以每股17.25元的价格购进某种股票10000股,预期一年后能以每股18.96元的价格卖出(股票交易税税率为0.3%);此人也可以将这笔资金存入银行,其中月利率为0.8%,每月结算一次利息且不扣利息税.你觉得该人应该用这笔资金买股票还是存银行?(取(7)从社会效益和经济效益出发,某地准备投入资金进行生态环境建设,以发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1(1)设n年内(本年度为第1年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出(2)经过多少年后,旅游的总收入就能超过总投入?新人教B版选择性必修三P516.已知a1=1,an+7.早在公元前1世纪左右,我国古代著名的《周牌算经》中就出现了与等差数列有关的内容:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至暑长一丈三尺五寸,夏至暑长一尺六寸.问:次节损益寸数长短各几何?这指的是二十四节气可以通过特定标记的日影长度来确定,每相邻两个节气之间的日影长度差为9916分;且冬至时日影长度最大,为1350分;夏至时日影长度最小,为160分.问每个节气的日影各为多少.设二十四节气的日影长按从大到小的顺序排成的数列为3.(1)已知等差数列an的前n项和为SS成等差数列吗?证明你的结论.(2)已知等比数列an的前n项和为SS成等比数列吗?证明你的结论.4.是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,写出一个满足条件的数列的通项公式;如果不存在,说明理由.5.如果a4=18.已知an满足a1a9.已知数列an满足a1+10.已知数列an是等差数列,bn是等比数列,且b2(1)求an(2)设cn=anb11.已知等差数列an的前n项和为An,等差数列bn的前n项和为Bn,且12.已知n≥2,且平面内有f新人教B版选择性必修三P601.甲、乙、丙、丁4人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一,设Pn表示经过n(1)求P1(2)用n表示出Pn2.计算1+3.将正整数数列1,(1)写出数表的第4行、第5行;(2)写出数表中第10行的第5个数;(3)设数表中每行的第1个数依次构成数列an,数表中每行的最后一个数依次构成数列bn,试分别写出数列a模块十二:立体几何初步1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2、多面体(1)定义:一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。(2)组成元素:面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;(2)棱:两个面的公共边叫做多面体的棱;(3)顶点:棱与棱的公共点叫做多面体的顶点(4)体对角线:连接不在同一面上上的两个顶点的线段.3、旋转体(1)定义:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.(2)旋转体的轴:平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.4、空间几何体的结构特征结构特征图示表面积体积柱体棱柱两底面相互平行,其余各面都是平行四边形;侧棱平行且相等.Sii圆柱两底面相互平行:以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.=2πrl+2πr锥体棱锥底面是多边形，各侧面均是三角形;各侧面有一个公共顶点.S绿表=圆锥底面是圆:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.S点彩=12lr=台体棱台两底面相互平行;是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.S台表=S底面积圆台两底面相互平行;用一平行圆锥底面的平面截圆锥，底面和截面之间的部分.Sin=πR球球心到球面上各点的距离相等;是以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.Sik5、常见的几种四棱柱之间的转化关系侧棱长等于底面是底面边长正方形正四棱柱长方体6、正棱雉的相关概念与性质(4)正棱雉:底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱雉叫做正棱雉.如《注意正三棱锥与正四面图易知正棱雉的侧面都是全等的等腰三角形.体的区别与联系:(2)正棱雉的斜高:正棱雉侧面等腰三角形的底边上的高叫做正棱雉所有棱长都相等的三棱雉体各个面都是等边三角的斜高.正棱雉的斜高都相等.叫做正四面体,即正四面(5)正棱雉的简单性质:形.正四面体是正三棱雉,-各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,斜高都相等.但正三棱雉只有在侧棱与-正棱雉的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形,如底面三角形的边长相等时图中Rt△AOE.正棱雉的高、侧棱和侧棱在底面上的投影也组成才是正四面体.一个直角三角形,如图中Rt△7、正棱台的简单概念与性质(1)正棱台的概念:由正棱雉截得的棱台叫做正棱台.一正棱台的简单性质:-正棱台的侧棱都相等,侧面是全等的等腰梯形,各等腰梯形的高相等,它叫做正棱台的斜高.-正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形.-正棱台两底面中心的连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形,如图中直角梯形OO′E8、球的相关概念与性质(4)球面:半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面.公球的截面的性质:-r=R2−d2,其中r为截面圆的半径,R为球的半径,(球的大圆、小圆:球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆.例如,把地球看作一个球时,经线是球面上从北极到南极的半个大圆,赤道是一个大圆,其余的纬线都是小圆.球面距离:两点之间在球面上的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离.8、正方体的截面形状探究(1)截面可以是三角形:一般三角形、等腰三角形、等边三角形.※截面若是三角形,则一定是锐角三角形,不可能是直角三角形、钝角三角形.(3)截面可以是四边形:梯形、平行四边形、矩形、正方形等.截面为四边形时,至少有一组对边平行.4截面不可能是直角梯形.截面可以是五边形,当截面为五边形时必有两组分别平行的边,同时有两个角相等,截面五边形不可能是正五边形.(6)截面可以是六边形,当截面为六边形时必有三组分别平行的边,同时有三组对角分别相等.截面六边形可以是等角的六边形.特别地,可以是正六边形.一般三角形等腰三角形等边三角形梯形平行四边形矩形正方形任意五边形任意六边形9、正四面体的性质（正四面体的棱长为a）(1)表面积S=3a2;(2)体积(4)外接球半径:R=64(6)对棱间的距离:d=22(8)正四面体内任一点到各面距离之和为定值610、立体图形的直观图(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,且使∠(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.(2)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤一般地,用斜二测画法画立体图形直观的步骤如下.(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴,且z′轴垂直于x′11、空间中点线面的位置关系(1)平面:1)直观理解:课桌面、黑板面、教室底面、平静的水面都给我们以平面的形象,但它们都不是平面,而是平面的一部分.2)抽象理解:平面是平的,平面是无限延展的,平面无厚薄.(2)基本事实:基本事实内容图形表示符号表示基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.(不共线的三点确定一个平面)A、B、C三点不共线⇒基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.A∈l、B基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β(3)三个推论:可简记为"线及线外一点,确定一个平面".论图形表示符号表示推1经过一条直线和这条真线外一点，有且只有一个平面A∉a⇒有且只有一个平面可简记为“两相交线推内容图形表示符号表示确定一个平面".推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b=P⇒有且只有一个平面可简记为“两平行线确定一个平面”.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a//b⇒有且只有一个平面(4)空间点线面位置关系(1)点与直线、平面的位置关系文字语言符号语言图形语言点A在直线l上A−点A在直线l外A→点A在平面α内A点A在平面α外A(2)直线与直线的位置关系文字语言符号语言图形语言公共点个数直线a与直线b异面没有公共点直线a与直线b共面相交a有且只有一个公共点平行a没有公共点直线l在平面α内l有无数个公共点直线1在平面l有且只有一个公共点α外,lTα平行l//α没有公共点(3)平面与平面的位置关系文字语言符号语言图形语言公共点个数两个平面平行α没有公共点两个平面相交α有无数个公共点12、空间中直线、平面平行(1)基本事实4:基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.基本事实4表明,空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行2)符号语言:a,b,(2)空间等角定理定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.○温馨提示#1.空间等角定理是用于证明空间两个角相等的判定定理,它是平面几何中的等角定理在空间中的推广.2.空间等角定理解决了角在空间中经过平移后大小是否改变的问题,为两条异面直线所成的角及后面的二面角的平面角的定义提供了理论依据,保证了其大小的唯一性.(3)直线与平面平行的判定定理与性质定理●名师点睛1.判定定理的条件有三条:文字语言图形语言符号表示直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行a⊂βα(1)a⊄α,2.判定定理可简记为“若线线平行,则线面平行."(4)平面平行的判定定理与性质定理▪名师点睛自然语言图形语言符号表示平面与平面平行的判如果一个平面内的两条相交直线与另一个a,b⊂α定定理平面平行，那么这两个平面平行⇒平面与平面平行的性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行β利用判定定理证明两个平面平行时,必须具备两个条件:1.一个平面内有两条直线平行于另一个平面;2.这两条直线必须为相交直线.注意面面平行判定定理中的“相交”二字，若不是相交直线则不能判定。如平面β内可以有无数条平行直线平行于平面α,但平面β与平面α相交.【总结】请总结一下空间中直线、平面平行的方法。(写出空间中与平行有关的结论)性质13、空间中直线、平面的垂直(1)异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角的定义如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′//a,b′//○温馨提示#在定义中,空间一点O是任取的,根据空间等角定理,可以判定异面直线a,b所成的角与直线a′,b异面直线所成的角θ必须是锐角或直角,即θ的范围是0∘<θ≤90∘空间两条直线所成角α的取值范围是0∘3.两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥(2)直线与平面的垂直一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我图8.6-9们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图8.6-9所示.(3)直线与平面垂直的判定定理与性质定理○温馨提示1.线面垂直的判定定理的作用文字语言图形语言符号表示如果一条直线与一个平面内a⊂α直线与平面垂直的判定定理的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直a∩b=Pl直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥α证明直线与平面垂直.由定理可知,要判定一条已知直线和一个平面垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点,这是无关紧要的.2.线面垂直的性质定理的作用1)证明线线平行.2)利用该定理可构造平行线,使这些直线都垂直于同一个平面.2.直线与平面垂直的其他性质1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.1.与线面垂直有关的结论2)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么它必垂直2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.于另一个平面.(4)直线与平面所成的角1.定义1)平面的斜线:如图,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.2)斜线在平面上的射影:如图,过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.○最小角定理斜线和它在平面内的射影所成的角(即线面角)是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角.如图所示,θ、θ1、θ3)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.2.直线与平面所成角的范围斜线和平面所成角的范围是0,1)一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0∘2)一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90∘3)直线与平面所成的角β的范围是0∘(5)二面角如图8.6-23,在二面角α−l−β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和图8.6-232∠AOB的大小与点O在l二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是0∘≤(6)平面与平面垂直的判定定理与性质定理○平面与平面垂直的其他性质与结论文字语言图形语言符号表示平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直l平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥β1.如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即α⊥β2.如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面,即α3.如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内,即α⊥β,b⊥4.如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,即α5.三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即α⊥β,α(7)空间中的距离○求点到平面距离的步骤1.找到或作出点到平面的垂线段.2.使垂线段在某一个三角形中.3.在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.2.直线和平面间的距离到面的距离都相等.一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.3.平行平面间的距离如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.4.异面直线间的距离与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度叫做两条异面直线间的距离.任意两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.【总结】请总结一下空间中直线、平面平行的方法。(写出空间中与垂直有关的结论)【课本优质习题汇总】新人教A版必修第二册P1191.已知圆雉的表面积为a m新人教A版必修第二册P1203.如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,侧棱AA1=8.若侧面AA(第3题)(第4题)4.如图,圆雉PO的底面直径和高均是a,过PO的中点O′8.分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积之间有什么关系?新人教A版必修第二册P1325.正方体各面所在平面将空间分成几部分?新人教A版必修第二册P1327.如图,三条直线两两平行且不共面,每两条直线确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面?(第7题)(第8题)8.如图,△ABC在平面α外,AB∩α7.如图,α∩β=(第7题)(第8题)8.如图,直线AA′,BB′,11.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.12.一木块如下页图所示,点P在平面VAC内,过点P将木块锯开,使截面平行于直线VB和AC,在木块表面应该怎样画线?(第12题)(第13题)13.如图,α//β//γ,直线a与b分别交α,β,新人教A版必修第二册P14514.如图,a,b是异面直线,a⊂(第14题)15.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1(1)有水的部分始终呈棱柱形;(2)没有水的部分始终呈棱柱形;(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值;(4)棱A1(5)当容器倾斜如图(3)所示时,BE⋅其中所有正确命题的序号是__________,为什么?(第15题)新人教A版必修第二册P1524.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O(1)若PA=PB=PC,则点(2)若PA=PB=PC,∠(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,新人教A版必修第二册P1622.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“​,错误的画“×”.(1)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面垂直.()(2)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面平行.()(3)过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线垂直.()(4)过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线平行.()(5)过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.()新人教A版必修第二册P16315.如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2G,则在四面体S−(第15题)新人教A版必修第二册P16419.如图,在直三棱柱ABC−A1B1(第19题)(第20题)20.如上页图,AB是⊙O的直径,点C是⊙(第21题)C的直线VC垂直于⊙O所在平面,D,E分别是VA,VC21.如图,在四棱雉P−ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为线段PB新人教A版必修第二册P1691.从多面体角度去考察棱柱、棱雉、棱台,填写下列表格:多面体顶点数V棱数E面数FVn棱柱n棱雉n棱台新人教A版必修第二册P1693.填空题(1)正方体的棱长扩大到原来的n倍,则其表面积扩大到原来的_____倍,体积扩大到原来的______倍;(2)球的半径扩大到原来的n倍,则其表面积扩大到原来的(第4题)倍,体积扩大到原来的______倍.4.如图,一块边长为10 cm的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱雉形容器,把容器的容积V(单位:cm3)表示为x(单位:5.三个平面可将空间分成几部分?请分情况说明.新人教A版必修第二册P1707.如图,四边形A′B′C′D′是▫(第7题)(第8题)8.如图,一块正方体形木料的上底面有一点E.若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直,则应该怎样画?10.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,(1)求证A′(2)求三棱雉A′(第10题)新人教A版必修第二册P17111.如下页图,在四面体A−BCD中,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段且AQ=3QC.求证:PQ//(第11题)(第12题)12.如图,在正方体ABCD−(1)B1D⊥(2)B1D与平面A1BC16.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面(A)α//β,l//α(C)α⊥β,l⊥β(D)例2已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S如图11-1-56所示,将四棱台看成从图11-1-56棱雉P−ABCD中截去棱雉P−A1S再由PO−P从而可知棱台的体积为V===一般地,如果台体的上、下底面面积分别为S1,SV新人教B必修第四册P88已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，而且这个(第6题)正三棱锥的所有棱长都为2,求这个球的体积.(4)如图所示,直角梯形ABCD分别以AB,新人教B必修第四册P88四棱台中，与一条侧棱异面的棱有几条?新人教B必修第四册P89(1)(1)已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长为1的等腰梯形,求圆台的高.(2)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是1:(1)将地球视为球体,记地球半径为R,地球球心为O,设A,B为赤道上两点,且半径OA与OB的夹角为2π3,求线段AB新人教B必修第四册P91(1)在正方体上任意选择4个顶点,然后将它们两两相连,则可能组成的几何图形为________(写出所有正确结论的编号).(1)矩形;(2)不是矩形的平行四边形;(3)有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;(4)每个面都是等边三角形的四面体;(5)每个面都是直角三角形的四面体.(2)表面积和高都相等的正n棱柱与圆柱,哪一个的体积更大?说明理由.新人教B必修第四册P104(4)如图,平面α,β,γ两两相交,a,(2)如图,已知α,β,γ(第2题)分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点新人教B必修第四册P110(3)已知平面α与平面β平行,直线AB,AC分别与α,β交于AD(第4题)(4)如图,已知α∩β=(3)正方体ABCD−A1B1C1D1中,M(3)如图,P是三棱雉A−BCD侧面ACD上一点,过点