2025版新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程学生用书新人教A版选择性必修第一册

3．2.1双曲线及其标准方程学习任务1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(重点)2．驾驭双曲线的标准方程及其求法.(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简洁的问题.(难点)核心素养1．通过双曲线概念的学习，培育数学抽象素养.2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象素养.双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_确定值__等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}.3．焦点：两个_定点F1，F2__.4．焦距：_两焦点间__的距离，表示为|F1F2|.思索：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？提示：(1)当距离之差的确定值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的确定值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)点M在双曲线的右支上.做一做：1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(B)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]依据双曲线的定义知甲乙，乙⇒甲，因此甲是乙的必要条件，故选B.2．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(D)A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线[解析]当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点_(－c,0)，(c,0)___(0，－c)，(0，c)__a，b，c的关系c2＝_a2＋b2__做一做：1.设动点M到点A(0，－5)的距离与它到点B(0,5)的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是(C)A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1C.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1(y>0) D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>0)[解析]因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|，所以M点轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，其中a＝3，c＝5，所以b＝eq\r(c2－a2)＝4，所以M点轨迹方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1(y>0).2．若双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1，则其焦点在_x__轴上，焦点坐标为_(6,0)和(－6,0)__.[解析]因为方程中x2的系