导数复习教案1（共7份） 人教课标版1

导数在实际生活中的应用

【考点及要求】导数在实际问题中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，

主要有：⑴与几何有关的最值问题；⑵与物理学有关的最值问题；⑶与实际生活有关的最值

问题；

【典型例题讲练】

【题型一】与几何有关的最值问题：

【典例】请你设计一个如图所示的仓库，它的下部形状是高为的正四棱柱（上、下底面都是正

方形,且侧面都垂直于底.面），上部形状是侧棱长都为的四棱锥，试问当四棱锥的高为多少时,

仓库的容积最大？

解:设四棱锥的高为九，底面边长为苍则在△PA。中，AC=2^00-h2,0<h<30.

在△ABC中，x=-AC2=2(900-/i2),

乂2

9172qO

V=x10+-x-h=--/1-20/i+6OO/1+18000,

所以仓库的容积33

•2

所以V=-2/1-40/1+600.

由V=0,得%=10也=-30（舍去）.

当0VhV10时,V>0;当10<h<30时V0.

因此,当力=1。时"取得极大值，也是最大值.

故当四棱锥的高为时,仓库的容积最大.

练习：请你设计一个包装盒，如图所示是边长为的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全

等的等腰直角三角形，再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形

状的包装盒、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.

()若广告商要求包装盒侧面积()最大，试问应取何值？

()若广告商要求包装盒容积()最大，试问应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

［方日昨导】()可也包菜金的高为。,灰而已长为(),笫出马的关2式，并注明的取传搞⑥，算利用

(W而如2式表3出包菜盒侧面公关孑的上敛蒯析式，展后求出佝咐宓取得展大保即可;()利用

体也公式表3出包装食客船关孑的必致蒯析式，贵后利用导数知物求出何时它取将星人包即

可.

【解析】()隹包装盒的另用(),血面包。用(),瞋)<<

施据巡舂布()()(<<),

所以15cm时包累盒侧面。.程.£.

()糠据肱毒布()()()(<<),

所以'()，

当<<的’>递信；书<<o寸V递减.

所以，书时取根之仔也思凝£住.

此时,包装盒的需与底而过长的反■缶为L.

2

印的包菜会客曲()展.大，此由包装盒的福与寐面0上的比仓为

2

【J便】本翘金勇老布金向包或能力、数孽阖凝能力及已用教孽为铝豳头安防向胭的能力、

建玄敢孽必敢微型来蒯能力、导救在安际向翘中的应用.

变式:某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为

米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为元平方米,底面的建造

成本为元平方米，该蓄水池的总建造成本为加元(口为圆周率).

()将表示成的函数()，并求该函数的定义域；

0讨论函数()的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.

【解析】()因为蓄水池侧面的总成本为•n九元，底面的总成本为n元，所以蓄水池的总成

本为(”“)元.又据题意贝n",所以()，从而()n().

因)，又由，可得〈故函数()的定义域为().

()因()()，故'()().令’()，解得，(因不在定义域内，舍去).

当6()时’()),故()在()上为增函数；当6()时’()〈故()在()上为减函数.

由此可知()在处取得最大值,此时.即当时,该蓄水池的体积最大.

变式：如图，在边长为(单位：)的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它

的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型.设切去的等腰三角形的高为.

()求正四棱锥的体积()；

O当为何值时，正四棱锥的体积()取得最大值？

(第题)

解()设正四棱锥的底面中心为，一侧棱为.则

由于切去的是等腰三角形，所以=,=一，..........分

在直角三角形中，

分

所以0=••[(-)]•=)(—)，(<<).

分

(不写<<扣分)

()'()=)[(—)+)]=)(—))，..........分

令'()=,得=(舍去)，=.

当G(,)时，，()>,所以()为增函数；当c(,)时，，()<,所以0为减函数.

所以函数0在=时取得极大值，此时为o最大值.

答：当为时，正四棱锥的体积()取得最大值..........分

变式：如图,等腰梯形的三边分别与函数的图像切于点.求梯形面积的最小值.

【解析】衩梯彭的而融为，点的生杼为()(V0).出巡仓得点的生杼.丹()，

上旗的方程为.

•••f•f

2旗的方程为()()，即.

令，得,.:().

金,得,•:().

X()XX()>.

韦£1仪由，印时，取等考，£1G()],.：时荀徽J伯为.

所以杨数的而在.的展J/为.

【题型二】与物理学有关的最值问题；

【典例】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米时)

的函数解析式可以表示为(<0,已知甲、乙两地相距千米.

()当汽车以千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

()当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升？

【葩析】()当40千米时，住专“甲他爹)己地，心融3J时,惠蒂箱伤•油

(XX)X(升).

()当速度为孑米J时,伤乡〃中地到乙他，竹级3J0寸，廷杨油量为()来俵巡卷将

()(xx)x()(<<),

'()(<<),

金'(),得.

韦e()时'()<()黑减必敢；

韦2()时'()>()1优/敢.

韦时，0为()在(]上，布一个极保，所以这个极仓就袅星J街.

所以韦俊专以80牛米J时的速度匀速竹级时，〃卬地到乙地荏油最少，镇.少为11.25先

练习：甲乙两地相距SKm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过CKm/h,已知

汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(K

m/h)的平方成正比比例系数为b,固定成本为a.

()把全程运输成本(元)表示为速度V(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域;

()为了使全程运输成本最小；汽车应以多大的速度行驶.

解析：()依题意可知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为上，所以全程运输成本为:

V

y=a--+bv2--=s(—+bv).所以所求函数及其定义域为y=s(—+bv),VG(0,C］；

vvvv

0函数y=s(@+bv)的导数为y'=［5(-+bv)］'=s(b一=),令sg-=)=0

VVVV

「.u=•.函数y=s(?+0v)在区间0,4］是减函数；在区间［聆,+8是增函数，

所以当时，行驶速度为u=J；当甘〉C时行驶速度为v=c.

【题型三】与实际生活有关的最值问题：

【典例】最大利润问题

例1.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量X(吨)与每吨产品的价格〃(元吨)

之间的关系式为：〃=24200-4幺，且生产吨的成本为R=50000+200X(元).问该厂

5

每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入一成本)

思路分析：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用导数求最值的方法进行求解。

10

解：每月生产吨时的利润为/(X)=(24200--x2)^-(50000+200%)

1a

=--x3+24000%-50000(尤>0)

3

由《(X)=——f+24000=0解得X=200,々=—200(舍去).

因/(x)在［0,+oo)内只有一个点x=200,使r(x)=0

故它就是最大值点，且最大值为：

/(200)=(200)3+24000x200-50000=3150000(元)

答：每月生产吨产品时利润达到最大，最大利润为万元.

【J集】本蒯注中e有一个极伟或，那么它就襄展苗皮商决此为荀关利洵的安窿应用睡，应灵

港也用胭径尊仔，建玄利他的而教关算，利用身教来单蹲必施的枭.侍.常见的基本篝量关?存：

（）利徇收入成本；

（）利洵名伶户舄的刺洵X帽售华薮.

变式:.已知某商品的进货单价为元件，商户甲往年以单价元件销售该商品时、年销量为万

件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益.据测算，若今年的实际销售单价为元件（W

W）,今年新增的年销量（单位：万件）与（一）成正比，比例系数为.

（）写出今年商户甲的收益（单位：万元）与今年的实际销售单价间的函数关系式；

（）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益（即比往

年收益更多）？说明理由.

解（）由题意知，今年的年销售量为+（一）（万件）.

因为每销售一件，商户甲可获禾女一）元，所以今年商户甲的收益=［+（-）］（一）

=­I—，（w＜）............分

（）由（）知=—+一,WW,从而，=—+=（—）（一）.

令'=,解得=,或=.列表如下：

(,)(,)(，)

'()+—+

0递增极大值递减极小值递增

分

又（）=，（）=，所以0在区间［,］上的最大值为（万元）.

而往年的收益为（一）x=（万元），

所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.

.............分

【典例】甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边处,

乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸的处，乙厂到河岸的垂足与相距，两厂要在此岸边

合建一个供水站，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米。元和。元，问供水站建

在岸边何处才能使水管费用最省？

解法一：根据题意知，只有点在线段上某一适当位置，才能使总运费最省，设点距点，则•••

_x->!BD-+CD2=Vx2+402

，••

又设总的水管费用为元，依题意有：y“(—)。J—+402(0<x<50)

5ax

'-aJ/+402,令，，解得x

在()上，只有一个极值点，根据实际问题的意义，

函数在七()处取得最小值，此时一X()

...供水站建在、之间距甲厂处，可使水管费用最省.

40几

------40cot仇(0v。v—),___._八

解法二：设则sin。2,AC=50-40cot。

设总的水管费用为(0),依题意，有

405-3cos。

a-----------------------

/(0)。(一•9)sin。aa・sin。

(5-3cos0)r•sin夕一(5-3cos0)•(sin，)'3-5cos0

工,-------------------------------------------------------=40a---------------

:.于(°。siir0sin"0

3

令/'(9),得0M

343

根据问题的实际意义，当9M时，函数取得最小值，此时。

•♦.一。()，即供水站建在、之间距甲厂处，可使水管费用最省.

练习：设工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为.铁路线上距离为100km处有一原料

供应站，现要在铁路之间某处修建一个原料中转站，再由车站向工厂修一条公路.如果已

知每千米的铁路运费与公路运费之比为：，那么D应选在何处，才能使原料供应站运货到

工厂所需运费最省？

解析：设之间的距离为，则W4=+202,|ca=100—X,如果公路运费为元/,那

么铁路运费为元/.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需运费为，

OQ________

y=|«|C£>|+<z||«(100-x)+aV%2+400,(0<x<100)

3rir3/?r

.•.y'=--a+/令一一a+—.—==0解得x=15,(x=-15)舍去.

5ylx2+4005Vx2+400

且x=15是函数在定义域内唯一的极值点.所以x=15是函数最小值点.

由此可知，车站D建于B,C之间且与B相距15km处时，运费最省.

变式:.如图，某商业中心有通往正东方向和北偏东。方向的两条街道，某公园位于商业中心

北偏东。角(O〈evM,tan(9=3G),且与商业中心的距离为后公里处，现要经过公

2

园修一条直路分别与两条街道交汇于，两处.

()当沿正北方向时，试求商业中心到，两处的距离和；

O若要使商业中心到，两处的距离和最短，请确定，的最佳位置.

【解析】()以为原点，所在直线为x轴建立坐标系.设P(机,〃)，

0<0<—,tan0=30cos0=，sin。=,

21414

则祖=OP-sin。,n=OP-cos9=>...分

22

依题意，±,则2，，商业中心到.两处的距离和为.5km.

2

()方法：当与X轴不垂直时，设：y_1=&(x_2),①

22

令丁=0,得与=_^|+|；由题意，直线的方程为y=6x,②

解①②联立的方程组，得“八成，OB=&+其=2*B=9卜一士,

112也-收、11加8k-C

y=OA+OB=-^-+-+^^-,由XA>0,xB>0,得&>G，或氏<0.

2k2k-y[3

…分

一8省+此处拽警®令旷=0,得女〜正，

伏-6¥2kz2二a-百了"3

当仆日时，,<0,y是减函数；当-*<々<0时，旷>0,y是增函数，

.•.当％=_3时，y有极小值为9km；当人〉百时，y'<0,y是减函数，结合⑴知y>13.5.

3

综上所述，商业中心到.两处的距离和最短为9km,此时6km,3km,

方法：如图，过作交于，交于，设Na,

△中PNONOP得，，

sin(90一。)sin(。-30)sin120

△中N。a.=一丝一得附=sin(120.c)

sinasin(120-a)sina

同理在△中，—­一"-----得MB=4吗。，

sinasin(120-a)sin(120-a)

〜八门sin(120°-a)4sina。G二八八

y=OA+OB=-----------------d-----------；-------+l+4>214+5=9，.......分

sinasin(120-a)

当且仅当sin(120二a)=——4sina——即sin(120。一a)=2sina即tana=时取

sinasin(1200-a)3

等号.

,69

x——4

方法：若设点3(加,®),则：J22,得4+4,0),

92m-l

y/3m-m——

22

44

/.OA+OB=2m-\------F4=2m-1+1++4>9,分

2m-12m-I

43

当且仅当2加-1=----即-m=一时取等号.

2m-12

得**+(

方法：设A(〃,0),：八°丁舟

69

--0

22

44

OA+OB=n+2XDR=〃一4+4++l=(n-4)+——+5>9,…分

n-4〃一4

4

当且仅当〃-4=——即〃=6时取等号.

〃一4

答：选地址离商业中心6km,离商业中心3km为最佳位置.……分

变式.如图，A,8为相距2Am的两个工厂，以AB的中点。为圆心，半径为2k”画圆弧。

MN为圆弧上两点，且，A8,，A8，在圆弧MN上一点P处建一座学校。学校P

受工厂A的噪音影响度与AP的平方成反比，比例系数为，学校P受工厂B的噪音影响

度与BP的平方成反比，比例系数为4。学校尸受两工厂的噪音影响度之和为了，且设

AP=xkm。

()求y=/(x),并求其定义域；

()当AP为多少时，总噪音影响度最小？

-7T/TV

【解析】（I）连接，设=a，则一二，在△中，由余弦定理得

33

=12+22_2xix2cosa=5-4cosa>在△中，由余弦定理得

BP2=I2+22—2x1x2COS（TT-（X）=5+4coscc,......分，39=10-x?,则

1414yr27r11

丁=庐+萨=/+]0_/..........分；一—，则--WcosaK-,

3322

3<5—4cos<2；<7>:-上£x$币>

y=」+—,y/3<x<yfjo....................分（II）令

x210-x2

7+4（£+10）（攵-10）

分由y=o,

（IO—）??（10-/）2

得£=£或(舍去)，当3<z<y,y<o,函数在(3,孩)上单调递减；当?u<7,y>o,

函数在(四,7)上单调递增；：.当£=四时，即芯=叵时，函数有最小值，也即当为空

3333

()时，“总噪音影响度”最小......分

【典例】如图，有一矩形钢板缺损了一角(如图所示)，边缘线上每一点到点的距离都等于它

到边的距离.工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若=lm,=0.5m,

问如何画切割线可使剩余部分五边形的面积最大？

MEC

4B

I解析I由题知，边缘线是以点为焦点，直线为准线的抛物线的一部分.

以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则（，）,（,）.

所以边缘线所在抛物线的方程为=（ww）.

要使如图的五边形面积最大，则必有所在直线与抛物线相切，设切点为（，）.

则直线的方程为=（一）+,即=一，

由此可求得点，的坐标分别为（，）,（,-）.

所以△=（）=♦•（+）

=♦，6（,1，

所以，（）=.

显然函数（）在（，］上是减函数，在（，］上是增函数.所以当=时，△取得最小值，相应地，五

边形的面积最大.

此时点、的坐标分别为（，）,（,—）.

此时沿直线划线可使五边形的面积最大.

【课堂检测】

.已知矩形的两个顶点在轴上，另两个顶点在抛物线在轴上方的图像上，则这种矩形中面积最

大的矩形边长为（）.

［解桁］也巳加可得，短超在岫e的苻个顶点关孑鹰立对希•,42矩彭在岫e的包长为，则短彩的

,26,473

另一边会为，面a为0«.令'得——，此时忿彭而次展之.所以G砧c的一包长为——，另一边

33

长哈

.内接于半径为的球并且体积最大的圆锥的高为().

【循析】设®雉的,处，灰而半必为，粥(),・：,

.:兀()兀,

・：’兀兀合’得.

•已知球的直径为，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？

［解析］如右图所示，设正四棱柱的底面边长为，高为，

由于++=,

•■•=(-).

二球内接正四棱柱的体积为

=­=(-))«

'=(1)=,

在(，)上，函数变化情况如下表:

1+一

/极大值X

由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为.

.如图所示：一吊灯的下圆环直径为，圆心为，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态,

并且与天花板的距离(即)为，在圆环上设置三个等分点，，.点为上一点(不包含端点、)，同

时点与点，，，均用细绳相连接，且细绳，，的长度相等.设细绳的总长为.

()设N。0,将表示成《的函数关系式;

()请你设计心当角。正弦值是多少时;细绳总长最小，并指明此时应为多长.

2

解：()在/中，cosfl,o,

22(3-sin

•cos00cos0(<0<).

-co«：fr"(3-sin,(―而fl>3ainAl

()，"cost6cos1^，令/，贝lj9.

0,7

当o＞时，'＞：o＜时，o在L4」上是增函数,

...当角0满足。时，最小，最小为；此时一().

.请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的

正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解：设为x加，则1cx＜4

由题设可得正六棱锥底面边长为：^32-(x-l)2=yls+2x-x2,

故底面正六边形的面积为：

6.♦(，8+2x-x?)2=~,(8+2x-X」),(单位：〃产)

42

帐篷的体积为:

v(x)=^(8+2x-x2)[|(x-l)+l]=y^(16+12x-x3)(单位：m3)

求导得丫(外=5-(12-3/).

令V(x)=O,解得x=—2(不合题意，舍去)，x=2,

当l<x<2时，V(x)>0,V(£)为增函数；

当2<x<4时，V(x)<0,V(x