2023-2024学年广东省东莞市三校高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省东莞市三校高一下学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=2i1+iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52.若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+bA.60 B.65 C.70 D.753.某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1:4:3:2A.16 B.12 C.8 D.44.已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|=2，b=(−A.(32,12) B.5.已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为(

)

A.3150 B.3600 C.5250 D.60006.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30∘，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B′到x轴的距离是(

)

A.1 B.2 C.2 D.7.记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bA.π6 B.π3 C.2π8.《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即V=sl(V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长).如图，等腰梯形ABCD，已知ABA.54 B.32 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1,z2A.若z1=z2，则z1=z2 B.若z1−z2=z10.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是A.若A>B，则sinA>sinB

B.若▵ABC为锐角三角形，则sinA>cosB

C.若11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1A.点M到平面AND1的距离为22

B.正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.写出一个同时满足①②的复数z=

.①z213.已知正四棱台的上下底边长分别为2,12 cm，正四棱台体积为68814.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为23，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)(1)求频率分布直方图中a(2)求样本成绩的第75(3)已知落在[50,60)的平均成绩是61，方差是7，落在[60,70)16.(本小题15分)已知▵ABC的内角A,B(1)求角(2)若b=7，a=2，点D在边17.(本小题15分)如图，在▵ABC中，∠BA(1)若点M是线段CD上一点，且A(2)若B=π18.(本小题17分)如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台AB(1)求证：(2)若∠EAB=19.(本小题17分)由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB=120∘，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA、PB的距离分别为RS=4m，RT=6m，((1)求点S到点(2)为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形P答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

利用复数除法求出复数z，再求出z即可得解．【解答】

解：依题意，z=所以z=1−故选：D2.【答案】C

【解析】【分析】

根据一组数据的百分位数的定义，分别求得两组数据的第30百分位数和第50百分位数，列出方程组求解即得．【解答】

解由题意可得30=ba+故选：C．3.【答案】B

【解析】【分析】

根据分层抽样的比例关系计算得到答案．【解答】

解：根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为40×故选：B．4.【答案】D

【解析】【分析】本题考查投影向量，属于基础题．

求出b=【解答】

解：由题意，得b=2，

所以向量a在向量b方向上的投影向量为：

a→·b→5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了扇形图和柱形图，属于基础题．

由扇形图可得该地区初中生人数，由柱形图直接求解．【解答】

解：由扇形图得该地区初中生人数为：

20000×37.5%=7500，

由图乙可得初中生近视人数为：

75006.【答案】D

【解析】【分析】

先由正弦定理求出直观图的B′C′，再由斜二测画法规则求出B【解答】

解：

如图，过点B′作B′C′/在▵O′B′C′中，由正弦定理得B′于是得B′C′=2，且原图中由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是2故选：D．7.【答案】C

【解析】【分析】

由平面向量的坐标运算可得asinB2【解答】

解：由m//n得a因为▵ABC中sinAsinB2即B=故选：C．8.【答案】D

【解析】【分析】

由空间几何体的相关计算公式结合已知条件计算体积即可．【解答】

解：设AB=x,CD=易知等腰梯形绕CD旋转一周所得的几何体的体积V梯形ABCD的面积S则60πx=故选：D．9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查复数的乘法运算，共轭复数，复数的模及其几何意义，属于基础题．

根据复数的运算及性质逐一验证即可．【解答】

解：若z1=z2，则z1，z2互为共轭复数，故z1=z2，故A正确;

若z1=1，z2=i，则|z1−z2|=|z1+z2|，而z1z2=i≠0，故B错误;10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了正弦定理，利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．

A选项根据大边对大角结合正弦定理分析，B选项利用正弦函数的单调性可判断，C选项利用余弦定理得到a,b,【解答】解：A选项，根据大角对大边，A>根据正弦定理可得2RsinA于是sinA>sinB选项，若▵ABC为锐角三角形，则A函数y=sinx在(0,C选项，因为acosA=整理可得a2−b2a故▵ABCD选项，由于B=60∘由余弦定理可得ac=b2=a2所以b=a=c，故故选：AB11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查三棱锥的体积，考查外接球的体积，考查弧长公式，属于难题．

对于A，利用等体积法计算即可；对于B，C，利用球的体积计算即可；对于D，根据弧长公式计算即可．【解答】

解：A，设点M到平面AND1的距离为d，

∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别为BB1、AB的中点，

∴S△ANM=12×12×12=18，

VM−AND1=VD1−AMN=13×18×1=124，

所以VM−AND1=13×S△AND1×d=124，

S△AND1=12×12×2=24，

所以d=24，故A错误；

B，正方体ABCD−A1B1C12.【答案】−12+32i【解析】【分析】本题考查复数的概念与分类，复数的运算以及共轭复数，属于基础题．

根据题意，设z=【解答】解：因为z∉R，不妨设由z2=z所以a2−b2=a2ab故答案为：−12−32i13.【答案】512

【解析】【分析】

根据给定条件，求出棱台的高，进而求出正四棱台的斜高，再求出表面积即可．【解答】

解：设正四棱台的高为h，由棱台的体积公式得13(2令正四棱台上下底面中心为O1,O2，一个侧面等腰梯形上下底边中点分别为则四边形O1O2P2于是该正四棱台的斜高P1所以该正四棱台的表面积S故答案为：51214.【答案】[5【解析】【分析】

结合图形将所求数量积中的向量转化，化简为PM⋅PN=|O【解答】

解：如图，取AF的中点H，连接O则PM因MN为圆的直径，长度为4，故得PM⋅PN根据正六边形的性质，结合图形可知，当点P与正六边形的顶点重合时，|当点P为正六边形的边的中点时(如图点H)，|OP故答案为：[15.【答案】解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030；

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

设第75百分位数为m，

由0.65+(m−80)×0.025=0.75，

得m=84，故第75百分位数为84；

【解析】本题考查频率分布直方图、百分位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)由频率分布直方图列出方程能求出a；

(2)由频率分布直方图列出方程能求出第7516.【答案】解：(1)因为bcos由余弦定理得b⋅整理可得a2所以cosB=a所以B=(2)所以由正弦定理asinA由a<b，可得A为锐角，可得由余弦定理得b2=整理可得c2+2c−3=又点D在边AC上，且CD所以在▵ABD

【解析】(1(2)利用正弦定理结合同角三角函数的基本关系求解cosA17.【答案】解：(1)设CM因为AD=3A=λ又AM所以34λ=12m=(2)因为∠B由题意设∠ACD在▵ACD在▵BCD由①②可得A所以sinθ所以sinθcosθ=33所以∠ACD

【解析】(1(2)设∠ACD=θ18.【答案】解：(1)连接BD，DE，设取AB的中点G，连接DG，则四边形BC得AD=BD同理可得，AD⊥DE，又∴AD⊥面BDE，又B

(2)由(1)又∵∠EA由ED2+又∵DE⊥AD，BD∩过点D作DM⊥AB交AB因为AB⊂面ABCD，所以DE⊥则