2025届重庆市沙坪坝区九上数学期末联考试题含解析

2025届重庆市沙坪坝区九上数学期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（）A． B． C． D．2．设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝﹣(x+1)2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y33．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=1214．一元二次方程的一次项系数是（）A． B． C． D．5．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x＝3500B．2500（1+x）＝3500C．2500（1+x%）＝3500D．2500（1+x）+2500（1+x）＝35006．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（）A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c7．用一个半径为15、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是()A．5 B．10 C． D．8．不等式的解为（）A． B． C． D．9．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.则该运动员此次掷铅球的成绩是()A．6m B．12m C．8m D．10m10．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，将图中的菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′1，若∠BAD′＝110°，在旋转的过程中，点C经过的路线长为____．12．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.13．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______才能停下来.14．如图，从外一点引的两条切线、，切点分别是、，若，是弧上的一个动点（点与、两点不重合），过点作的切线，分别交、于点、，则的周长是________．15．将一元二次方程变形为的形式为__________．16．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为．17．如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为_____．18．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为___________个．三、解答题(共66分)19．（10分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．20．（6分）用配方法解方程:21．（6分）某商品的进价为每件10元，现在的售价为每件15元，每周可卖出100件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于20元），那么每周少卖10件.设每件涨价元（为非负整数），每周的销量为件.（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；（2）如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是多少元？22．（8分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝1．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．23．（8分）已知在矩形中，，.是对角线上的一个动点（点不与点，重合），过点作，交射线于点.联结，画，交于点.设，.（1）当点，，在一条直线上时，求的面积；（2）如图1所示，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结，若，请直接写出的长.24．（8分）己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点，(1)求抛物线解析式:(2)当点运动到什么位置时，的面积最大?25．（10分）如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．26．（10分）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.2、B【分析】本题要比较y1，y2，y3的大小，由于y1，y2，y3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A点关于对称轴的对称点A'的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出y1，y2，y3的大小关系．【详解】∵抛物线y＝﹣（x+1）2+m，如图所示，∴对称轴为x＝﹣1，∵A（﹣2，y1），∴A点关于x＝﹣1的对称点A'（0，y1），∵a＝﹣1＜0，∴在x＝﹣1的右边y随x的增大而减小，∵A'（0，y1），B（1，y2），C（2，y3），0＜1＜2，∴y1＞y2＞y3，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．3、C【详解】试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×=增长后的数量.由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，故答案为：C考点：一元二次方程的应用4、C【分析】根据一元二次方程的一般式判断即可.【详解】解：该方程的一次项系数为.故选：【点睛】本题考查的是一元二次方程的项的系数，不是一般式的先化成一般式再判断.5、B【分析】根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额，列出方程即可．【详解】设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2＝3500，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．6、A【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得，化简得b＝a＋c，故选A.【详解】请在此输入详解！7、A【分析】根据弧长公式计算出弧长，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解．【详解】半径为15cm，圆心角为120°的扇形的弧长是=10π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π.

设圆锥的底面半径是r，

则得到2πr=10π，

解得：r=5，

这个圆锥的底面半径为5.故选择A.【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长的计算公式.8、B【分析】根据一元一次不等式的解法进行求解即可．【详解】解：移项得，，合并得，，系数化为1得，．故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，属于基础题型，明确解法是关键．9、D【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．【详解】把y=0代入y=-x1+x+得：-x1+x+=0，解之得：x1=2，x1=-1．又x＞0，解得x=2．故选D．10、D【解析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣（a+3），故选：D．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、π．【分析】连接AC、AC′，作BM⊥AC于M，由菱形的性质得出∠BAC=∠D′AC′=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BM=AB=1，由勾股定理求出AM=BM=，得出AC=2AM=2，求出∠CAC′=50°，再由弧长公式即可得出结果．【详解】解：连接AC、AC′，作BM⊥AC于M，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，∴∠BAC=∠D′AC′=30°，∴BM=AB=1，∴AM=BM=，∴AC=2AM=2，∵∠BAD′=110°，∴∠CAC′=110°-30°-30°=50°，∴点C经过的路线长==π故答案为：π【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、弧长公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理和等腰三角形的性质求出AC的长是解决问题的关键．12、【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D为AB的中点，∴CD=,由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，∴CE=,∵DM⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=,∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=,∴由勾股定理得，DE=，∵CD=CE=5，CN⊥DE,∴DN=EN=,∴由勾股定理得，CN=,∴sin∠DEC=.故答案为：.【点睛】本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.13、200【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.14、【解析】由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB,表示出△PED的周长即可解题.【详解】解：由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB；

所以△PED的周长=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=2PA=16cm．【点睛】本题考查了圆的切线,属于简单题,熟悉圆的切线长定理是解题关键.15、【分析】根据完全平方公式配方即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．16、12﹣4【详解】试题分析：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=，∴∠AOE=45°，ED=1，∴AE=EO=，DO=﹣1，∴S正方形DNMF=2（﹣1）×2（﹣1）×=8﹣4，S△ADF=×AD×AFsin30°=1，∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣4=12﹣4．故答案为12﹣4．考点：1、旋转的性质；2、菱形的性质．17、1【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于1．【详解】解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，由题可得，D是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵点D坐标为(4，3)，∴OD＝＝5，∵Rt△ABO中，OE＝AB＝×4＝2，∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，∴BC的最小值等于1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理．18、1【分析】根据题意，连续的三个自然数各位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时不会产生进位，然后根据这个数是几位数进行分类讨论，找到所有合适的数．【详解】解：当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，一共3个，当这个数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，一共9个，∴小于100的自然数中，“纯数”共有1个．故答案是：1．【点睛】本题考查归纳总结，解题的关键是根据题意理解“纯数”的定义，总结方法找出所有小于100的“纯数”．三、解答题(共66分)19、解：（1）P（抽到2）=．（2）不公平，修改规则见解析【详解】解：（1）P（抽到2）=．（2）根据题意可列表2236222222326222222326332323336662626366从表（或树状图）中可以看出所有可能结果共有16种，符合条件的有10种，∴P（两位数不超过32）=．∴游戏不公平．调整规则：法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数不超过32的得5分；能使游戏公平法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．20、x1=1+，x2=1-；

【分析】先变形方程得到x2-2x+1=3，然后利用配方法求解；【详解】x2-2x+1=3，

（x-1）2=3，

x-1=±，

所以x1=1+，x2=1-；【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.21、（1），；（2）每件的售价是17元或者18元.【分析】（1）根据“每件的售价每涨1元，那么每周少卖10件”，即可求出y与x的函数关系式，然后根据x的实际意义和售价每件不能高于20元即可求出x的取值范围；（2）根据总利润=单件利润×件数，列方程，并解方程即可．【详解】（1）解：与的函数关系式为∵售价每件不能高于20元∴∴自变量的取值范围是；（2）解：设每件涨价元（为非负整数），则每周的销量为件，根据题意列方程，解得：，所以，每件的售价是17元或者18元．答：如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是17元或者18元．【点睛】此题考查的是一次函数的应用和一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．22、（1）k＝12；（2）①3；②【分析】(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；(2)①由三角形面积公式可求解；②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．【详解】(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA=AB，AH⊥OB，∴，∴，∴点A的坐标为(2，6)．∵A为反比例函数图象上的一点，∴；(2)①∵BC⊥x轴，OB=1，点C在反比例函数上，∴，∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离=BH=2，∴S△ABC；②∵BC⊥x轴，OB=1，点C在反比例函数上，∴，∵AH∥BC，OH=BH，∴MH=BC=，∴∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，利用图象上点的坐标特征及相似三角形的性质是解题的关键．23、（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）首先证明，由推出，求出,再利用即可求解；（2）首先证明，可得，再由，推出，即，可得，代入比例式即可解决问题；（3）若，分两种情况：当点P在线段BC上时和当点F在线段BC的延长线上时，分情况运用相似三角形的性质进行讨论即可.【详解】（1）四边形是矩形，，，，，在一条直线上，且，，，，，，，.（2），，，，，，又，，.，，，即，，，，.（3）①当点P在线段BC上时，如图设整理得解得②当点F在线段BC的延长线上时，作PH⊥AD于点H，连接DF由，可得解得或（舍去）综上所述，PD的长为或.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质和分情况讨论是解题的关键.24、（1）；（2）点运动到坐标为，面积最大.【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．

（2）设点P横坐标为t，过点P作PF∥y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t表示点F坐标，进而表示PF的长．把△PAB分成△PAF与△PBF求面积和，即得到△PAB面积与t的函数关系，配方即得到t为何值时，△PAB面积最大，进而求得此时点P坐标．【详解】解:(1)抛物线过点,,解这个方程组，得,抛物线解析式为.(2)如图1，过点作轴于点,交于点.时，,.直线解析式为.点在线段上方抛物线上，设...=点运动到坐标为，面积最大.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数求三角形面积的最大值，关键在于把原三角形分割成有一边平行于y轴的两个三角形面积之和.25、（1）y＝x2﹣x+2；（2）；（3）不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形，理由见解析．【分析】（1）根据题意可以得到C的坐标，然后根据抛物线过点A、C、D可以求得该抛物线的解析式；（2）根