期末复习（易错题60题23个考点）（解析版）-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲

期末复习（易错题52题232个考点）一．因式分解-提公因式法（共1小题）1．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c） C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【答案】B【解答】解：﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故选：B．二．因式分解-运用公式法（共2小题）2．分解因式：a4﹣16a2＝a2（a+4）（a﹣4）．【答案】见试题解答内容【解答】解：a4﹣16a2，＝a2（a2﹣16），＝a2（a+4）（a﹣4）．故答案为：a2（a+4）（a﹣4）．3．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为﹣2或8．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为：﹣2或8．三．因式分解的应用（共2小题）4．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝2a×（﹣1）+3b＝﹣2a+3b＝﹣（2a﹣3b）＝﹣（﹣1）＝1故答案为15．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝﹣3，b＝1．（2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值．（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：由：a2+b2+6a﹣2b+10＝0，得：（a+3）2+（b﹣1）2＝0，∵（a+3）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴a+3＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣3，b＝1．故答案为：﹣3；1．（2）由x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0得：（x﹣y）2+（y+4）2＝0∴x﹣y＝0，y+4＝0，∴x＝y＝﹣4∴xy＝16．答：xy的值为16．（3）由2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0得：2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，∴a＝1，b＝4；已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，由三角形三边关系知c＝4，∴△ABC的周长为9．四．分式的值为零的条件（共1小题）6．如果分式的值为0，那么x的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0【答案】B【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得，x＝1．故选：B．五．分式的基本性质（共3小题）7．如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（）A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍【答案】C【解答】解：∵分式中的a，b都同时扩大2倍，∴＝，∴该分式的值扩大2倍．故选：C．8．根据分式的基本性质，分式可变形为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵＝﹣，故选：C．9．若＝2，则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．六．分式的加减法（共1小题）10．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；（2）若分式的值为整数，求x的整数值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣；（2）＝＝＝x﹣1+，∵分式的值为整数，且x为整数，∴x+1＝±1，∴x＝﹣2或0．七．分式的混合运算（共1小题）11．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，…，，若a1＝2，则a2023的值是（）A．﹣ B． C．﹣3 D．2【答案】A【解答】解：由题意得，a1＝2，a2＝＝＝﹣3，a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝，a5＝＝＝2，……，∴an的值按照2，﹣3，﹣，，……4次一个循环周期的规律出现，∵2023÷4＝505……3，∴a2023的值是﹣，故选：A．八．分式的化简求值（共1小题）12．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝•＝•＝，∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2＝2x+2，∴当x2＝2x+2时，原式＝＝＝．九．分式方程的解（共1小题）13．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是m＜0，且m≠﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边乘x﹣2得：x+m＝2﹣x，移项得：2x＝2﹣m，系数化为1得：x＝，∵方程的解大于1，∴＞1，且≠2，解得m＜0，且m≠﹣2．故答案为：m＜0，且m≠﹣2．一十．分式方程的增根（共2小题）14．若方程＝1有增根，则它的增根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1【答案】B【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1．当x＝1时，m＝3，当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．故选：B．15．关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．2【答案】D【解答】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣3＝0，解得x＝3，方程两边都乘（x﹣3），得：x﹣1＝2（x﹣3）+k，当x＝3时，k＝2，符合题意，故选：D．一十一．不等式的性质（共1小题）16．若a＞b，下列不等式不一定成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＜﹣5b C．＞ D．a+c＞b+c【答案】C【解答】解：A．∵a＞b，∴a﹣5＞b﹣5，故本选项不符合题意；B．∵a＞b，∴﹣5a＜﹣5b，故本选项不符合题意；C．∵a＞b，∴当c＞0时，；当c＜0时，，故本选项符合题意；D．∵a＞b，∴a+c＞b+c，故本选项不符合题意；故选：C．一十二．解一元一次不等式（共1小题）17．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3【答案】D【解答】解：由mx+n＞0的解集为x＜，不等号方向改变，∴m＜0且﹣＝，∴＝﹣＜0，∵m＜0．∴n＞0；由nx﹣m＜0得x＜＝﹣3，所以x＜﹣3；故选：D．一十三．解一元一次不等式组（共1小题）18．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤8【答案】B【解答】解：因为不等式组无解，即x＜8与x＞m无公共解集，利用数轴可知m≥8．故选：B．一十四．一元一次不等式组的整数解（共1小题）19．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：，由①得：x≤3，由②得：x＞a，∴不等式的解集为：a＜x≤3，∵关于x的不等式组有5个整数解，∴x＝﹣1，0，1，2，3，∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1．故答案为：﹣2≤a＜﹣1．一十五．一元一次不等式组的应用（共1小题）20．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）300400500（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量；（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．【答案】（1）需甲车型8辆，需车型10辆；（2）有三种运送方案：①甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；②甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；③甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆．（3）甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆，最少运费是6400元．【解答】解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：，解得，．答：需甲车型8辆，需车型10辆；（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：，消去z，得5x+2y＝60，x＝12﹣y，因x，y是整数，且不大于18，得y＝0，5，10，15，由z是整数，解得或或或（舍）；有三种运送方案：①甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；②甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；③甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆．（3）三种方案的运费分别是：①300×12+400×0+500×6＝6600（元）；②300×10+400×5+500×3＝6500（元）；③300×8+400×10+500×0＝6400（元）；答：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆，最少运费是6400元．一十六．一次函数与一元一次不等式（共2小题）21．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2【答案】B【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故选：B．22．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（）A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【答案】A【解答】解：当x≤﹣2时，直线l1：y1＝k1x+b1都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1≥y2．故选：A．一十七．角平分线的性质（共2小题）23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1 B．6 C．3 D．12【答案】C【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．24．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A．四处 B．三处 C．两处 D．一处【答案】A【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．故选：A．一十八．等腰三角形的性质（共1小题）25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．【答案】见试题解答内容【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是60°；当高在三角形外部时，顶角是120°．故答案为：60°或120°．一十九．等腰三角形的判定（共1小题）26．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】B【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．故选：B．二十．等腰三角形的判定与性质（共1小题）27．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．【答案】（1）说明过程见解答；（2）①说明过程见解答；②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD，∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．∴CD＝CB；（2）①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠ACB＝90°，设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一个外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，分三种情况：当BD＝BF时，∴∠BDC＝∠BFD＝3α，∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴90°﹣α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；当DB＝DF时，∴∠DBE＝∠BFD＝3α，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∴90°﹣2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；当FB＝FD时，∴∠DBE＝∠BDF，∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD，综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．二十一．等边三角形的性质（共1小题）28．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE＝CD；②BF＝BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC＝60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解答】解：∵△ABC与△BDE为等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，即AB＝BC，BD＝BE，∠ABE＝∠CBD∴△ABE≌△CBD，∴S△ABE＝S△CBD，AE＝CD，∠BDC＝∠AEB，又∵∠DBG＝∠FBE＝60°，∴△BGD≌△BFE，∴BG＝BF，∠BFG＝∠BGF＝60°，过B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，∵S△ABE＝S△CBD，AE＝CD，∴×AE×BM＝，∴BM＝BN，∴BH平分∠AHD，∴①②③正确；∵△ABE≌△CBD，∴∠EAB＝∠BCD，∵∠CBA＝60°，∴∠AHC＝∠CDB+∠EAB＝∠CDB+∠BCD＝∠CBA＝60°，∴④正确；∵BF＝BG，∠FBG＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴⑤正确；∴∠GFB＝∠CBA＝60°，∴FG∥AD，∴⑥正确；故选：D．二十二．含30度角的直角三角形（共2小题）29．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．【答案】（1）2，2；（2）S＝；（3）或．【解答】（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，答：OC＝2，BC＝2；（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP＝2﹣t，CQ＝t，过P作PH⊥OC于H，则∠HCP＝60°，∠HPC＝30°，∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t），∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t），即S＝﹣t2+t；②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，分为两种情况：第一种情况：2＜t≤，∵CO＝2，∠NOC＝60°，∴CZ＝，CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，∵∠NOC＝60°，∴∠GPO＝30°，∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），即S＝t2+；第二种情况：如图3，t＜4时，S△CPQ＝S△COQ﹣S△OQP＝（t﹣2）•﹣（t﹣2）（4﹣t），即S＝t2+，即S＝t2+（2＜t＜4）；④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CK⊥ON于K，∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，∴OK＝BC＝1，有勾股定理得：CK＝，∴S＝PQ×CK＝×2×＝；综合上述：S与t的函数关系式是：S＝；（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．二十三．勾股定理（共7小题）31．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解答】解：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∵a+b＞0，∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．32．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84【答案】C【解答】解：（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84；（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24．故选：C．33．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A． B．1 C． D．【答案】B【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∵A'B+A'C≥BC，∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1，∴A'B的最小值为1，故选：B．34．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是12．【答案】12．【解答】解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∵∠FED＝∠BEC，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．故答案为：12．35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为3或或2．【答案】见试题解答内容【解答】解：分三种情况：①如图1所示：当AD＝AB时，由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3；②如图2所示：当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝x+3，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（x+3）2＝x2+42，解得：x＝，∴CD＝；③如图3所示：当BD＝AB时，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∴BD＝5，∴CD＝5﹣3＝2；综上所述：CD的长为3或或2．故答案为：3或或2．36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝169．【答案】169．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144，∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2，∴AB2+CD2＝169；故答案为：169．37．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12．（1）直接写出AB的长度16．（2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．【答案】（1）16；（2）；（3）8或10或．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12，∴AB＝＝＝16，故答案为：16；（2）∵∠PAC＝∠PCA，∴AP＝PC，设AP＝PC＝x，∴PB＝16﹣x，∵∠B＝90°，∴BP2+BC2＝CP2，∴（16﹣x）2+122＝x2，解得：x＝，∴AP＝；（3）AM的长为8或10或．如图（1），当CB＝CM＝12时，AM＝AC﹣CM＝20﹣12＝8；如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CM＝AC＝10；如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H，则BH＝＝，∴CH＝＝＝，∴CM＝2CH＝，∴AM＝AC﹣CM＝20﹣＝，综上所述，AM的长为8或10或．二十四．三角形中位线定理（共1小题）38．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．25【答案】D【解答】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°，∴△ABN≌△AEN，∴AE＝AB＝6，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，故选：D．二十五．多边形内角与外角（共3小题）39．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．40．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．54【答案】C【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x＝1510，180n＝1870+x＝1800+（70+x），∵n为正整数，∴n＝11，∴＝44，故选：C．41．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360° B．540° C．180°或360° D．540°或360°或180°【答案】D【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故选：D．二十六．平行四边形的性质（共2小题）42．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1） C．6n D．6n（n+1）【答案】B【解答】解：从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6＝1×6，（2）中有18个平行四边形，18＝（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36＝（1+2+3）×6，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．故选：B．43．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为44cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接EF∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF＝S△DEF，即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，即S△APD＝S△EPF＝17cm2，同理可得S△BQC＝S△EFQ＝27cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝17+27＝44cm2．故答案为：44．二十七．平行四边形的判定与性质（共2小题）44．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝秒或8秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故答案为：秒或8秒．45．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为或或．【答案】或或．【解答】解：如图，过点C作CH⊥OA于点H，∵A的坐标为（9，0），∴OA＝9，∵OD＝OA，∴OD＝3，∵点C的坐标为（3，3），∴OH＝3，CH＝3，∴D，H重合，∵CE＝4．∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况：①点P在OC上，点Q在BC上，如图，当点P与点O重合，∴S平行四边形PDEQ＝PD•CH＝3×3＝9；当DE是对角线时，如图，∴S平行四边形PDQE＝PD•CD＝3×3＝9；②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合，∴S平行四边形QDPE＝PD•CD＝4×3＝12；③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合，∴S平行四边形DQPE＝PE•CD＝5×3＝15；综上所述：平行四边形面积为或或．故答案为：或或．二十八．命题与定理（共1小题）46．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC+∠DEF＝180°；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为∠ABC＝∠DEF；请选择其中一种情况说明理由．②由①得出一个真命题（用文字叙述）：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．二十九．平移的性质（共2小题）47．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，因为AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC；又因为AB+BC+AC＝8，所以，四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10．故选：C．48．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为30．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30．故答案为：30．三十．坐标与图形变化-平移（共1小题）49．已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的．（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标；（3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围．【答案】PQ＞1．【解答】解：（1）1﹣a＝﹣3，a＝4．（2）由a＝4得：2a﹣12＝2×4﹣12＝﹣4，又点Q（x，y）位于第二象限，所以y＞0；取y＝1，得点Q的坐标为（﹣4，1）．（3）因为点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，所以，解得：1＜a＜6．因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝2或3或4或5；当a＝2时，1﹣a＝﹣1，所以PQ＞1；当a＝3时，1﹣a＝﹣2，所以PQ＞2；当a＝4时，1﹣a＝﹣3，所以PQ＞3；当a＝5时，1﹣a＝﹣4，所以PQ＞4．综上，PQ＞1．解法二：PQ＝y﹣（1﹣a）＝y+a﹣1≥y+1，∵y＞0，∴PQ＞1．三十一．旋转的性质（共2小题）50．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为9．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3，∴S△A1BA＝×6×3＝9，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝9．故答案为