新人教版高中数学五本书教材例题课后习题变式含答案7

7.3复数的三角表示

7.3.1复数的三角表示式

例1：画出下列复数对应向量，并把这些复数表示成三角形式:

(1)

(2)

分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.

解：(1)复数4+走i对应的向量如图7.3-2所示，则

22

a

=i,cose=L

22

立i对应的点在第一象限，所以arg(1+

因为与4+171

222T

于是_L+®=cos万..乃

——Fisin—.

2233

(2)复数1—i对应的向量如图7.3-3所示，则

r=712+(-l)2=V2,cos01_也

忑=为

IH7.33

77T

因为与1—i对应的点在第四象限，所以arg（i-i）=z-

于是l-i=+isin——

4

当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角。不一定取主值.例如

7171

V2cos+isin也是1-i的三角形式.

例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代

数形式:

(1)cos-r+isin^；

⑵6cos@+isin止

I66

解：（1）复数cos"+isin〃的模r=1,一个辐角对应的向量如图7.3-4所示.所以

cos^+isin^=-l+Oi=-1.

IU7.3

（2）复数6（cos^^+isin^^］的模r=6,一个辐角。工，对应的向量如图7.3-5

<66J6

所示.所以

=6x立+6xj」］i

2I2j

=3百一3i.

1IN

6

6

一......■***>*

图7.35

练习

1.把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：

(1)4；

(2)-/；

(3)273+2?；

(4)_J•—乌.

22

【答案】(I)4=4(cosO+/sinO)；作图见解析(2)-i=cos3=7r+isin37?r；作图见

解析⑶2g+2z=4fcos9+/sin；作图见解析⑷」一走j=cos—+/sin—；

166J2233

作图见解析

【解析】

【分析】

只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.

【详解】解：(1)4=4(cos0+isin0)；

⑵T=cos主+isin三

22

万..乃］

(3)2G+2i=4cos—+zsin—I：

66/

/八1V3.47..47

(4)-------1=cos----l-zsin——•

2233

4,T,2百+2j,—；—gj分别对应向量OZ',OZ^,西,OZ：,如图所示.

【点睛】本题考查复数的三角形式，关键是求出复数的模和辐角，复数三角形式中

辐角不一定是主值即不一定在[0,2幻内.

2.下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.

1(71..万)

(1)—cos——zsin—；

2(44)

7万..7乃

(4)cos--+zsin——；

55

(5)2cos—+zsin—.

36

](7

【答案】⑷是三角形式；⑴⑵⑶⑸不是三角形式.⑴aEf+isin7兀、

14乃..4乃)71..71(5)>/2^cos^+zsin-^

⑵5cos——+zsin——(3)cos一+，sin一

33)21212

【解析】

【分析】

复数的三角形式是z=r(cose+isin8),其中r是复数的模，不小于0,6是一个辐

角.

1(兀万、1(7万7万、

【详解】(1)中间是"-”号，不是三角形式.-cos--zsin-=-cos—+/sin—；

2(44)2144J

1(7171\

(2)括号前面是负数，不是三角形式，-i[cos§+isin§J=

If4〃..

—cos——+/sin

2(3

(3)括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，|fsin^+zcos^=

2n..re\

cos—+zsin—；

21212；

(4)是三角形式.

⑸括号内前后两个角不相等，不是三角形式，21cosm+isi哈卜

—71+z.s.in乃—

44

【点睛】本题考查复数的三角形式，关键是掌握三角形式：z=r(cos9+isine),

r>0,e是一个辐角.

3.把下列复数表示成代数形式:

/37..3乃)

(1)6cos---FIsin—；

I22)'

(2)21cos即+isin.

【答案】(1)-6z(2)1-V3z

【解析】

【分析】

求出三角函数值，化为a+初(a,beR)形式.

(3)34A6c吟+回科…;

【详解】解：(1)6lCOSy+ZSiny

(2)2^cos1y-+Zsin1^j=2cos1y-+^2sin1^j/=1-Gi.

【点睛】本题考查复数的代数形式，由三角形式化为代数形式，只要计算出三角函

数值，化为。+4(a”eR)形式.

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

3(7171)(JiJi)

例3：已知％cos；+isin：z=2cos—+isin—,求z—,请把结果化为代

2\66)2\33)

数形式，并作出几何解释解.

1..乃、

解：ZjZ=~\cos—4-isin—Ix2lcos——Fisin—

233)

(n7r\..71万、

=-x2cos一+—+1sin—4--

2(63)63)

兀.、冗

=3ocos—+isin—

I22

=3i.

••_•TT

首先作与Z-Z2对应的向量。Z1,QZ2,然后把向量绕点。按逆时针方向旋转

TT

再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3,辐角为彳的向量02(图7.3-7).

0Z即为积Z|Z2=3i所对应的向量.

例4：如图7.3-8,向量反对应的复数为1+i，把02绕点。按逆时针方向旋转120。，得

到反7求向量5彳对应的复数（用代数形式表示）.

图7.3-8

分析：根据复数乘法的几何意义，向量方对应的复数是复数1+i与z°的积，其中复数

z0的模是I,辐角的主值是120°.

解：向量制对应的复数为

(l+i)(cosl20°+isinl200)

H+刍]

=(l+i

227

-1-V3V3-1.

--------1----------i•

22

47rJ5万..57

cos------Fisin—+21cos------Fisin—,并把结果化为代数形式.

66

47r5)4%5〃

解：原式=2cos+isin

3636

=2cos—+isin—=2(0+i)=2i.

22

练习

4.计算:

、。/兀・•兀)"7兀1..兀Tl)

(1)8cos—+isin—x2cos—+isin—.

I66I441

A4K..4n].(557兀i...55T无I)

(2)2cos-----l-isin——x4cos-----l-isin——•

I33JI66Y

/o

(3)0(cos2400+isin2400)x^-(cos60°+isin600)；

(4)3(cosl8°+isinl8°)x2(cos540+isin540)x5(cos108°+isinl08°).

【答案】(1)4>/6-4>/2+(4>/6+4V2)i

(2)46+4i

V63立

(3)------------------1

44

(4)-30

【解析】

【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案.

【小问1详解】

/\/\r/

+兀、+，.S.inr7i+兀丫|

8cos--Fisin-x2cos-4-isin-=16cos-■4jl67jJ

I66；L44；L16

上上&\丘.(166也、

=16——x------x----bi—x---1-----x=4#-4近+(4#+4&)上

乙乙乙乙乙乙乙乙

L\

【小问2详解】

14兀..4兀、/5兀..5兀、OF(4TI5兀)..(4兀5兀)~|

2cosFisin—x4cos—+isin—=8COS---F——H-lSin---F—

133J166JLI36JI36JJ

=8a+匕]=4石+4i.

、22,

【小问3详解】

V2(cos2400+isin240°)x彖cos60°+isin

60°)

=*[cos(240°+60°)+isin(240°+60°)]=y/6372.

---------1•

44

【小问4详解】

3(cos18°+isin18°)x2(cos540+isin54°)x5(cos108°+isin1080)

=6[cos(18°+54°)+isin(18°+54°)]x5(cos108°+isin1080)

=30[cos(18。+54。+108。)+isin(18。+54°+108°)]=-30.

5.计算：

(1)cos—+«sin—14-6fcos—+«sin—；

I44JLI33JJ

(2)V3(cos150+isin150)4-[0(cos225"+isin225°)]；

(71..4、

(3)2+cos—Fzsin—«

I44广

(4)T+[2(cosl20"+，sinl20°)].

【答案】⑴—立十屿一这一立i(2)V2-V2Z(4)~—+~i

224444

【解析】

【分析】

把复数改为三角形式，然后根据复数三角形式的除法法则计算.即模的商作为商的

模，辐角的差作为商的辐角.然后再化为代数形式.

【详解】解：(1)12fcos-^-+zsin-^-14-6fcos—^-+zsin-

cos史+isin史1

=2

1212

JV2+V6瓜-6、V2+V6V6-V2.

4422

\7

(2)V3(cos150+isin150[后(cos2250+isin225)]

=培[cos(150°-225°)+zsin(150°-225°)]

V3/„-o..c\V35/6—V25/6+V2.3—y/33+5/3

=-7=cos75-zsm75=—^------------------------1=-------------------

◎7y/2[44J44

-4,•)

(3)24-cos—FIsin—

I44

-2(cos()+1sin0)+cos—+zsin—

I44

二2cos工一isin工]=2=yfl->/2z；

I44)[22)

(4)-i-5-1^2(cos120°+isin120°)1

=fcos^+zsin^V2嬴军+isin组

I22JI33)

342%3冗2%54..5万

cos+zsincos---Fzsin——

2(23)1232I66

V31.]G1.

22J=-----1—I.

244

另解

第（3）题还可以这样解、:

原式=2+乌

~Tl

夜.\

----1

2

7

0)

-----z

22

7

V2-V2/.

第（4）题还可以这样解:

+2x3

原式=一，+2x

-z-(-l-V3z)

(-1+5/30(-1-A/30

V31.

=---1—I・

44

【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，掌握三角形式的除法法则是解题基

础.除法法则：两个复数三角形式相除，把模的商作为商的模，辐角的差作为商的

辐角.最终结果一般要化为代数形式.

6.在复平面内，把与复数3-6对应的向量绕原点。按顺时针方向旋转60。，求

与所得的向量对应的复数(用代数形式表示).

【答案】—2后

【解析】

【分析】z,=3-73i=2V3(cos3300+isin330°),根据向量旋转结合复数的三角运

算得到答案.

【详解】4=3-V3i=2^(cos3300+isin330°),

对应向量绕原点。按顺时针方向旋转60。，

所对应的复数为4=26[cos(3300-60°)+isin(3300-60°)]=-2亚.

习题7.3

复习巩固

7.画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

(1)6：(2)1+z；(3)I一亚;(4)--+-!-z；

22

【答案】(1)6(cos0+isin0),画向量见解析(2)近(cos?+isin?),画向量见解

析(3)2(cos若+isin若],画向量见解析(4)cos^+isin¥，画向量见解

析

【解析】

【分析】

根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解.

【详解】解：(1)6对应的向量如答图中

r=6,cos=1,sin0=0,又6e[0,2%),

/.0=0,:.6=6(cos0+zsin0).

y

6

o

（2）1+i对应的向量如答图中ON2,

;•r=>/2,cos9=,sin6=，

22

n冗..乃

又。£[0,2万),.・.6=—..l+i=cos—+zsin—I

444

（3）l-Gi对应的向量如答图中

.•r=Vl+3=2,cos^=—,sin^=--,

22

5%..57

又。6[0,2%),.,.8=2，-亚=2cos——+zsin——

333

r=1,cos9=-—,sin。=,，又6e[0,2万)，0=—

226

【点睛】本题考查复数的几何意义及三角形式，属于基础题.

8.把下列复数表示成代数形式:

30(cos£+isin?J；

(1)

8(cosgsin@

(2)

66

(3)9(cos4+isin兀)

4万..4乃

(4)6cos——+zsin——

I33

【答案】(1)3+3i；(2)4百一4i；(3)-9；(4)一3—3®.

【解析】

【分析】

求出各复数的实部和虚部三角函数值，即可求解.

【详解】解.(1)原式=3后x[等+=3+3/；

(2)原式=8x]^^—=4-$^—4z；

(3)原式=9x(—l+0i)=-9；

(4)原式=6x————z=-3—3y[3i.

、22,

【点睛】本题考查复数三角形式与代数形式互化，属于基础题.

9.计算：

Jn..Jn..

(1)3cos—+zsin—x3cos—+zsin—；

I33)I66),

/、

_7T..TC

(3)lOlcos—+zsin—+5cos—+zsin—

3333)

[c/37c..3zr,1TC..T7Ct

(4)12cos——+zsin—+6cos—•Hsin一

22；667

【答案】(1)9i；(2)-Vio+sficii；(3)1+V3z;(4)-1-V3Z.

【解析】

【分析】

复数化为三角形式,按三角形式的运算法则，即可求解.

/、

7171..

【详解】解：(1)原式COS——I+zsm=9cos—»Fzsin—=9/

=3X3XU6)I22

(2)原式=河'垃乂

、

3%..3兀2对令亭

cos——+zsin——

44

7

=-Vio+Vioz；

(3)原式=/xcos2万冗'’2兀汽、4..冗

+isin-2cos—+zsin—

33I33

1+疯;

(2乌2)］

1237r万、3万71

(4)原式=”乂cos+zsin

6~2~~6

iG.、

J4〃..4乃-1-5^/.

2cos----hisin—2x------------1

3322

7

【点睛】本.题考查复数三角形式的乘除法运算，属于基础题

10.计算下列各式，并作出几何解释:

24..2万7T..71

(1)cos----1-1sin-——I-zsin—

333

(2)2(cos75+zsin75xi4z-

34..3万、

(3)4(cos300+zsin300)+——+zsin——

44J

一1+且iLMcosO71isin^71

(4)

22)33

【答案】（1）-4,几何解释见解析（2）&+旦,几何解释见解析（3）

22

-（6+1）+（6-1»，几何解释见解析（4）二+鸟,几何解释见解析

44

【解析】

【分析】

根据复数乘除法运算法则，即可求值，应用三角形式的几何意义，即可解释运算结

果.

【详解】(1)原式=V^x20x(cos%+sin%)=4x(-l+Oi)=-4.

2TT2))冗..灯)

几何解释：设ZV2Icos-^-+zsin^-l,z2=2v21cosy+zsinyI,

作与Z1,Z2对应的向量的，区，然后把向量0Z

TT

绕原点。按逆时针方向旋转再将其长度伸长

为原来的2近倍，得到一个长度为4,辐角为兀的

向量反，则。2即为积z/Z2=-4所对应的向量.

(2)原式=2卜。$75°+isin75")x^^

cos315°+sin315)

=y/2(cos390+zsin390")=41x-------1----1=--------1-------1

、22J22

儿何解释：设％=2(cos75°+isin75)Z2=；-gi=#(cos315°+sin315°),

作与4/2对应的向量鬲，返，然后把向量应।

绕原点。按逆时针方向旋转315。，再将其长度缩短

为原来的辛，得到一个长度为逝、辐角为《的

向量场S则。2即为积Z1•Z2=^^+立^所对应的向量.

'-22

/八HaA\5万..5万1rr(3兀..

(3)原式=4cos---Fisin—+A/2cos---Fisin—

I33JLI44)

=2V2x^+V1+^-2/2Z;=_(百+l)+(G-l)i.

44

7

几何解释：设Z[=4（cos300°+zsin300）=4^cos—+zsin—J,

[—（37i..3兀）..

z?=V21cos-屋+isin-^J作与马小对应的向量。^,。%2,

然后把向量。4绕原点o按顺时针方向旋转3邛兀，再将其长度

缩短为原来的白，得到一个长度为20，辐角为*的向量02,

则即为告=-（&+1）+（百-1）'所对应的向量.

Z?

n..n

（4）原式=cos—+zsin—

33

\_(7..

cos-+zsin—

2I33)44

L把』。s至+isin空z=2(cos¥+isin』

几何解释:设4

2233<33j

作与4，Z2对应的向量砥，无，然后把向量历।

7T1

绕原点0按顺时针方向旋转再将其长度缩短为原来的

得到一个长度为51，辐角为3TT的向量无，

则无即为五=[+£・所对应的向量.

z244

【点睛】本题考查复数乘除运算，以及复数乘除运算的几何意义，属于基础题.

综合运用

11.(1)求证-----------=cos6-isin6；

cosO+isin。

(2)写出下列复数z的倒数工的模与辐角；

Z

A|兀..兀|冗、.兀y2八.、

z=4cos—+zsin一,z=cos---zsin—,z=——(1-z).

I1212J662

【答案】（I）证明见解析（2）答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】

（1）按照复数三角形式的除法运算法则计算，或等价转化为证明两个复数相乘;

（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出,，再化为三角形式.

Z

■、平，八叶、+1cos0+sin0

【详解】(l)证法l：左边=---------^=cos(0-ne)+sm(0-en)=cose-sm8n=

cosJ+isin。

右边

证法2：(cos0+sin^)(cos0-sin0)=cos26-(sin6)?

=cos2e+sin2。=1,

1

=cos6-isin。

cosG+isin。

，原等式成立.

I7T,.7L।,

(2)解：z=4[cos在+,sm同时,

1127i..n23万..23»

cos-——isin——cos-----+zsin-----

z\71.71412121212

4Acos——+sin——

I1212

二•一的模为:，辐角为+2左肛左GZ.

z412

z=cos工-isin工时,

66

1_11无+L=cos三+isin工

zn..71

cos——zsin—2266•

6622

]九7

y的模为】‘辐角为％+2丘丘Z.

z=^^(I-i)时、

lV2y/2s/2.n..7i

—=--=--1--1=cos——Hsin—，

z\-i2244

1JT

，一的模为l,辐角为丁+2〃肛ZeZ.

z4

【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，以及常用结论的应用，考查计算能

力，属于中档题.

12.求证：

(1)(cos75°+isin750)(cos15°+isinl50)=i

(2)(cos30-isin36)(cos2。一isin2。)=cos50-isin50

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】将各因式化为三角形式，按照复数三角形的乘法法则，即可得证.

【小问1详解】

左边=cos”+15)+isin(750+15。)

=cos90+isin90°=i,

/.(cos75°+isin750)(cos15°+isinl5°)=i.

【小问2详解】

左边=[cos(-3。)+isin(-38)][cos(-2。)+isin(-2。)]

=cosK-36)+(-20)1+isin[(—36)+(-26)]=8s(-56)+isin(-56)

=cos56-isin58,

(cos30-isin3。)(cos20-isin26)=cos50-isin50.

13.化简：

(cos7。+isin76)(cos23+isin2。)

।)(cos56+isin59)(cos33+isin30)

(2)cos(p-isin(p

cose+isin夕

【答案】(I)cos6>+zsin(2)cos2<p-zsin2(p

【解析】

【分析】

将复数化为三角形式，按照复数三角形式的除法法则，即可求解.

■、-*cos96+isin90八..八

【详解】解：(1)原式=---——..—=cos<9+fsin6>.

cos86+2sin86

,，一,cos(—0)+isin(—0)「、../3、一..八

(2)原式=----------------=cos(—2。)+1sin(-2夕)=cos2(p-1sin2(p

cos/+isin/

【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，属于基础题.

14.设Z=KT•对应的向量为应，将成绕点。按逆时针方向和顺时针方向分别

旋转45。和60。，求所得向量对应的复数(用代数形式表示)

【答案】逆时针方向旋转。所得向量对应的复数为：,按顺

45V6+V2+V6-V2；

22

时针方向旋转60。所得向量对应的复数为-2，

【解析】

【分析】

将复数对应的向量变换为复数三角形式的乘积，即可求解.

【详解】解：将反绕点。按逆时针方向旋转45。所得向量对应的复数为：

(6-i)(cos450+sin45")=2(cos330+zsin330°)(cos45°+zsin45")

=2(cos375°+isin375")=2x(cosl5。+zsinl5)

c(V6+V2屈-0'V6+V2V6-V2.

I44J22

将无绕点。按顺时针方向旋转60。所得向量对应的复数为

(V3-z)[cos(-60,)+zsin(-60”)]

=2(cos330。+isi”330°)[cos(-60°)+isin(-60°)]=2(cos270°+zsin2700)

=2x(Q-i)=-2i

【点睛】本题考查复数乘法几何意义的应用，考查计算能力，属于中档题

拓广探索

15.如图，复平面内的是AABC等边三角形，它的两个顶点A,B的坐标分别为

(1,0),(2,1),求点C的坐标.

【解

【分析】

将坐标原点平移至A,在新坐标系求出而对应复数的三角形式，应用乘法的几何

意义，求出/对应复数的坐标，即可求出C点在新坐标系中的坐标，再根据坐标

平移关系，可求出结论

【详解】解：将原点0平移至A点，建立平面直角坐标系My',则|A8|=也,

AB=1+z=V2+=6cos—+zsin—,

I22JI44；

TT

将丽绕点A顺时针方向旋转!■得

AC=V2^cos-^+4sin-^-cos^-y^+zsin^-y

rr^6+>/2V6—\/2,s/3+11—.

=yJ2x-----------------1=------1------1,

I44J22

二在原平面直角坐标系xOy中，

,_,fV3+1,