上海市9年级数学上册期末试卷及压轴20题含详细答案

上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编

押轴题专题

宝山区

25.（本题共14分，其中（1）（2）小题各3分，第（3）小题8分）

如图，等腰梯形A8C。中，AD//BC,AO=7,42=0=15,BC=25,£为腰AB上一点且AE：BE=1：

2,F为BC一动点,,NFEG=NB,EG交射线BC于G,直线EG交射线C4于H.

（1）求sinNABC；

（2）求NB4c的度数；

（3）设BE=x,CH=y,求y与尤的函数关系式及其定义域.

第25题“

长宁区

25.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）

已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=4.尸是对角线2D上的一个动点（点尸不与点8、。重合），过

点尸作交射线BC于点E联结AP,画/FPE=/BAP,PE交BF于点E.

设尸£）=尤，EF=y.

（1）当点A、P、尸在一条直线上时，求△A3尸的面积；

（2）如图1,当点尸在边BC上时，求y关于尤的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）联结PC,若NFPC=NBPE,请直接写出的长.

图1备用图备用图

崇明区

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第⑵小题5分，第⑶小题5分）

4

如图，已知△ABC中，ZACB=9Q°,AC=8,cosA=—,。是AB边的中点，E是AC边上一点，联

5

结。E,过点。作Z）广，DE交2C边于点R联结EE

（1）如图1,当。E_LAC时，求EF的长；

（2）如图2,当点E在AC边上移动时，NDFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如

果保持不变，请求出NDFE的正切值；

（3）如图3,联结。交EF于点°,当△CQ歹是等腰三角形时，请直段写出质的长.

（第25题图1）

（第25题图2）

（第25题图3）

奉贤区

25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）

己知：如图，在梯形48c。中，AB//CD,Z£）=90°,AD=CD=2,点E在边4。上（不与点A、。重合）,

ZCEB=45°,仍与对角线AC相交于点R设DE=x.

（1）用含x的代数式表示线段CF的长；

C

（2）如果把△C4E的周长记作厂的周长记作JBM，设产^=丁，求y关于x的函数关系

式，并写出它的定义域;

3

（3）当/A8E的正切值是《时，求的长.

虹口区

25.（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）

3

已知AB=5,AD=4,AD//BM,cosB--（如图），点C、E分别为射线2M上的动点（点C、E都不与点B

AF

重合），联结AC、AE,使得射线EA交射线CD于点足设BC=x,—=y.

■ZU

（1）如图1,当x=4时，求A尸的长；

（2）当点E在点C的右侧时，求y关于尤的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）联结2。交AE于点P,若△AOP是等腰三角形，直接写出x的值.

黄浦区

25.(本题满分14分)

如图，线段AB=5,AD=4,ZA=90°,。尸〃A8,点C为射线。P上一点，BE平分/ABC交线段

于点E(不与端点A、。重合).

(1)当NABC为锐角，且tan/ABC=2时，求四边形ABC。的面积；

(2)当△A8E与△8CE相似时，求线段CD的长；

(3)设CD=x,DE=y,求y关于尤的函数关系式，并写出定义域.

嘉定区

a

25.在正方形ABC。中，AB=8,点、P在边CD上，fcm/PBC="点。是在射线BP上的一个动点，过点Q

4

作A8的平行线交射线AD于点点R在射线上，使R。始终与直线8P垂直。

(1)如图8,当点R与点。重合时，求尸。的长；

(2)如图9,试探索：州的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变

MQ~

化，请求出它的比值；

(3)如图10,若点。在线段8尸上，设PQ=x,RM=y,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。

D(R)M

图8图9图10

金山区

25.（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分）

4

如图，已知在△ABC中，AB=AC=5,cosB=-,尸是边A8上一点，以P为圆心，P8为半径的。尸与边

5

的另一个交点为联结尸£»、AD.

（1）求A/IBC的面积；

（2）设尸B=x,△4尸。的面积为户求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果△APO是直角三角形，求依的长.

静安区

25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

己知：如图，四边形ABCD中，00<ZBADW90°,AD=DC,AB=BC,AC平分N3AD

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G,交线段的延长线于点尸（点P

可与点。重合），NAFB=NACB,设AB长度是a（a是常数，且a>0）,AC=x>AF=y,求y关于x的

闵行区

25.（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）

如图，在中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,CD是斜边上中线，点E在边AC上，点产在边

8c上，^.ZEDA=ZFDB,联结EF、0c交于点G.

（1）当NEDF=90°时，求AE的长；

（2）CE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式，并指出尤的取值范围；

（3）如果△CFG是等腰三角形，求CP与CE的比值.

（第25题图）（备用图）

浦东新区

25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

如图，已知在△ABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=4,点D在射线8c上，以点。为圆心，8。为半

径画弧交边于点E,过点E作EELAB交边AC于点尸，射线ED交射线AC于点G.

（1）求证：AEFGsAAEG；

（2）设尸G=x,△EFG的面积为y,求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）联结。P,当△EQ是等腰三角形时，请亶谈写出FG的长度.

（第25题备用图）

普陀区

25.（本题满分14分）

如图11,/2AC的余切值为2,AB=26，点。是线段AB上的一动点（点O不与点A、8重合）,

以点。为顶点的正方形OEFG的另两个顶点E、尸都在射线AC上，且点尸在点E的右侧.联结BG,

并延长BG,交射线EC于点P.

（1）在点。运动时，下列的线段和角中，▲是始终保持不变的量（填序号）；

①AE；②FP；③BP；④NBDG；⑤NGAC；®ZBPA.

（2）设正方形的边长为x,线段AP的长度为y,求y与x之间的函数解析式，并写出定义域;

（3）如果尸G与△APG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长.

备用图

青浦区

25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

如图10,在边长为2的正方形ABC。中，点尸是边上的动点（点尸不与点A、点

。重合），点。是边CD上一点，联结PB、PQ,且/PBC=/BPQ.

（1）当QO=QC时，求尸的正切值；

（2）设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式；

（3）联结BQ,在△P8。中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存

在，请说明理由.

图10

松江区

25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

如图，已知AABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=2,CD平分/AC2交边AB于点。，尸是射线CD上一

点，联结AP.

（1）求线段CD的长；

（2）当点P在CZ）的延长线上，且/B42=45°时，求CP的长；

（3）记点M为边A8的中点，联结CM、PM,若△CMP是等腰三角形，求CP的长.

（第25题图）

徐汇区

25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分4分）

已知，在梯形4BCZ）中，AD//BC,ZA=90°,AD=2,AB=4,BC=5,在射线8C任取一点M,联结

作NMDN=/BDC,ZMDN的另一边QN交直线8C于点N（点N在点M的左侧）.

（1）当8M的长为10时，求证：BDLDM-,

（2）如图（1）,当点N在线段8c上时，设BN=x,BM=y,求y关于x的函数解析式，并写出它

的定义域；

（3）当是等腰三角形时，求BN的长.

杨浦区

25.（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）

己知：矩形45CD中，A8=4,BC=3,点M、N分别在边48、CD直线MN交矩形对角线AC于点

E,将沿直线MN翻折，点A落在点尸处，且点P在射线CB上.

（1）如图1,当EP_LBC时，求CN的长；

（2）如图2,当EP_LAC时，求AM的长；

（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长.

（图1）（图2）（备用图）

（第25题图）

参考答案宝山区

•HLBCYH8尸/h纥

4P4

=-

iiGACCR长拽.H（i.C.4-Lfrf

如超.乙H.4E；.EMF、

即生=空,

AEMF8i-6

60

i”2<0<i<6城8<i-：I?）

x-6

X

ACF

aG^BC〃在Cl的足长及上豺

*阳、3EG7FBE'wFE：=FGFB、

长宁区

25.（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）

解：(1),/矩形ABCD：./BAD=ZABF=90°

，ZABD+ZADB=90°VA,P、尸在一条直线上，且PFLBD

ZBPA=90°ZABD+ZBAF=90°

An2

:.ZADB=ZBAF丁tanZADB=——=—=

AD42

BF1

・•・tanZBAF=——=—BF=1（2分）

AB2

：.S.^-AB•BF=-x2xl^l（1分）

MABRF22

(2)'：PFLBP：.ZBPF=90°

/.NPFB+ZPBF=90°:ZABF=90°/.ZPBF+ZABP=90°

：.ZABP=ZPFB又ZBAP=/FPE

ADDp

：.ABAPsNFPE：.——=——（2分）

PFEF

,JAD//BC；.ZADB=ZPBF

1PF1

AtanZPBF=tanZADB=-即——=—

2BP2

•：BP=245-x：.PF=-(275-x)（2分）

2

.2_245-x

2V5_xy

2

(2V5-x)22V5<x</5)

=2A(1分+1分)

45

(3)V5±l(3分)或7、；^^(2分)

崇明区

4

25、(1)VZACB=90°,cosA=-

5

AC4

--/AC=8AB=10...................1..分

AB5

•・•。是A3边的中点・・・AD=-AB=5

2

•/DE1ACZDEA=ZDEC=90°

4

AE=4：.CE=8-4=4

AD5

•.•在RfZVLED中，AE2+DE2=AD2：.DE=3.......................1分

•/DF±DE/.ZFDE=90°

又•；ZACB=90°，四边形DECF是矩形

DF=EC=4...................................................................................1分

•:在RfAEDF中,DF?+DE?=EF?：.EF=5....................1分

（2）不变............................................................1分

过点。作D"J_AC,DGLBC,垂足分别为点”、G

由（1）可得DH=3,DG=4

•/DHLAC,DG-LBC

ZDHC=ZDGC=90°

又•・•ZACB=90°；.四边形DHCG是矩形

ZHDG=90°

•//FDE=90°

：.ZHDG-ZHDF=ZEDF-ZHDF即ZEDH=ZFDG……1分

又,/ZDHE=ZDGF=90°

AEDH^AFDG......................................................................1分

DEDH3八

——=——........................................................................................1分

DFDG4

DE3

•/ZFDE=90°：.tanZDFE=——=-............................1分

DF4

（3）1。当。尸=QC时，易证N£>EE+NQbC=90。，即NDFC=90°

XVZACB=9Q°,D是AB的中点

CD=BD=-AB=5

2

BF=CF=-BC=3..................................................................1分

2

2°当网2=FC时，易证AFOCsADEQsADCB

DE3

•，,在Rt/\EDF中，tanZDFE=——=-

DF4

.•.设DE=3左，则。/=4左，EF=5k

当网2=FC时，易证。E=£>0=3左，CQ=5—3左

•；ADEQS^DCB-/.EQ=—k：.FQ=FC=-k

EQBC655

.FQ_DC_5

■：LFQCS^DCB

'~CQ~~BC~^

lk

AFC=7X125=175

六ri解得八落5117117

砥=6卡527

2分

117

3°在BC边上截取BK=BD=5,由勾股定理得出DK=2占

当CF=C0时，易证ACFQsAEDQs4BDK

:.设DE=3k,则EQ=3左，EF=5k：.FQ=2k

■：△EDQsZ\BDK:.匹=吧=DQ=-45k

DQDK2A/55

：.CQ=FC=5—\®

.CQ_BD5

^CQF^ABDK

5--45k<

.5=5解得上=述AFC=—

2k2451111

41

BF=6--2分

1111...........................................……………一

奉贤区

25.

(1)解：■：AD=DC

:.ZDAC=ZCEB=45°

ZECA为公共角.则ACEFsACJE(共边相似模型)

故由=CFC

:以=2及，CE-4

2

X+4&(X,+4)

则CF=土—=—-------

2yf24

(2)^ECA=ZABF(沙漏模型，需要推导)

XZC4£=ZE1B=45O

:.^CEA^/\BFA

272

则mIy=一C^qp=——AE=

CMAF2a京I-)2+x

即>=冬回，定义域为0<x<2

2+x

⑶法一：由ACEAsABFA

,AEAF

则rt——=——

ACAB

J2(X3+4)

2-x2&-

由wr——_4

AB

得45=x+2

c/….伤2-X3

又tanZ.A.BE—----=------=一

AB2+x5

得X」

2

则AB=2+x=—

2

虹口区

（Dii4n_4WlfiC./C=VTf

可flf.MCD为半回

<^-ADF=>—.—=».4/,»-AC=-J17

AFAD55

（3KI：尸.4■尸Dn（本班：/BCD为等腰幡阳）

255

n8C=10n2=l0nx='lBCtJG1BCh

x2

，525

3Ap=,40=4=EP=EB='-«>.if・二—+4.

x$

.2i、3

在Q-4HE卡.使用9股七发，：竺+41=4：+（巨-3|=x=空；

\x）\x）9

③DP=D.4=a=BP=BE=上S>5Z）=—+4.

XX

任却一S3中，★用句杖二理.

杀仔BD。相=、=云..、吟（而+4）

煌上.，妁稹为与成当成吟出.

2949

黄浦区

25.解：（1）过C作CHLA8与H,-----------------------------------------------------（1分）

由/A=90°,DP//AB,得四边形ADC”为矩形.

在△8CH中，C7/=AO=4,ZBHC=90°,tanZCBH=2,得HB=CH+2=2,（1分）

所以CD=AH=5-2=3,-------------------------------------------------------------------------（1分）

则四边形ABC。的面积=g（A3+CD>AD=gx（3+5）x4=16.---------（1分）

（2）由BE平分/ABC,得NABE=NEBC,

当△ABEs△硬c时，

①NBCE=/BAE=90°，由BE=BE,得ABEC咨ABEA,得BC=BA=5,

于是在4BCH中,BH=^BC1-CH2=A/52-42=3,

所以CD=AH=5-3=2.-------------------------------------------------------------------------（2分）

②/BEC=/BAE=90°,延长CE交8A延长线于T,

^ZABE=ZEBC,ZBEC=ZBET=90°,BE=BE,得ABEC咨ABET,得BC=BT,

且CE=TE,XCD//AT,得AT=CD

令CD二x,则在△BCH■中，BC=BT=5+x,BH=5~x,ZBHC=90°,

所以BC?=BH2+C/j2,即（5+x）-=（5—+42,解得x=《.------（2分）

4

综上，当△ABES/^EBC时，线段CD的长为2或彳.------------------（1分）

（3）延长BE交CD延长线于M,---------------------------------------------------------（1分）

AB//CD,得NM=/ABE=NCBM,所以CM=CA

在△BCH中，BC=y/BH2+CH2=^（5-X）2+42=ylx--10x+41.

则DM=CM~CD=4-10%+41-X,

XW//AB,得匹=也,即「GT0X+4———(2分)

EAAB4-y5

A73/E34*\/%2—10x+41—4x/x..

解得y=,----------(0<x<4.1)-------------------------------(2分)

A/X2-10x+41-x+5

嘉定区

25.在正方形ABC。中，AB=8,点P在边CD上，f(mNPBC=±,点。是在射线BP上的一个动点，过点Q

4

作43的平行线交射线于点M,点R在射线A。上，使R。始终与直线垂直。

(1)如图8,当点R与点。重合时，求尸。的长；

(2)如图9,试探索：粤的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变

化，请求出它的比值；

(3)如图10,若点。在线段8尸上，设PQ=x,RM=y,求y关于尤的函数关系式，并写出它的定义域。

D(R)M

图8图9图10

【解答】

3

(1)因为AB=8,tanZPBC=-

4

所以BC=DC=8,—

BC84

所以PC=6,BP=10,DP=2

当点R与点方重合时，因为尸。，8尸，所以ABCPS/XRQP

所以竺=£2,所以尸°=g。

BPPC5

(2)没有变化。

如图，设射线8尸交AD的延长线于点H。

因为RQ_LBP,QM±AD

所以NRQM+NAfQH=90°,ZMHQ+ZMQH=90°

所以NRQM=NMHQ

因为AH〃BC,所以/MHQ=NPBC

所以RtARQMsRt^PBC

,RMPC3

所CC以H——=——=-。

MQBC4

(3)如图，由(2)易得Rt^RQMsRt^PBCsRtAQHMspHD

因为。尸=2,所以PH=—

33

所以?+x,所以MQ=|[T+X

因为患…y2

3f104

+X

5

26

解得y2X+¥OK竺。

2025

金山区

25.

⑴S△皿=；x8x3=12

94BPDsABAC=建皿=竺丫

SAJJCAB

SFUD=空=A.=5r12212/A6

一——X+—X(0<x<57)

S41nBP12?x2551

25

(3)Z^PD<90°,

7

过C作交必延长线于E,可得cos/□£=」-

25

①当410尸=90。时

x

cosZ.APD-cosZ.CAE=二=7

255^7=25

.35

..x=——

32

②当210=90。时,

5-x7125

=——=x=---

x2532

综上所述，尸5=也35或.1上25

3232

静安

25.(1)证明：・・•四边形A3C。中，AD=DC,AB=BC,

：.ZDAC=ZDCA.ZBAC=ZBCA.......................（1分）

VAC平分NBA。，JZBAC=ADAC,

：.ZDCA=ZBCAf..........................................................（1分）

在△ABC和△AQC中，

ADAC=ABAC

AC=AC・•・AABC^AADC（1分）

ZDCA=ZBCA

：.AB=AD,BC=DC,：.AB=AD=DC=BC,…(1分)

・・・四边形A3CO是菱形.

(2)解：如图②，・・•四边形ABC。是菱形，

J.AD//BC,：.ZFAC=ZACBfNAFB=NFBC,

第25题图②

VZAFB=ZACB.：.ZF=ZFAC,

又「AC平分NBA。，:・/ACB=NFBC=/CAB,

CECB

•：/ECB=/BCA,:・XACEBsA"CBA,：.——=——，（2分）

CBCA

AB长度是a（a是常数，且。〉0）,AC=x,AF=y,

CEa

CE=—

axX

x2-a2

：.AE=x~—（1分）

xx

「AFAEyx2-a2

又・AF//BC,・・-----------（1分）

BCEC’.丁丁

x2-a2

,.y=------------（1分）

a

又・.・0。＜/衣4。W900・••此函数定义域为（、历〃＜九＜2〃）.（1分）

（3）解：：四边形ABC。是菱形，DC//AB,：./\CGE^AABE

.•.当△CGE是等腰三角形时，是等腰三角形.

CBBE口口aBE.a2

■:△CEBsXCBhBP———----9BE—（1分）

CAABxax

x2-a2

①当AE=AB时,=a,W?x2-ax-a2=0,

x

（经检验x="晅是原方程的根且符合题意，负值舍去）

解得.UL

22

1+V5

；.AC=--------a-（1分）

2

x2-a2a2

②当AE=85时,

xx

解得x=+y/2a（经检验%=伍是原方程的根且符合题意，负值舍去）

：.AC=41a（1分）

2

③当43=2万时,a=—,解得％=〃（经检验％=a不合题意，舍去）（1分）

x

/T-.i+Vs

：.AC的长为72a或-----a

2

闵行区

25.解：（1）过点E作即，A8于点X,

VZEZ）F=90°,ZEDA=ZFDB,：.ZEDA=ZFDB^45°.（1分）

在RtZkEH。中，设DH=EH=a,

在Rt^AE”中和RtZkABC中，tanZA=—

ACAH4

.4

•\AH=—a.......................................................（1分）

3

・.,RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=4fBC=3,

：.AB=《AC?+BC2=5.

・・,8是斜边上中线，・・・。。=3.

2

451S

9：AH+HD=AD,：.-+a=-,解得Q=.............................................(1分)

3a214

595

^•AE=—a=—...................................(1分)

314

(2)分别过点从产作A8的垂线垂足为“、M,

,:CE=x,CF=y,.\AE=4-x,CF=3-y.

34

在RtZXAEH中，EH=-(4-x),AH=-(4-x).....................................(1分)

43

同理RtZXB/W中，FM=-(3-y)9BM=-(3-y).（1分）

4737

ADH=-x——，DM=-y+—.（1分）

510510

RtAFHZ)和RtAFMZ)中，

ZEDA=ZFDB,

tanZEDA=tanZFDB..................(1分)

43

Qy)-(4-x)

BP：-------------

3747

—yH-----x------

510510

化简得yJ17xT68..................

（1分）

14x+44

函数定义域为史4x<4............

（1分）

39

(3)(i)当CG=CP时，

过点G作GNLBC于点N,

3

□△HCG中，cosZDCB=~,

5

34

：.CN=-y,GN=­y.

5

2

：.FN=-

5

•：GN//AC,

.CFFN1

（2分）

*''CE~GN~2'

(ii)当C/二G尸时，

过点G作GPL5C于点P,CF=y,

2A

*.*cos/DCB=—,CG=2•(y•cosZ.DCB)=—y

CEPG24

（iii）CG=。尸的情况不存在.

•••综上所述,的值为1或2

CE224

浦东新区

25.解：（1）,?ED=BD,

：.NB=/BED........................（1分）A

ZACB=9Q°,

：.ZB+ZA=90°.

,/EFLAB,

：.ZBEF=9Q°.

：.ZBED+ZGEF=90°.

：.NA=/GEF..................................................（1分）

•••/G是公共角，.....................（1分）

丛EFGs丛AEG..........................................（1分）

（2）作EH_LAE于点H.

;在RtZvlBC中，ZACB=90°,BC=2,AC=4,B

EF1

在RtAAEF中，ZAEF=90°,tanA=—=—.

AE2

；△EFGs^AEG,

•.变=笠=空」..................................（1分）

EGGAAE2

：FG=x,

*.EG=2x,AG=4x.

\AF=3x................................................................................................（1分）

.*EHLAF,

\ZAHE=ZEHF=90°.

•・ZEFA+ZFEH=90°.

：ZAEF=90°,

\ZA+ZEM=90°.

*.ZA=ZFEH.

tanA=tanZFEH.

HF1

・・在/中，ZEHF=90°,tanNFEH=——=-.

EH2

*.EH=2HF.

EH1

・,在RtZXAEH中，ZAHE=90°,tanA=——=-.

AH2

*.AH=2EH.

\AH=4HF.

•・AF=5HF.

3

\HF=-x.

5

\EH=-x...........................................................................................（1分）

5

y=-FGEH=-x-x=-x2..................................................（1分）

2255

4

定义域：（0<x<—）.（1分）

3

25425-5-J5

（3）当△EFD为等腰三角形时，PG的长度是：—（5分）

27312

普陀区

25.解：

（1）④和⑤........................................................（2分+2分）

（2）过点3作9,4（?,交AC于点交DG于点、N.

在RtZXABM中，V