专题05 概率初步（考题猜想易错必刷30题7种题型专项训练）（解析版）-2023-2024学年7下数学期末考点大串讲（北师大版）

专题05概率初步（易错必刷30题7种题型专项训练）随机事件概率的意义几何概率利用频率估计概率可能性的大小概率公式列表法与树状图法

一．随机事件（共4小题）1．下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一次骰子，向上一面的点数是6 B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【答案】B【解答】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；故选：B．2．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（）A．至少有1个球是白球 B．至少有1个球是黑球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑球【答案】B【解答】解：至少有1个球是白球是随机事件，A选项不正确；至少有1个球是黑球是必然事件，B选项正确；至少有2个球是白球是随机事件，C选项不正确；至少有2个球是黑球是随机事件，D选项不正确；故选：B．3．有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2、3、4、5．从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（）A．两张卡片的数字之和等于4 B．两张卡片的数字之和大于4 C．两张卡片的数字之和等于9 D．两张卡片的数字之和大于9【答案】B【解答】解：A、两张卡片的数字之和等于4，是不可能事件，故此选项不符合题意；B、两张卡片的数字之和大于4，是必然事件，故此选项符合题意；C、两张卡片的数字之和等于9，是随机事件，故此选项不符合题意；D、两张卡片的数字之和大于9，是不可能事件，故此选项不符合题意；故选：B．4．将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是1，故选：A．二．可能性的大小（共4小题）5．下列说法正确的是（）A．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 B．可能性很小的事件在一次实验中一定发生 C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D．不可能事件在一次实验中也可能发生【答案】C【解答】解：A、可能性很小的事件在一次实验中也会发生，故A错误；B、可能性很小的事件在一次实验中可能发生，也可能不发生，故B错误；C、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生，故C正确；D、不可能事件在一次实验中更不可能发生，故D错误．故选：C．6．啤酒厂搞促销活动，在一箱啤酒（每箱24听）中有4听的盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这样的啤酒，但连续打开4听均未中奖，小明这时在剩下的啤酒中任意拿1听，他拿出的这听正好中奖的可能性是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：连续打开4听未中奖，则在剩下的20听中有4听有奖，故小明中奖的可能性为＝．故选：C．7．如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（）行驶的可能性最大．A．东 B．北 C．西 D．南【答案】C【解答】解：该车是一直向西行驶，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能．这三种情况下，都有向西的可能．而如果第一个路口如向西，则第二个路口就没有向东的可能；如果第一个路口向南，则第二个路口就没有向北的可能；如果第一个路口向北，则第二个路口就没有向南的可能；所以它一直向西行驶的概率较大．故选C．8．甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有10种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是丙同学．【答案】见试题解答内容【解答】解：甲乙丙丁戊取礼物的顺序有10种，为：①A、B、C、D、E；②A、C、D、E、B；③A、C、D、B、E；④A、C、B、D、E；⑤C、D、E、A、B；⑥C、D、A、B、E；⑦C、D、A、E、B；⑧C、A、B、D、E；⑨C、A、D、B、E；⑩C、A、D、E、B．取得礼物D的概率分别为：P（乙）＝0.3，P（丙）＝0.4，P（丁）＝0.3，取得礼物D可能性最大的是丙同学．三．概率的意义（共5小题）9．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，故选：A．10．下列说法中，正确的是（）A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件 B．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件 C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件 D．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生【答案】C【解答】解：A．“任意画一个多边形，其内角和不一定是360°”是随机事件，故不正确；B．“在数轴上任取一点，则这点表示的数可能是有理数，也可能是无理数”是随机事件，故不正确；C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，说法正确；D．可能性是50%的事件，是指在多次试验中可能有一次会发生，故原说法错误．故选：C．11．连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为，故选：B．12．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.2，响第三声或第四声被接的概率都是0.25，则电话在响第五声之前被接的概率为0.8．【答案】见试题解答内容【解答】解：某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.2，响第三声或第四声被接的概率都是0.25，则电话在响第五声之前被接的概率为0.1+0.2+0.25+0.25＝0.8．13．下列说法：①某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为②．【答案】见试题解答内容【解答】解：①某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张不一定中奖，故错误；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6，故正确；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率不一定为，故错误．故答案为：②．四．概率公式（共12小题）14．如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如图，当涂黑1或2或3或4区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形，则P（是轴对称图形）＝＝，故选：A．15．有五条线段长分别为1，3，5，7，9，从中任取三条，能组成三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：从5个数中取3个数，共有10种可能的结果，能构成三角形，满足两边之和大于第三边的有：3、5、7；3、7、9；5、7、9三种，∴P（从中任取三条，能组成三角形）＝．故选：B．16．已知，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，则在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，即某一个电子元件不正常工作的概率为，则两个元件同时不正常工作的概率为；故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为1﹣＝；故选：D．17．在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：根据题意，得全部还有18个商标牌，其中还有4个中奖，所以第三次翻牌获奖的概率是．故选：B．18．新定义运算“◎”，对于任意有理数a、b，都有a◎b＝a2﹣ab+b﹣1，例如：3◎5＝32﹣3×5+5﹣1＝﹣2，若任意投掷一枚印有数字1～6的质地均匀的骰子，将朝上的点数作为x的值，则代数式（x﹣3）◎（3+x）的值为非负数的概率是．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵对于任意有理数a、b，都有a◎b＝a2﹣ab+b﹣1，∴（x﹣3）◎（3+x）＝（x﹣3）2﹣（x﹣3）（3+x）+3+x﹣1＝﹣5x+20，当x＝1时，﹣5x+20＝15；当x＝2时，﹣5x+20＝10；当x＝3时，﹣5x+20＝5；当x＝4时，﹣5x+20＝0；当x＝5时，﹣5x+20＝﹣5；当x＝6时，﹣5x+20＝﹣10；∴代数式（x﹣3）◎（3+x）的值为非负数的概率＝＝，故答案为：．19．三角形的三边为a，b，c，若b＝10，a，c为整数且a≤b≤c，则该三角形是等边三角形的概率是．【答案】见试题解答内容【解答】解：先求出a，b，c得各组值，再计算．由于a≤b≤c，故abc，11010，2101011，310101112，41010111213，5101011121314，610101112131415，71010111213141516，8101011121314151617，910101112131415161718，101010111213141516171819，共1+2+3+…+10＝55个三角形，等边三角形一个10，10，10，等边三角形的概率是．20．一个均匀的立方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图如图所示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面数字的2倍的概率是．【答案】见试题解答内容【解答】解：抛掷这个立方体，共6种情况，其中3，6；8，1；4，2是相对的面，2朝上，3朝上的时候共2种情况可使朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍，故其概率是．故答案为：．21．四张完全相同的卡片上，分别画有线段、等边三角形、平行四边形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的图形不是轴对称图形的概率是．【答案】见试题解答内容【解答】解：卡片中，不是轴对称图形只有平行四边形，根据概率公式，P（轴对称图形）＝．故答案为：．22．某纸箱中装有若干个白球，现从中取出3个，并将其染黑后放入纸箱，混合均匀后，从箱中随意摸出黑球的概率为，则箱中原有白球9个．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意：设箱中原有白球m个，染黑后有黑球3个，故有＝，解得：m＝9．故本题答案为：9．23．甲、乙二人参加电视台的知识竞答，其中有6个选择题和4个判断题，甲先抽（抽题后不放回），乙后抽，那么甲抽到选择题的概率是，乙抽到判断题的概率是．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）任取一道题，有10种情况，甲抽到选择题有6种情况，其概率为．（2）若甲抽到判断题，则乙抽到判断题的概率为：＝，若甲抽不到判断题，则乙抽到判断题的概率为：；∴乙抽到判断题的概率为或．24．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张，故甲摸出“石头”的概率为；（3分）（2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为；（6分）（3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出，若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子”）的概率为；若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为；若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为；若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头”）的概率为．（10分）故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大．（12分）25．一只不透明的袋子中有3个红球，3个绿球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．（1）若袋子内白球有4个，任意摸出一个球是绿球的概率是多少？（2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是，求袋子内有几个白球？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）任意摸出一个球是绿球的概率是；（2）设袋子内有n个白球，则＝，解得n＝6，∴袋子内有6个白球．五．几何概率（共3小题）26．四条直线y＝﹣x﹣6，y＝﹣x+6，y＝x﹣6，y＝x+6围成正方形ABCD．现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点P落在正方形面上（含边界）的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连掷两次，以面朝上的数