河南省郑州市航空港区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年河南省郑州市航空港区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）的范围可表示为（）A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.53．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的（）A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 C．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2） D．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（）A．130° B．115° C．65° D．50°5．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP．可以得到△OMP≌△ONP，所以∠AOP＝∠BOP．那么射线OP就是∠AOB的平分线．△OMP≌△ONP的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS6．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A．OE＝OF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF7．定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（）8．下列命题是真命题的是（）A．到角两边距离相等的点在角的角平分线上 B．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是m≥﹣4 C．若关于x的分式方程有增根，则m的值为﹣5 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形9．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜010．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝6，BC＝8，则EF的长为（）A．2 B．1 C．4 D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在范围内．12．用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个角是直角”，第一步应假设．13．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点M，交BC于点P，AC边的垂直平分线交AC于点N，交BC于点Q．若∠PAQ＝36°，则∠BAC的度数为．14．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）的值是．15．如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动秒时，△ACP是直角三角形．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的正整数解．17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5），（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC进行平移得到△A2B2C2，若A2的坐标为（4，2），则B2坐标为；（3）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且点D在y轴上，则点D的坐标是．18．（9分）已知：如图，点D，E分别是等边三角形ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求∠BPC的度数．19．（9分）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本30个，共用190元，且买10个甲种笔记本比买20个乙种笔记本少花10元．（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？（2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共100个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？20．（9分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．21．（8分）数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面．比如：（1）数学在生活中的应用：如图1所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处（紧靠木板边缘），如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是．（2）数学在航海中的应用：如图2，一艘船从A处向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则利用数学知识可得B处到灯塔C的距离是海里．（3）数学在建设中的应用：如图3：某地有两个村庄M、N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点P．（注意保留作图痕迹，不用写作法）总之：数学应用于我们生活中的方方面面，数学在形成人的理性思维、科学精神、促进个人智力发展中发挥着不可代替的作用．22．（10分）【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．【理解应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：（1）由图2可得等式：；由图3可得等式：；（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝；【思维拓展】（3）已知正数a，b，c和m，n，l满足a+m＝b+n＝c+l＝k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2．23．（12分）综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．（1）【操作判断】将四边形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与四边形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点，经测量得∠ADC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD．小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q′，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ′．根据以上信息，请填空：①∠PDQ′＝°；②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为；（2）【迁移探究】小明将四边形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC＝2α，∠PDQ＝α，AD＝CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB＝180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；（3）【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC＝90°，．小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长．2023-2024学年河南省郑州市航空港区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．2．【答案】D【分析】根据不等式的定义解决此题．【解答】解：由题意可得，0＜x≤4.5．故选：D．【点评】本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．3．【答案】C【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．4．【答案】B【分析】利用平行四边形的邻角互补和已知∠A﹣∠B＝50°，就可建立方程求出未知角．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，又有∠A﹣∠B＝50°，把这两个式子相加即可求出∠A＝115°，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，建立方程组求解．5．【答案】C【分析】根据作图过程可以证明Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），进而可得结论．【解答】解：∵∠OMP＝∠ONP＝90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠POM＝∠PON，∴射线OP就是∠AOB的平分线．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，作图﹣复杂作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．6．【答案】B【分析】根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，又∵OE＝OF∴四边形DEBF是平行四边形．能判定是平行四边形．B、DE＝BF，OD＝OB，缺少夹角相等．不能利用全等判断出OE＝OF∴四边形DEBF不一定是平行四边形．C、在△ADE和△CBF中，∵∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∴OE＝OF，故C能判定是平行四边形；D、同理△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴OE＝OF，故D能判定是平行四边形故选：B．【点评】本题需注意当大的平行四边形利用了对角线互相平分时，那么对角线是原平行四边形的一部分的四边形要想判断是平行四边形一般应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明．7．【答案】C【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【解答】解：A、正三角形每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故选项不符合题意；B、正方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能密铺，故选项不符合题意；C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故选项符合题意；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺，故选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），用到的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．8．【答案】C【分析】根据角平分线的判定、分式方程的增根、平行四边形的判定定理判断即可．【解答】解：A、在角的内部，到角两边距离相等的点在角的角平分线上，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、若关于x的分式方程﹣＝1的解是非负数，则m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、若关于x的分式方程＝有增根，则m的值为﹣5，是真命题，符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．【答案】B【分析】根据不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义得到：直线y＝kx+b上，点在点A与点B之间的横坐标的范围．【解答】解：不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义就是直线y＝kx+b上，位于直线y＝2x上方，x轴下方的那部分点，显然，这些点在点A与点B之间．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．10．【答案】A【分析】根据勾股定理得到AB＝＝10，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝5，根据平行线的性质得到∠DFA＝∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF，求得∠DAF＝∠DFA，得到DF＝AD，于是得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵D、E分别为CA、CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∴∠DFA＝∠FAB，∵AF平分∠BAC，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴DF＝AD＝AC＝×6＝3，∴EF＝DE﹣DF＝2，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意列出不等式组，求不等式解集的公共部分即可．【解答】解：由题意得：，解得：20≤x≤25，故答案为：20≤x≤25．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解．12．【答案】一个三角形中最少有两个角是直角．【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．【解答】解：用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个角是直角”第一步应假设一个三角形中最少有两个角是直角．故答案为：一个三角形中最少有两个角是直角．【点评】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．13．【答案】108°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，AQ＝CQ，根据等腰三角形性质求出∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAP+∠CAQ＝72°，根据角的和差求解即可．【解答】解：∵PM垂直平分AB，QN垂直平分AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠CAQ＝∠BAP+∠CAQ+36°，∴∠BAP+∠CAQ+36°+∠BAP+∠CAQ＝180°，∴∠BAP+∠CAQ＝72°，∴∠BAC＝∠BAP+∠CAQ+36°＝108°，故答案为：108°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．14．【答案】﹣6．【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为﹣1＜x＜1，可以求出a、的值，从而求得（a+1）（b﹣1）的值．【解答】解：由得，∵﹣1＜x＜1，∴＝1，3+2b＝﹣1，解得：a＝1，b＝﹣2，∴（a+1）（b﹣1）＝（1+1）（﹣2﹣1）＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组的方法是解题的关键．15．【答案】1.75s或4s．【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝4（cm），由勾股定理得到AD＝＝＝3（cm），分两种情况：①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，根据勾股定理得到t＝1.75s；②当AP⊥BC时，如图2，根据等腰三角形的性质得到t＝4s．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5cm，∴BD＝CD＝BC＝4（cm），∴AD＝＝＝3（cm），分两种情况：①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，则PB＝t，PC＝8﹣t，∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2，∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32，解得：t＝1.75s；②当AP⊥BC时，如图2，∵AB＝AC，∴PB＝PC＝BC＝4（cm），∴t＝4s，综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，△ACP是直角三角形，故答案为：1.75或4．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．【答案】，．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式组的解集，找出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：＝•＝•＝，解不等式组得，3＜x≤5，∴其整数解为4，5，∵x﹣4≠0，∴x≠4，∴当x＝5时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值及解一元一次不等式组，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．17．【答案】（1）作图见解答过程；（2）（1，0）；（3）（0，7）．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；（3）根据平行四边形的判定和题目要求画出图形即可．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；（2）将△ABC进行平移得到△A2B2C2，如图2，若A2的坐标为（4，2），则B2坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）；（3）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是（0，7）．如图3：故答案为：（0，7）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．18．【答案】（1）证明见解答；（2）∠BPC的度数是120°．【分析】（1）由等边三角形的性质得AC＝CB，∠A＝∠ACB＝60°，而AD＝CE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ADC≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得∠ACD＝∠CBE，则∠BPD＝∠BCD+∠CBE＝∠BCD+∠ACD＝60°，所以∠BPC＝180°﹣∠BPD＝120°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠ACB＝60°，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（SAS）．（2）解：∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD＝∠CBE，∴∠BPD＝∠BCD+∠CBE＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠BPC＝180°﹣∠BPD＝180°﹣60°＝120°，∴∠BPC的度数是120°．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，求得∠BPD＝60°是解题的关键．19．【答案】（1）甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；（2）购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元．【分析】（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；（2）设购买m个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，可得m≥75，设所需费用为w元，w＝5×0.9m+3×0.9（100﹣m）＝1.8m+270，由一次函数性质得购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元．【解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意得：，解得，∴甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（100﹣m）个乙种笔记本，∵甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，∴m≥3（100﹣m），解得m≥75，设所需费用为w元，∴w＝5×0.9m+3×0.9（100﹣m）＝1.8m+270，∵1.8＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝75时，w最小，最小值为1.8×75+270＝405（元），此时100﹣m＝25，答：购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元．【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式．20．【答案】（1）证明见解析；（2）16．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再证△ABE≌△FCE（ASA），得AB＝CF，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得∠ABC＝∠D＝60°，BC＝AD＝8，AD∥BC，再证△ABE是等边三角形，得∠BAE＝∠AEB＝60°，然后证∠BAC＝90°，则AC＝4，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠FCE，∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，又∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，BC＝AD＝8，AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BA＝BE＝BC＝CE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEB＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，∴AC⊥AB，AC＝＝＝4，∴▱ABCD的面积＝AB•AC＝4×4＝16．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．【答案】（1）平行四边形的等边平行；（2）50；（3）见解析．【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质解决问题；（2）证明BC＝AB，可得结论；（3）连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT交EF一点P1，作∠AOB的邻补角的角平分线交EF于点P2，P1，P2即为所求．【解答】解：（1）理由是：平行四边形的对边平行．∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．故答案为：平行四边形的等边平行；（2）如图2中，∵∠NBC＝∠C+∠BAC，∴∠C＝84°﹣42°﹣42°，∴∠C＝∠BAC＝42°，∴BC＝AB＝50（海里）．故答案为：50．（3）如图3中，点P1，P2即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定与性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．【答案】（1）2a2+3ab+b2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）155；（3）见解答．【分析】（1）根据图2、图3及正方形、矩形的面积公式可得；（2）通过对（1）中得到的公式变形再把字母的值代入可以得解；（3）构造一个边长为k的正方形，并根据a+m＝b+n＝c+l＝k对各边进行分割，然后根据正方形、矩形的面积计算公式即可得解．【解答】（1）由图2可得等式：（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2；由图3可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；故答案为：2a2+3ab+b2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用图3得到的结论可得：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc），∴a2+b2+c2＝152﹣2×35＝225﹣70＝155；故答案为：155；（3）根据题意，可以构造如下的正方形，其边长为k：从图中面积可以看出：al+bm+cn＜k2．【点评】本题考查用图形关系解决代数问题的应用，熟练掌握“数形结合”的思想方法是解题关键．23．【答案】（1）①45；②AP+QC＝PQ；（2）成立，证明见解析；（3）5或10．【分析】（1）①根据旋转的性质得到∠ADQ′＝CDQ，然后证明出∠Q′DQ＝9