第四讲 函数最值问题辅导 高一年级上册数学苏教版（2019）必修第一册

第四讲

函数最值问题

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适用学科高中数学适用年级高一

适用区域苏教版区域课时时长（分钟）120

知识点单调性的概念、单调性的判断（证明）方法、单调性的应用、最值问题

教学目标使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用

通过渗透数形结合的数学思想，掌握求函数最值的方法

教学重点函数最大（小）值的定义和求法

教学难点如何求一个具体函数的最值

「最大值

定义一

L最小值

函数的最值一

_______________I-配方法

求解-一换元法

数形结合法

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教学过程

一、导入

二、知识讲解

知识点1最值的定义

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数以满足

①对于任意xe/,都有①对于任意xe/,都有

条件

②存在xoel,使得f(x0)=M②存在％e/,使得f(x0)=M

结论M为最大值Af为最小值

知识点2函数的最大值

函数图象上任意点尸的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变

量为x时对应的函数值的大小.

(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.

(2)由于点C(%o，%)是函数丁=/(幻图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定

义域内任意了,都有y<%，即/CO</(/)，也就是对函数y=/(%)的定义域内任意x,

均有/(x)W/(Xo)成立.

(3)一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：

①对于任意的xe/,都有

②存在X。GI,使得/(x0)=M.

那么，称〃是函数y=/(x)的鬟木值..

(4)反映了函数y=/(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是

图象有最高点，并且最高点的纵坐标是

(5)函数y=-2%+1,xe(-l,+oo)没有最大值，因为函数y=-2x+l,xe(—L+°°)的

图象没有最高点.

(6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数

才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.

知识点3函数的最小值

⑴函数最小值的定义是：

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一般地，设函数y=y（x）的定义域为I,如果存在实数M满足：

①对于任意的X日,都有4xRM；

②存在尤oG/,使得八比）=M.

那么，称M是函数y=加）的最小值。

函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.

⑵讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才

存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.

三、例题解析

【教学建议】

此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放

矢的进行讲授或与学生互动练习。

类型一单调区间的判断并求最值

例一

画出函数y=—N+2|x|+3的图象，指出函数的单调区间和最大值.

类型二通过单调性求函数最值

例二

2

求函数y=——在区间［2,6］上的最大值和最小值.

x-1

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类型三求抽象函数最值

例三

已知函数/(x)对于任意x,yeR,总有/(x)+/(y)=/(x+y),且当尤>0时，/(x)<0,

/(D=-f.

(1)求证：/(x)在R上是减函数；

⑵求/(%)在［-3,3］上的最大值和最小值.

类型四函数最值的应用

例四

将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其

销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

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四、课堂运用

基础

1.若函数兀0=尤2+2伍―1）小+2在区间（一8,4）上是减函数,则实数4的取值范围是

2.已知函数尸x+J2x-1,下列说法正确的是.（填序号）

①有最小值!，无最大值；

2

②有最大值工，无最小值；

2

③有最小值工，最大值2；

2

④无最大值，也无最小值.

3.已知函数y=%2—2x+3在区间［0,加上有最大值3,最小值2,则根的取值范围是

巩固

4.函数y=-x2+6x+9在区间［a,b］（a<*3）有最大值9,最小值一7,则。=，b

7

5.若丁=-一,^G［-4,-1］,则函数y的最大值为

x

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6.已知2%2V3x,求函数/(%)=/+尤+1的最值.

7.求函数y=x+Jl-x的最大值.

8.如果函数/(九)=(%—1『+1定义在区间卜［+1］上，求/(%)的最小值.

拔河

9.已知函数«x)=%2—2x+2.

(1)求1X)在区间1,3上的最大值和最小值；

(2)若g(x)=/(x)—和v在［2,4］上是单调函数，求m的取值范围.

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10.若二次函数满足人x+l）—y（x）=2x且人0）=1.

（1）求犬X）的解析式；

（2）若在区间［―1,1］上不等式1x）>2x+〃z恒成立，求实数m的取值范围.

11.已知丁=4a(x-a)(a>0),,求M=(x-3)2+;/的最小值.

12.已知函数/。）=奴2+2以+1在区间［—3,2］上的最大值为4,求实数。的值.

课堂小结

利用单调性求函数的最大（小）值：

（1）定义最大值：设函数j=/（x）的定义域为/,如果存在实数M满足：对于任意的XG/,都

有了（T）SM；存在的0/,使得了（%）=M.那么，称M是函数J=/（工）的最大值（Mzr加加诙/〃e）.

仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumVahie）的定义.

（2）配方法：研究二次函数『=公，嬴+C（awO）的最大（小）值，先配方成

了=域1+之y+修士后，当a>0时，函数取最小值为处二£；当a〈o时，函数取最大

la4a4a

田4ac-b1

值--------

4a

（3）单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利

用函数的单调性求函数的最大值或最小值.

（4）图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.

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五、课后作业

1.如果函数八x）=N+bx+c对任意的实数无，都有/U+x）=/（—x）,那么火-2）,式0），＜2）

的大小关系为.

2.函数y=k—3|—lx+l|的.（填序号）

①最小值是0,最大值是4；

②最小值是一4,最大值是0；

③最小值是一4,最大值是4；

④没有最大值也没有最小值.

3.函数/。）=——1——的最大值是______

l-x（l-x）

4.求函数1y=x+Jl-X的最大值.

5.已知/4I,且a—220,求函数/（为=/+。*+3的最值.

6.已知/（犬）=/一2%+3,当1£上,，+1]«£H）时，求/（X）的最大值.

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7.求函数y=-%(%-。)在x£［-1,1］上的最大值.

8.已知函数次工)=渥一|x|+2〃一1,其中〃20,Q£R.

(1)若Q=1,作函数式工)的图象；

(2)设«x)在区间［L2］上的最小值为g(a),求g(〃)的表达式.

Y_

9.已知函数/(%)=-■了+x在区间［北川上的最小值是3加最大值是3〃，求加，〃的值.

10.已知/(无)的值域为［3,当，求函数y=/(%)+J1-2/(x)的值域.

89

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答案

降的，最高点是(±1,4),故函数在(一8,—1),［0,1］上是增函数;函数在［—1,0］,(1,+8

上是减函数，最大值是4.

例二

222[(-—1)]

【解析】设2«芯4犬2V6,则有/(再)一/(%2)=-----------------

%1-1X2-1(%1-1)(X2-1)

2(%-再)

(%1-l)(x2-l)

*.*2<Xj<x2<6,x2-x1>0,(玉-1)(%2-1)>0.

2

・・・/(^)>f(x),即函数y=——在区间［2,6］上是减函数.

2x-1

2

・••当％=2时，函数y=—在区间［2,6］上取得最大值/(2)=2；

x-1

22

当％=6时，函数y=—在区间［2,6］上取得最小值/(6)=

x-15

例三

【解析】(1)方法一：.函数/(x)对于任意总有/(x)+/(y)=/(x+y),

令x=y=0,得/(0)=0.再令y=—x,得/(—x)=_/(x).在R上任取司>%,则

Ax=%一々>0,Ay=/(Xj)-/(x2)=/(%!)+/(-x2)=/(七一%)=/(Ax),

又：％〉。时，/(x)<0.而Ax>0,；./(Ax)<0.因此/(x)在R上是减函数.

方法二：在7?上任取X],x2,不妨设石>%，

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则Ax=%_4>0,

Ay=/(%)-/(X2)=/(Xj-%2+%2)-/(%2)=/(%1-%2)+/(々)一/(%2)=/(8)

又：龙>0时，/(%)<0,而Ax>0,

A/(Ax)<0,即Ay<0.

因此/(x)在R上是减函数.

(2)•••/(X)在R上为减函数，

/(x)在［—3,3］上也为减函数，

/(%)在［—3,3］上的最大值为了(—3)、最小值为/(3),

而/(3)=/(I+1+1)=3/⑴=-2，•；0=/(0)=/(3-3)=/(3)+/(-3),

/(-3)=-/⑶=2,

因此，/(x)在［-3,3］上的最大值为2,最小值为2

例四

答案】为了赚取最大利润，售价应定为70元

【解析】设利润为y元,每个售价为x元,则每个涨1-50元,从而销售量减少10(x-50)

个，共售出500-10(x—50)=1000—10%个

y=(x—40)(1000-10x)=-10(x-70)2=9000(50<x<100)

x=70时，y=9000元

四、课堂运用

答案与解析

1.【答案】(-8,-3］

【解析】由二次函数的性质，可知4W-(a-l),

解得3.

2.【答案】①

【解析】•••y=x+J2x-1在定义域止,+00)上是增函数,

2

即函数最小值为:，无最大值.

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3.【答案】［1,2］

【解析】由）=/-2x+3=（x—1>+2知，

当x=l时，y的最小值为2,

当y=3时，%2—2x+3=3,解得％=0或x=2.

由y=N—2x+3的图象知，当小£［1,2］时，能保证y的最大值为3,最小值为2.

4.【答案】一20

【解析】y=—（x—3）2+18,Va<b<3,

・・・函数y在区间口,团上单调递增,即一"+68+9=9,

得b=0S=6不合题意，舍去）

—a2+6a+9=—7,得〃=一2（〃=8不合题意，舍去）.

5.【答案】2

【解析】函数y=在［-4,-1］上是单调递增函数，

x

故Vmax=--7=2.

一1

19

6.【答案】—

4

33

【解析】由已知2%243X,可得即函数/（x）是定义在区间0,-上的二

次函数.将二次函数配方得了（%）=、+!|+1,其对称轴方程x=-g,顶点坐标

4，且图象开口向上.显然其顶点横坐标不在区间［0,内，如图所示。函数

k2472

319

于（x）的最小值为/（0）=1,最大值为f

4

7.【答案】-

4

【解析】令/=有x=—产+1,则丁=—/+/+1=-«—gy+j,

11,55

■：t>0,——)29<0,——)2+-<-

2244

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a-i)2+i,/>i

8.【答案】/(x)min=<l,0</<1

r2+1,z<0

【解析】函数/(x)=(x-iy+1,其对称轴方程为x=l,顶点坐标为(1,1),图象开口

向上.

如图1所示，若顶点横坐标在区间，，1+1］左侧时，有1</,止匕时，当X=t时，函

数取得最小值/(x)皿=/«)=Q—1)2+1.

Ol1tt+1x

图1

如图2所示，若顶点横坐标在区间，，f+1］上时，有Y1W7+1,即0W/W1。当％=1

时，函数取得最小值=/(1)=1.

图2

如图3所示，若顶点横坐标在区间，，/+1］右侧时，有1+即£<0。当％=7+1

时，函数取得最小值/(x)min=/«+1)=产+1.

a-i)2+i,?>i

综上讨论，f(x)m.m=<l,Q<t<l

t2+lt<0

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tot+l

9.【答案】同解析

【解析】(l)；y(x)=N—2x+2=(x—1)2+1,XG[-,3],

2

.•mx)的最小值是加)=1,

又*=>3)=5，

所以，八x)的最大值是大3)=5,

即人划在区间4,3]上的最大值是5,最小值是1.

2

(2)*.*g(x)="x)—mx=N一(机+T)x+2,

或"224,即mW2或mZ6.

22

故机的取值范围是(-8,2]U[6,+8).

10.【答案】同解析

【解析】(1)设«X)=QX2+ZZX+C(〃W0),由10)=1,♦・.C=1,

••於)=加+bx+1.

+1)—fix)=2x,lax+a+b—2x,

(2)由题意：x2—九+l>2x+根在[—1,1]上恒成立，

即X2—3x+l—m>0在上恒成立.

35

令g(%)=%2—3x+l—=(x——)2---m,

其对称轴为x=—，

2

g(X)在区间[11,1]上是减函数，g(X)min=以1)=113+1—m>0,

m<~l.

12〃-8〃2,(0<〃41)

1L【答案】/(九)*=

(。_3)2,(〃〉1)

【解析】将y=4〃(九一〃)代入〃中，得〃=[%—(3—2〃)2]+12〃一842,%£[〃,+00)

①3-2Q>Q,即0VQ<1时，/(x)^=f(3-2a)=12a-Sa2

2

②3-2a<a,即时，/(x)min=f(a)=(a-3)

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所以/（乃皿=

("3)2,(〃〉1)

3

12.【答案】—或。=—3

8

【解析】/(x)=a(x+1)2+1-tz,xG[-3,2]

(1)若a=0,/(x)=1,,不符合题意.

3

(2)若。>0,则/(%)max=/(2)=8〃+1,由8〃+1=4,得。=—.

8

(3)若〃<0时，则/(%)111ax=/(—1)=1—〃，由1—〃=4,得〃=—3.

3、

综上知a=-或a=-3.

8

课后作业

1.【答案】的）52）5-2）

【解析】依题意，由月1+工）=黄一%）知，

二次函数的对称轴为％=工，

2

因为7（X）=X2+/ZX+C开口向上，

且式0）=AD，火―2）=黄3）,

由函数八尤）的图象可知，［L,+8）为五X）的增区间,

2

所以式1）勺（2）勺（3）,即10）勺（2）勺（一2）.

2.【答案】③

-4（x^3）

【解析】y=|x—3|—|x+l|=<—2x+2（—l^x<3）.

4（x<-1）

因为［—1,3）是函数y=-2x+2的减区间，

所以一4WyW4,综上可知③正确.

4

3.【答案】-

3

14

【解析】/（%）=------c-W—

4.【答案】-

4

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【解析】令2=Jl-x之。有工="+侧

2<✓1、25

y=T+£+i=_«_/)+1\'t>0

1

2-

155

2-4一4-

原函数得最大值为2

4

5.【答案】函数的最小值是/(—1)=4—a,最大值是/(l)=4+a.

【解析】由已知有—iVxVl,“22,于是函数/(x)是定义在区间卜1,1］上的二次函

数，将/(x)配方得：=C+3—(

二次函数/(x)的对称轴方程是x=-£顶点坐标为3-1■］,图象开口向上

由可得x=-■!<-1,显然其顶点横坐标在区间卜1,1］的左侧或左端点上.

函数的最小值是/(—I)=4—a,最大值是/(1)=4+«.

2c1

t+2/>—

_2

6.【答案】/(%)[_=]

t—2t+3,tV—

【解析】：由已知可求对称轴为x=l.

2

(1)当，>1时，/(x)min=/a+i)=z+2.

(2)^t<l<t+l,即0WY1时，.

根据对称性,若士里《工即0W/4工时，/(x)max=f(t)=t--2t+3.

222

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2

若£±£土1>!即工</Vl时，/(x)max=/(/+l)=?+2.

222

2

(3)当。+1<1即/<0时,/(x)max=f(t)=t-2t+3.

t2+c2J>一1

2

综上，/(%)max

『—2t+3jV—

一(〃+1),〃<—2

2

7.【答案】y最大=彳，-2WaW2

a-1,a>2

【解析】函数y=-(x--)2+<图象的对称轴方程为x=应分—幺<一1,

24222

色〉1即—2WaW2,a<—2和。>2这三种情形讨论，下列三图分别为

2

(1)«<-2；由图可知/(X)max=/(—1)

(2)-2<fl<2；由图可知;•(x)max=/(£)

(3)。>2时；由图可知/(x)1mx=/(1)

7(-1),«<-2—(a+1),a<—2

2

"最大=</《)，—2WaW2；即y最大—,-2<6/<2

4

/(I),。〉2a-1,a>2

8.【答案】同解析

【解析】(1)当a=l时，y(x)=x2—|x|+l

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x2+x+1,x<0

x2-x=l,x^O

作图(如右所示)

(2)当％£［1,2］时，f(x)—ax2—x~\~2a—1.

若。=0,则於)=—%—1在区间［1,2］上是减函数,

g(a)=fi2)=~3.

若4>0,则/(%)=Q1%----|+2〃-------1

k7la)4a

人功图象的对称轴是直线x=L.

2a

当0〈工<1,即a>工时，|的在区间［1,2］上是增函数,

2a2

g(a)=fil)=3a-2.

当1W」一W2,即LwaW4时,

2a42