人教版八年级数学下册基础知识第17章 勾股定理（单元测试·培优卷）

第17章勾股定理（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各组数中，不是勾股数的是（

）A．，，B．5，12，13C．3，4，5 D．7，24，252．在平面直角坐标系中，点在第三象限，点到轴的距离为3，到原点的距离为5，则点的坐标为（

）A． B． C． D．3．以的顶点为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，，，，那么的长是（

）A． B． C． D．4．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（

）

A． B． C． D．5．如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点，．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，，，那么折叠后椅子比完全打开时高（

）．

A． B． C． D．6．如图，AD是的中线，过点B作AD的垂线，垂足记作点E，连接CE，若，，，则的周长为（

）

A． B． C． D．7．早在公元前100年，我国古算书《周髀算经》就记载了历史上第一个把数与形联系起来的定理——勾股定理．如图，分别以的各边为边在的上方作正方形．已知（m为大于0的常数），，若图中的两个阴影三角形全等，则的值为（

）

A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，已知点，，若恰为等腰直角三角形，则点坐标不可能是（

）．A． B． C． D．9．如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为，高为，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）．

A．10 B．50 C．10 D．7010．如图，的平分线与邻补角的平分线相交于点，平分于点，，，，则的长度为（）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是．12．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则．

13．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于．14．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC=25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是m．15．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要米．16．如图所示，在的网格，依次连接、、、形成一个正方形，若以网格的底端所在直线建立数轴，每个小方格的边长为单位长度1，原点距离点一个单位长度．用圆规在点左侧的数轴上截取，则点所代表的实数是.17．如图，是等边三角形，为的中点，点是点关于直线的对称点，连接，，交于点．（1）若，则；（2）若点在线段上，连接，，则的最小值等于的长度．（用图中的某一条线段表示）

18．如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，，点为直线上一点，，将绕点按逆时针方向旋转一周，当时，请直接写出的长.三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.求的度数.20．（8分）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．

（1）求证：是等腰三角形；（2）求的值；（3）若．求的面积．21．（10分）如图，在中，，，D为边上一点，，交的延长线于点E．

（1）若，①直接写出的度数；②已知，求线段的长；（2）若点D在线段上移动，是否存在一个常数k，使恒成立？若存在，请求出常数k；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，，，，点在线段上（不与点，A重合），连接，将沿折叠得到，延长交于点，连接．（1）求证：．（2）当点位于不同位置时，的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其周长．（3）设，，直接写出当点A，的距离最小时，的值．23．（10分）已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点.（1）当，时，求的长.（2）请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.（3）当线段的长取最大值时，的值为__________.24．（12分）【问题提出】（1）如图1，和都是等边三角形，连接①求证：②若，求的长．【问题拓展】（2）如图2，和都是等边三角形，连接，若，求的面积参考答案：1．A【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方，逐一判断即可．解：A、，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确；B、，是勾股数，故选项不符合题意；C、，是勾股数，故选项不符合题意；D、，是勾股数，故选项不符合题意；故选：A．2．D【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．先根据勾股定理求出点到y轴的距离为4，根据第三象限点的横坐标是负数，纵坐标是负数即可求解．解：∵点到轴的距离为3，到原点的距离为5，∴点到y轴的距离为，∵点P在第三象限，∴点P的横坐标为，纵坐标为，∴点P的坐标为．故选D．3．C【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质可得答案．解：在中，∴∴∴在中，∴∴∴，∴；故选：C．4．A【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案．解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为，根据勾股定理，可得另一直角边长为，则需购买红地毯的长为，又因为红地毯的宽，即台阶的宽为，所以共需购买红地毯．故选：A．5．D【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求得cm，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，相减即可求解．解：如图所示，过点作于点，

∵，∴∵∴是等边三角形，则∴∴∴是等边三角形，∵，，∴∴，∵∴∴cm在中，cm∴故选：D．6．B【分析】过点C作，交射线于点G．证明得到，再运用勾股定理计算即可．解：过点C作，交射线于点G．

∴，，∵是的中线，∴，∵，∴；∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴的周长为，故选B．【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的意义，勾股定理，熟练掌握三角形全等的证明，灵活用勾股定理是解题的关键．7．D【分析】先证明，再由两个阴影三角形全等即可求出的长，由求出的长，即可求出答案．解：四边形是正方形，，，，，，，，，两个阴影三角形全等，

，，，，，，，．故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．8．A【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的定义逐一判断选项即可．解：由题意得，A、∵，，又∵，∴为等腰三角形不是等腰直角三角形，符合题意，故该选项正确；B、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；C、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；D、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误．故选A．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的定义，解决本题的关键是运用勾股定理解决问题．等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形．9．B【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可．解：分两种情况：（其它情况与之重复）①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接，

在中，，，根据勾股定理得：；②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接，

在中，，，根据勾股定理得：；蚂蚁爬行的最短距离为50．故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键．10．B【分析】延长交于F，过点E作于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用""证明得到设，则，，在和中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到的长．解：延长交于F，过点E作于H，如图：∵平分，∴∵∴∴∴∵平分∴，∴，∴∵平分∴∵∴∴∴在中，∴∵BD平分∴∵，∴∴设，则，∴解得：∴故答案为：B．【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．11．【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可．解：由图可知，且其边上的高为，∴．由图可知，设边上的高为x，∴，∴，解得：，∴边上的高是．故答案为：．12．21【分析】根据勾股定理即可解答．解：，，，在中，，在中，，又在中，，在中，，．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．13．69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），＝132−102，＝69．故答案为：69．【点拨】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．14．20【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．解：，，，，即，两点间的距离是．故答案为：20．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．15．【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．解：如图，米，米，由勾股定理得，（米）；故答案为：．16．或【分析】本题考查了实数与数轴．由勾股定理求出的长，即可得出的长，然后分情况讨论：当原点在点左边一个单位长度时，计算出的长，即可得出点所代表的实数；当原点在点右边一个单位长度时，计算出的长，即可得出点所代表的实数．解：由勾股定理得，，当原点在点左边一个单位长度时，如图，，，，，点在原点左边，点所代表的实数是；当原点在点右边一个单位长度时，如图，，，，，点在原点左边，点所代表的实数是；综上，点所代表的实数是或；故答案为：或．17．【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，理解轴对称的性质构建线段和的最小值时点的位置是解本题的关键；（1）利用等边三角形的性质结合勾股定理可得答案；（2）如图，记与的交点为，连接，，，记与的交点为，由点是点关于直线的对称点，可得当与点关于直线的对称时，此时最短，且．解：（1）∵是等边三角形，为的中点，，∴，∴，（2）如图，记与的交点为，连接，，，记与的交点为，∵，，∴，

∵点是点关于直线的对称点，∴当与点关于直线的对称时，∴，，∴，此时最短，且，故答案为：，18．/【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，分两种情况讨论，结合图形，灵活应用各性质是解题的关键．解：①如图，过点作交于点，延长交于点，∵，，，∴，，∵，∴，又∵是等边三角形，,∴，∴，∴，②如图：，过点作交于点，∵，，，∴，，，∵，，∴,∴，又∵,∴,∵是等边三角形，∴,∴,∴,∴,∴,又∵,∴,又∴,,∴,∴．故答案为：或19．【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．解：由题知，，，，，，，为直角三角形，即，．20．（1）证明详见分析；（2）；（3）．【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形；（2）连接，根据代数求解即可；（3）设，则，，在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．解：（1）证明：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，又长方形，，，是等腰三角形（2）如图所示，连接，

，（3）设，则，在中，由勾股定理可知：，，．【点拨】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．21．（1）①；②；（2）存在，见分析【分析】本题考查三角形内角和，等腰三角形性质及判定，勾股定理．（1）①根据题意利用三角形内角和和等腰三角形性质即可得到本题答案；②过点作，设，用含的代数式分别将表示出来，再利用勾股定理表示出，再利用面积求出的值，即可求出本题答案；（2）过点作，根据条件求出，证明是等腰直角三角形，然后结合勾股定理即可求解．解：（1）①解：∵，，∴，∵，∴；②解：过点作，设，

，∵，，，∴，∴，∴在中应用勾股定理：∵，∴，即：，整理得：，∴，∴；（2）解：存在常数，理由如下：过点作，

，∵，∵，∴，∴∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，综上所述：存在一个常数k，使恒成立．22．（1）见分析；（2）的周长不变；；（3）【分析】（1）根据证明即可；（2）根据折叠得出，得出，根据，得出，根据求出结果即可；（3）点D在以C为圆心，以为半径的圆上，连接，得出当D在上时，最小，根据等腰三角形的判定和性质，求出，，最后求出即可．解：（1）证明：∵，，，∴，，根据折叠可知，，，∴，∴，∵，∴，即．（2）解：的周长不变；根据折叠可知，，∴，∵，∴，∴．（3）解：∵，∴点D在以C为圆心，以为半径的圆上，∴连接，当D在上时，最小，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．23．（1）；（2），证明见详解；（3）【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的