新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题七函数与导数第二讲导数-小题备考微专题2导数与不等式

微专题2导数与不等式常考常用结论1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．1.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(，＋∞)上单调递增，则k的取值范围为()A．(，＋∞)B．[2，＋∞)C．(，＋∞)D．[4，＋∞)2．[2024·辽宁试验中学模拟]已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若对随意x∈R有f′(x)>1，f(1＋x)＋f(1－x)＝0，且f(0)＝－2，则不等式f(x－1)>x－1的解集为()A．(4，＋∞)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若满意xf′(x)＋f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，则下列不等式确定成立的是()A．<B．>C．πf(π)<ef(e)D．πf(π)>ef(e)2.(1)[2024·河北石家庄一模]已知a＝，b＝ln1.4，c＝e0.2－1，则()A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a(2)[2024·全国乙卷]设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．1．利用导数比较大小或解不等式的常见技巧利用题目条件，构造帮助函数，把比较大小或解不等式的问题转化为先利用导数探讨函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2．由函数的单调性求参数取值范围的策略(1)可导函数在区间(a，b)上单调，事实上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，事实上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求参数的取值范围．[巩固训练2](1)[2024·河南驻马店二模]已知a＝e0.1－e－0.1，b＝ln1.21，c＝0.2，则()A．b<a<cB．c<b<aC．a<c<bD．b<c<a(2)若关于x的不等式sinx－x≥ax，对x∈[0，π]恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，1]C．(－∞，－)D．(－∞，]微专题2导数与不等式保分题1．解析：因为函数f(x)＝kx－lnx在区间(，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝k－≥0在(，＋∞)上恒成立，即k≥在(，＋∞)上恒成立．因为y＝在(，＋∞)上单调递减，所以当x∈(，＋∞)时，y<2，所以k≥2，则k的取值范围为[2，＋∞)．故选B.答案：B2．解析：设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1>0恒成立，故函数g(x)在R上单调递增．f(1＋x)＋f(1－x)＝0，则f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝2，故g(2)＝f(2)－2＝0.f(x－1)>x－1，即g(x－1)>0，即g(x－1)>g(2)，故x－1>2，解得x>3.故选B.答案：B3．解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，故g(x)为(0，＋∞)上的增函数，故g(π)>g(e)即πf(π)>ef(e)．故选D.答案：D提分题[例2](1)解析：令f(x)＝ln(x＋1)－，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝＝>0恒成立，所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则f(0.4)>f(0)＝0，即ln1.4－>0，所以ln1.4>，则b>a；则f()>f(0)＝0，即ln>0，所以ln>，则＝e0.2，即>e0.2，所以>e0.2－1，又>＝，所以>e0.2－1，则a>c；综上，c<a<b.故选C.(2)解析：由题意得当x>0时，f′(x)＝axlna＋(1＋a)xln(1＋a)＝ax≥0，设g(x)＝lna＋ln(1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0.因为a∈(0，1)，所以ln(1＋a)>0，＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满意g(0)≥0，即lna＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥，又0<a<1，所以a的取值范围为[，1)．答案：C[，1)[巩固训练2](1)解析：设f(x)＝ex－e－x－2x，则f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，从而f(x)在R上单调递增，则f(0.1)＝e0.1－e－0.1－0.2>f(0)＝0，即a>c，设g(x)＝2x－2ln(1＋x)，则g′(x)＝2－＝>0，从而g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(0.1)＝0.2－2ln1.1＝0.2－ln1.21>g(0)＝0，即c>b，所以b<c<a.故选D.(2)解析：因为不等式sinx－x≥ax，对x∈[0，π]恒成立，当x＝0时，明显成立，当x∈(0，π]，a≤－1恒成立，令f(x)＝－1，则f′(x)＝，令g(x)＝xcosx－sinx，则g′(x)＝－xsin