线性代数作业纸新答案2015

第一章行列式

(-)

一、填空

ab

1.二阶行列式=a2b-ab2.

bb

1000

1200

2.四阶行列式］24

230

1234

3-11

3.设。=一2-31则元素。33=2的代数余子式&3="11.

012

二、选择

ax00々

0>0

1.四阶行列式°22的值等于D).

b3a30

00(z

a4

(A)的2a3a4一站4(B)2a3a4+。也。3。4

(C)(%%—伉力)33a4-4%)(D)（a2a3-。2。3）（4。4—瓦。4）

25

2.若行列式13—2=0,。x=(D).

25x

(A)-3(B)-2(C)2(D)3

k21

3.若左=(A),则2k0=0.

1-1

(A)-2(B)2(C)0(D)-3

、1"X

三、计导

Oxy

1.-x0z=0（对角线法则）

-y-z0

0仇000

00b200

2.000%00也也2b3b4（按第一列展开）

0000b4

a1出a3%%

000•-010

000•-200

000•-000

3.(-1)2加

0n—20•-000

n—100•-000

000•-00n

（二）

一、填空

1.若=1atj1=a,则Dn=1—atj1=(一1)"〃.

dyci?

2.若b2

C1C2

abcd

bda,

3.设Z)=，则A+44+A+A=°•

dbca143444

abd

二、选择

〃12

1.设o=〃?2

an\%2

a

annn^n—i)n!

则方=")'“("T)("-1)，7"=(A).

aina\\

(A)D(B)-D(C)(-1)"£)(D)2D

2.行列式。=0的必要条件是(B).

(A)。中有两行(列)元素对应成比例

(B)D中至少有一行元素可用行列式的性质化为零

(C)O中有一行元素全为零

(D)D中任意一行元素都可用行列式的性质化为零

2x1-1

3

3.在函数/(%)=-X-XX%的系数是(A).

12X

(A)-2(B)1(C)-1(D)2

三、计算

4124

1202

1.=0

10520

0117

a1(tz+1)"(a+2)23+3)2

b2(b+iy3+2)2S+3)2

2.=0

c2(C+l)2(c+2『(c+3)2

d2("I)?(d+2)2(d+3)2

xa•••a

aJQ.・•Q

n-1

3.Dn=,,=(x-a)[%+(n-l)a].

aa•••x

(三)

一、填空

+%+%3=0

1.齐次线性方程组1%+4羽+范=0有非零解的充分必要条件是4=1或-2.

%+工2+=0

Ax—y=a

2.若线性方程组｛:有唯一解，则2必须满足W±l.

-x+Ay=b

2玉+2X2-x3=0

3.齐次线性方程组］须-2々+4/=0的解的情况是仅有零解.(填仅有零解或有非

5玉+8X2-2X3=0

零解)

二、选择

1.若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式。(A).

(A)必为零(B)必不为零

(C)必为1(D)可为任意数

axx+2X2+3X3=8

2.设非齐次线性方程组12〃玉+2々+3/=1。有唯一解，则〃力必须满足(D).

/+%+bx3=5

3

(A)aWO且Z?W0(B)—且

2

333

(C)a丰—且—(D)aWO且—

222

kX[+x3=0

3.当左。(C)时，齐次线性方程组・2再+kx2+x3=0只有零解

kx「2X2+x3=0

(A)0(B)-1C)2(D)-2

二、计导

axx+x2=0

1.若齐次线性方程组12玉+〃/+2/=0有非零解，求〃的值.

x2+ax3=0

a10

解：方程组有非零解，则系数行列式2a2=«((?2-4)=0,

01a

则a=0或±2.

an(a-1)"•••(a-n)n

an-'(a-ir1•••(a-n)n-1

-D=­：•:■:提示：利用范德蒙德行列式的结果.

aa-\•••a-n

11•••1

解：将行列式上下左右翻转,即为范德蒙德行列式.

111

a—na—n+1a

=n(­)•

1<j<i<n+\

(a-n)n(a—n+l)n

+x2+x3=0

3.问4,〃取何值时，齐次线性方程组｛苞+〃2+七=0有非零解?

%1+2//X2+x3=0

解：方程组的系数行列式必须为0

411211

丫3f

D=11141

12〃100

故只有当〃=0或2=1时，方程组才可能有非零解.

第二章矩阵

填空

'帖］岫2。四、

1.设A=〃2■8=(4b2Z?3),贝ijAB=a2bxa2b2a2b3

9bl。3b2出4)

'岫］

a2bl/A'

(〃/1+TTT

BA=a2b2+a3b3);(AB)=arb2a2b2a3b2；AB+〃202+。303)；

l他a2b3a3b3)

a2bl〃3》i'

TT

BA=arb2a2b2a3b2

a力3。303,

’101、

2.设4=020,而〃N2为正整数，则A〃—2A〃T=O.

J0"

(1n

1--

23

3.设0=(1,R),〃=(1,1,1,)1则(网)"=(当I13?

23623

选择

1.设A,5都是”阶方阵且45=0,则(B)

(A)B=O(B)141=0或151=0

(C)BA=O(D)(A-B)2=A2+B2

2.以下结论正确的是(C)

(A)若方阵4的行列式等于0,则4=0

(B)若4?=。，则4=0

(C)若4为对称矩阵，则A?也为对称矩阵

(D)对任意的同阶方阵A,5,<(A+B)(A-B)=A2-B2

T

3.由故做乘积4则必须满足(B)

(A)m=n(B)m=t(C)n=s(D)n=t

三.计算与证明

111、f123、

1.设4=11-1,B=-1-24,求345-24及4TB.

1-11705b

q11123q11、，-21322、

解：345—24=3i1-1-1-24i1-1-2-1720

i-11,1-11,4-2

7\05177297

(1ii、123、r058、

ATB1i-i-1-240-56

J-ii八05b390

q31

，2140、0-12'6-78、

2.

,1-134,i-31、20-5-6

、40-2J

f、/、

ai2a13

a12“23x2

Ia13a23

7\x37

^^12*^1+^^22b^2+^^32*^3+"33>^3)

=+a2lx2+cz31x3

I0^22^^2+^^33*^3+■

4.设A,5为”阶方阵，且4为对称阵，证明5T45也是对称阵

证明：已知：Ar=A,则(B^AB/=BT(BTA)T=BTATB=AB

从而BTAB也是对称阵.

（二）

一.填空

,123、’-1-2-3、

1.设4为三阶可逆矩阵，且4一1=01-2，则A*=0-12

o-b<0。L

’100]

2.设4=220,则(A)'—；(A-1)*=—

1345j1010

3.设4为3阶矩阵，且国=；，则卜24尸—5A*|=-16.

,1-11、

4.设。为3维列向量，aa'=-11-1,则ara=3

J-1L

选择

1.设4为“阶可逆矩阵，4*为4的伴随矩阵，贝I］必有(A)

(A)|A*|TA『T⑻|A*|=|A|CO|A*|=|A|"(D)|A*|=|A-||

2.设”阶方阵A,5,C满足关系式45C=E,其中E为”阶单位矩阵，则必有(D).

(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E

3.已知4为”阶方阵，且满足关系式工+34+4后=0,贝U(4+E尸=(C)

(A)A-'+E(B)E+-A(C)-E--A(D)A+4E

22

4.设A,5都是“阶方阵，则下列命题中正确的是(D)

(A)若4。。且则(B)若4,6都是对称阵，则45是对称阵

(C)若45不可逆，则A,5都不可逆(D)若45可逆，则A,5都可逆

三.计算与证明

’5200

2100

1.求的逆阵.

001-2

、00117

2、12、

解：

An=朗31-1

b[25/i?b

'1-200、

-2500

川=00--

33

[25)<4-6>

2.解矩阵方程X=

1321

(251(4-5V4-61_（2一23、

解:2121厂〔。

k132

0、

3.设P―4P=/A求「

2,

解：PT4P=/故A=P/pT所以4"=P/UpT

(1公1(14、

|P|=3P*

3H1J

oY10、

而A11

11

02J027

0]33,27312732、

故A”

2n)_11、一683-684,

35

（三）

一.填空

02-2、

1.已知4=2x3不可逆，贝ijx=-6或-3

、3-11,

、

，-200、-200

2.设4+45+5=0,且4=000，则5=000

、004；4

700

5

3.设4=140,则(4—2E)T=---0

22

[003)[001

选择

1.设A,5都是“阶可逆矩阵，则必有(C)

(A)4+5是〃,阶可逆矩阵

(B)\A+B\=\A\+\B\

(C)只用初等变换可把4变为5

(D)AB-BA

2.设〃阶矩阵46,。,0满足46。0=£,贝ij(A)

(A)(CB)1=CDADAB(B)(CB)1=DA

(C)(CB)1=AD(D)(CB)1=DABCDA

3.设AX=5,则(B)

(A)当4可逆时，X=BA1

(B)当4可逆时，X=AB

(C)当时,14X0

(D)当X/O时,4可逆

三.计算与证明

(101-n

2010

1.用初等变换求矩阵的逆矩阵.

3120

104J

f-421-1、

1—4-107-1

解:

682-22

24-117

’010](1

2.设4X+5=X，其中4=-111,B=2求X.

-J卜

-10

解：X=(E-Ay1B而(E-4)T=-1--

33

2

0

33-1、(3-n

21

所以X=-120—20

33

5

11T)

0

33;

3.设三阶矩阵A,6满足关系式4一%4=34+54,且4=0-0，求5.

4

'300、

解：A}BA-BA=3A,(相-E)A4=3A,A-1=040

、007,

"3、

2

5=3(4-1—后尸=1

、2>

(四)

填空

1.设矩阵A,””的秩为r,P为机阶可逆矩阵，则R(Z4)=r.

2.设四阶方阵A的秩R(A)=2,则其伴随矩阵A*的秩为RG4*)=0

11P

、1^11

3.设4=,7?(A)=3,则左=一3.

11k1---------------------

J11a

选择

1.从矩阵4中划去一行得到矩阵5,则A,5的秩的关系为(A)

(A)K(A)>H(B)>R(A)-1(B)R(A)>R(B)>R(A)-1

(C)R(A)>R(5)>R(A)-1(D)7?(A)>7?(B)>7?(A)-1

2.在秩是厂的矩阵中(C)

(A)没有等于0的厂-1阶子式

(B)没有等于0的/•阶子式

(0等于0的厂-1阶子式和等于0的厂阶子式都可能有

(D)所有厂-1阶子式等于0

3.设A,5都是”阶方阵，且45=0,则必有(A)

(A)若R(A)=〃，则B=0(B)若贝ijB=0

(C)4=0或者B=0(D)141+151=0

102、

4.设4是4x3矩阵,且4的秩R(4)=2,而5020，则R(A5)=(C)

3)

-10

(A)0(B)1(C)2(D)3

二.计\I舁Zr~/r~

/3102

1.求矩阵4=1-12-1的秩.

13-44

7

解：R(A)=2

3k

2.设4=-1-3求k为何值时可使R(A)等于:

37

(1)1；(2)2：(3)3

-23k

解：A-02伏-1)3(1)

、°o3(l-k)(2+k)7

(1)当左=1时，R(A)=1；

(2)当上=—2时，7?(A)=2；

(3)当上。1且左。一2时,R(A)=3.

/0012

13-22-1

3.设矩阵4，求R(4),并求一个最高阶非零子式.

26-450

-1-340一5〃

012

解：R(4)=3,一个最高阶非零子式为1-22

2-45

第三章线性方程组

(一)

一、选择

1.当(D)时，齐次线性方程组A“x“x=o一定有非零解。

(A)m丰n(B)m=n(C)m>n(D)m<n

3%+日2-=0

2.齐次线性方程组《

4X2-X3=0有非零解,则上=(A)

+kx=0

4X23

(A)-1(B)1(02(D)-3

_、IA-/r-QT-

—、计导题

%1+x2+2X3-x4=0

1.求齐次线性方程组4+x2+x3-x4=0的通解.

2X]+2X2+£+2X4=0

解：对系数矩阵A进行初等行变换，化为行最简形

112-P112-P112-1

r1-r\

A211-10-1-31013-1

弓一2rl与+(—3)

2212,00-3_4

4,001

C3、

100

10-103

rl-r2rl+r3

013-10103

运「3%

_44

001001

-3?3

所以尺(A)=3。故方程组有4-R(A)=1个自由未知量。与原方程组同解的方程组为

4_

X]4=0n

x+，

23X4=0取与为自由未知量，令*4=。

4

%3-5X4=0

得所求方程组的解为,(Ce7?)

%1-x2-x3+x4=0

2.求非齐次线性方程组《

%1-x2+x3-3X4=1的通解.

%1-x-2X+3X

9342

"1-1-110、‘1-10-1p

解：B=1-11-31T001-2\

U-1-23f、00000,

所以

1

=工2++5

c1

退=2X4+5

取了2，%4为自由未知量，令％2=占，％4=%2

得所求方程组的解为:

,(《,月€R)

(2+3)%1+x2+x3=2

3.当2取何值时，线性方程组

%1+(2+3)X2+X3=A

X]+/+(2+3)W=-2

（1）有唯一解；

（2）有无穷解，并求通解;

(3)无解。

解：141=(2+2)2(4+5)

(1)当无。—5,且一2时，14上0,这时方程组有唯一解;

"111-2)(111-2、

(2)当2=-2时，B=111-2-0000

1-2)100

J1007

由于R(4)=R(5)=1<3,有无穷解。

/-2、

通解为:1+。20+0

bJ

，-2111-2-2、

(3)当4=-5时，B=1-211-11

,11-20017

由于R(A)#R(5),故无解。

(二)

一、填空

1.向量组/=(1』)1%=(2,-13,%=(0，一3尸是线性21置的.(填相关或无关)

2.设向量组/=(a,O,c)T,%=(。，。，0)1"3=(°，a，b)T线性无关，则。也。必满足关系式

abc丰0.

,12-2、

3.已知三阶矩阵4=212,三维列向量。=(a/,l)T,且。与4a线性相关，则

、304J

a——1.

二、选择

1.若向量组佻尸,/线性无关，a,尸»线性相关，贝U(C)

(A)a必可由民rS线性表示(B)/必可由a,7»线性表示

(C)S必可由a,』,/线性表示(D)4必不可由a,%6线性表示

2.向量组%,%，…，4线性无关的充要条件是(C)

(A)4,…%均不为零向量

(B)4中任意两个向量的分量成比例

(C)中任意一个向量均不能由其余s-l个向量线性表示

(D)%,火,…,区中一部分向量线性无关

3.设三阶行列式0=141=0,则(A)

(A)。中至少有一行向量是其余行向量的线性组合

(B)。中每一行向量是其余行向量的线性组合

(0O中至少有两行向量线性相关

(D)。中每一行向量都线性相关

4.设A:%,%,。3，%是一组九维向量，且线性相关，贝(D)

(A)A的秩等于4(B)A的秩等于〃

(0A的秩等于1(D)A的秩小于等于3

三、计算与证明

1.设的=0，2,3>，%=。，3/f，

(1)问f为何值时，向量组内,4,火线性无关；

(2)问f为何值时，向量组出,。20线性相关，并将表示为。1，。2的线性组合•

’111)(10-1、

解：A=(%，的,%)=123~012

J3”100r-57

(1)当f一5。0,即t。5时，=3,向量组线性无关。

(2)当/一5=0,即，=5时，7?(0,％,。3)=2<3,向量组名,。2，%线性相关，并且

%=-«|+2a2.

T

2.设/=(2,0,-1,3＞，«2=(3,-2,l,-l),4=(一5,6,-5,9＞，尾=(4,—4,3,-5『,

证明向量组名,应与片,A等价•

证明：(%%几夕2)

由此可知7?(%,02,4,夕2)=2=我(％4)=我(四，夕2)

所以向量组名,4与01,02等价。

3.已知向量组名,4,%线性无关，

证明：向量组片=%22=/+%血=%+%+%也线性无关•

证明：设存在一组数占,右，&，使得勺4+勺&+勺夕3=0

即41/+攵2(。|+4)+&(/+4+%)=0

整理，(左］+42+%)%+(%2+=3)。2+A3a3=0V

因为向量组%,%，%线性无关，

&+42+&=0

所以＜&+左3=0

勺=0

.•.41=&=&=0，所以向量组目，夕2,夕3也线性无关。

(三)

一、填空

TTT

1.向量组％=(1,0,0),a2=(0,1,0),%=(3,2,0)的一个最大无关组是啰,电.

二、选择

1.设九维向量组4的秩为厂(〃>厂)，则(B)

(A)%,火,…,％中任何r+1个向量线性相关，任何r个线性无关

(B)中一定存在含有厂-1个线性无关的向量的部分组

(C)…,4中任何线性相关的部分组向量个数多于厂个

(D)若r=s,则任何九维向量都可用4线性表示

2.设兀维向量组名,％的秩为r,则(C)

(A)若r=s,则任何应维向量都可用名,％线性表示

(B)若s=〃，则任何“维向量都可用药,。2,…,该线性表示

(C)若r=〃,则任何〃维向量都可用名,4线性表示

(D)若s>〃，则r=n

3.设九维向量组%,%，…，4的秩为3，贝I(C)

(A)%,%，…，4中任意3个向量线性无关

(B)名,…4中无零向量

(C)%,%，…，4中任意4个向量线性相关

(D)名,％，…，4中任意两个向量线性无关

三、计算与证明

1.设有向量组A：0=(2』,4,3)1,%=(-1,1,一6,6尸,%=(-1,-2,2,-9了,

%=(1,1,-2,7尸，求A的秩和它的一个最大无关组;

解：⑴

"2-1-1Or11-2O<11-21

11-212-1-110-33-1

T一

4-62-24-62-20-1010-6

、36-97)<36-9713-34

~》8-

000——0001

、000JI。00oj

/.=3

"111、

0-3-1

而(0,%,%)7()()]

、0007

该向量组的一个最大无关组为,%,%(或%,%，%)

2.已知向量组A：

6=(1,1,1,1)T,应=(1，T，1，一19，%=(1，3,1,3)T,&=(1,—1,-1,1)T.

⑴求向量组A：。］,%，%，%的秩及其一个最大无关组；

(2)将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.

‘1111、’1020、’1020、

1-13-1r01-1001-10

解：A=(0,。2,。3，。4)=

111-100010001

「131,10000)、0000,

因此(1)R(A)=3,%是向量组A的一个最大线性无关组

(2)a3=2al-a2

(四)

一、填空

kX]+2X2+x3=0

1.线性方程组卜/=0仅有零解的充分必要条件是左。-2且k。3.

xl-x2+x3=0

2.设齐次线性方程组，其中4为mX”矩阵，x为“维列向量，R(A)=r,则线性方程组

Ax=0的基础解系中有7-r个向量,当r=”时,方程组只有零解.

「H尸1

x+=0/0"1

3.四元齐次线性方程组12八的一个基础解系为4=,4=八.

x2-x4=010

4.若线性方程组A“x,x=夕的系数矩阵的秩为机，则其增广矩阵的秩为m.

5.如果”阶方阵4的各行元素之和均为0,且R(A)=〃-1,贝峨性方程组Ax=0的通解

为晨1,1,…，1尸，(左为任意实数).

二、选择

1.设4为7"X“矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=B所对应的齐次线性方程组，

则下列结论正确的是(D)

(A)若Ar=0仅有零解，则Ax=/有唯一解

(B)若Ax=0有非零解，则Ax=/有无穷多个解

(C)若Ax=夕有无穷多个解，则Ax=0仅有零解

(D)若Ax=夕有无穷多个解，则Ar=0有非零解

2.设4为?i(〃22)阶方阵，且R(A)=〃-1,是Ax=0的两个不同的解向量，k

为任意常数，则4x=0的通解为(C)

(A)kax(B)ka2(C)左(%一%)(D)左(0+4)

3.已知口,隹是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，%,%是对应的齐次线性方程

组Ax=0的基础解系，占次2为任意常数，则非齐次线性方程组Ax=）的通解为（B）

（A）左］/+左2（名+a?）+（B）左［6T］+左2（。1—。2）+

（04乡+心组+4）+”^（D）左0+左2（4一尾）+4土邑

三、计算与证明

玉+2X2+元3-44=0

1.求齐次线性方程组＜3Xi+6X2—x3—3X4=0的一■个基础解系.

5*1+10x2+x3-5X4=0

解：对系数矩阵作初等行变换，变成行最简形矩阵，有

121、(121一n’120-P

A=36-100-400010

、51017I0000,,0000,

玉+2X-x=0

所以有方程组24

X3=0

(-2)

’0、1

令,得方程组的一个基础解系为。J

7J0

O

X]+/+£+Z+%5=3

2x+x+3X+3X+4X=14

2.求线性方程组《12345的通解.

—

3X]+4々+X33X4+=—11

xl-x2+4X3+8x4+4X5=31

解：对增广矩阵施行初等行变换:

f111113、(100-85-13、

21334140104-34

B=

341-32-110015-112

1-1484317、o00000，

%]=8X4-5X5-13

有《

x2=-4X4+3X5+4,令5=%=0,得方程组的一个解

x3=-5X4+x5+12

'-13、

4

*

n=12

0

、°，

对应齐次线性方程组的基础解系为。

于是所求的通解为

X=喈+eg]+77*(q,02eR)

第四章相似矩阵和二次型

（一）

一、填空

、fl,i—j,、

1.设4=（%%「一，七）为"邛介正父阵，则内积屹•,%]=〈（z,j=1,2,

0,iA./

2.设a=（l,2,a,4）T,夕=（一4,1一2,1尸,若a,夕正交,则a力应满足的关系为a=b.

?13

3.设单位向量a与以=（1,1』）T,4=（—1,2,0厂都正交，则。=（,一二）T.

'V14V1414

4.已知T是一个”阶正交阵，〃维列向量llall=l,则IITa11=1.

二、计算与证明

1.试用施密特正交化方法把下列向量组正交化:

1p

(1)(al,a2,a,)=124

J39,

解根据施密特正交化方法：

Aa?一=0

DOJ

[22乌]8=j__2

\%町23

2

故正交化后得：(瓦区,聆=1o--

11-C

11oj

解根据施密特正交化方法:

(n

取,

-1

、b

(1)

1-3

仅2=%—

32

、b

’-1、

[g'%]n_[夕2'。3]3

EO15I"3

5

3

0-1

故正交化后得：(△,△,回)=5

3

-1-

35

4

1-

(3

57

求一组非零向量生，。3使火,。2,。3两两正交。

解啧，。3应满足方程，端％=0，即

$+九2+犬3=0，

它的基础解系为

(n(o)

$=。，$=1，

〔-工

把基础解系正交化，即合所求.亦即取

冬=品名=4「解久

5，9iJ

其中匕名］=1，匕。］=2,于是得

[1）（（1）㈠

%=0,%—1——0=-2.

3.已知4为〃阶正交阵，试证明IA1=1或