2023年河南省周口市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年河南省周口市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.下列成立的式子是()

B.0.8fl>0.*

A.O.8*<logj0.8

D.3°-'<3°

C.log30.8<log,0.8

2.4个人排成一行，其中甲、乙二人总排在一起，则不同的排法共有

()

A.A.3种B.6种C.12种D.24种

3.已知

仇也也也成等差数列，且仇也为方程2/-3H+1=0的两个根，则儿十仇

为方程的两个根则b2+b3的值为

A.1/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

直线3x+y-2=0经过

(A)第一、二、四象限(B)第一、二、三家限

4(C)第一、三、四象限(D)第一、三、四象限

5.已知平面向量a=(l,1),b=(l,-1),则两向量的夹角为()。

,2D.手

4

6.已知向量a=(l,2),b=(-2,3),则(a—b)・(a+b)等于()

A.A.-16B.-8C.16D.8

函数八的=的定义域是

l]ogj:(x-1)、

(A)(l,3](B)[l,3]

7(C)(2,3](D)(l,2)U(2,3]

楠IN][M.s为参数)的焦点是

8.()

A.A.(-5,0),(5,0)

B.(0,-5),(0,5)

C.C.<-J7.O).(V7,O)

D..-'

9.函数Y=sin4x-cos4x的最小正周期是()

A.A.71

B.2K

C.

D.4TI

・一旦

10.已知直线h：x+2=0和193',11与12的夹角是

A.45°B,60°C,120°D.150°

11.已知lgsin9=a,lgcos0=b,则sin29=()

A.卢

B.2(a+6)

C.得

D.---in-

12.已知甲打中靶心的概率为0.8,乙打中靶心的概率为0.9,两人各独

立打靶一次，则两人都打不中靶心的概率为()

A.A.0.01B.0.02C.0.28D,0.72

13.不等式l<|3x+4|<5的解集为()

A.-3<x<-5/3或-1<x<1/3

B.x>-3

C.-3<x<-5/3或JSxSl/3

D.-3<x<-5/3或-1<XS1/3

14.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.

B

C.

D.

15.在AABC中，若a=2,b=2、2,c=N6+<2,则角A等于()。

A.30°B.45°C,60°D,75°

16.棱长等于1的正方体内接于一球体中，则该球的表面积是()

A.A.371

IJ•I•I

B

C.6兀

D.9K

17.已知空间中两条直线m,n,且m在平面a内，n在平面口内，设

甲：m//p,n//a；乙：平面a〃平面》贝()

A.A.甲为乙的必要但非充分条件

B.甲为乙的充分但非必要条件

C.甲非乙的充分也非必要条件

D.甲为乙的充分必要条件

18.函数，y=lg(2x-l)的定义域为()

A.A.RB.{x|x>1}C.{x|x>2}D.{x|x>0)

正四校柱/BCD-48£A中，AA,=2AB,则直线阳与宜线G"所成角的正弦值

为

(D)

(A)—(B)©苧¥

19.T

20.已知点义(4,1),5(2,3),则线段八5的垂直平分线方程为()。

A.x-y+1=0

B.x+y-5=0

C.x-y-1=0

D,x-2y+1=0

在复平面内，与复数Z=-l-i的共辄复数对应的点位于()

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

211第四象限

22.已知点A(-5,3),B(3,1),则线段AB中点的坐标为()

A.A.(4,-l)B.(-4,l)C.(-2,4)D.(-l,2)

23.若直线x+y=r和圆/+丁==(厂＞°)相切，那么r等于()

A.1/2

B.应/2

C.2

D.二

24.

在一张纸上有5个白色的点，7个红色的点，其中没有3个点在同一条

直线上，由不同颜色的两个点所连直线的条数为（）

A.-P?-P?

B.'1

C.U♦（二

D.

25.已知复数zl=2+i,z2=l-3i,则3zl-z2=(

A.A.5+6iB.5-5iC.5D,7

⑸如果则

(A)cos0<sin0(B)sin6<tan0

26.(C)tan0<cos8(D)cos。<tan8

过点(2」)且与真线y=0垂ft的直线方程为

27(A)x=2(B)x=1(C)y=2CD)y=l

28.4.函数、=%(』-2x-2)「+的定义城是

A.A.{x|x<3,x£R}

B.{x|x>-1,xGR}

C.{x|-l<x<3,x£R)

D.{x[x<-1或x>3,xGR}

29.已知空间向量a=(6,-4,2),b=(x,2,3),且a，b,则x=

()

A4

A.A.

B.

C.3

D.

30.函数y=cos2x的最小正周期是()

A.A.4兀B.2KC.TID.7i/2

二、填空题(20题)

31.•

32.等差数列申•若，.

33.已知A(2,1),B(3,-9),直线l:5x+y-7=0与直线AB交于P点，点

P分所成的比为.

34.从-个正方体中截去四个三棱锥，得-正三棱锥ABCD,正三棱锥的体

积是正方体体积的.

35.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下(单位：h):

245256247255249260

则该样本的标准差s=(保留小数点后一位).

36.海上有A,B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60。

的视角，从B岛望C岛和A岛成75。的视角，则B,C之间的距离是

设曲线y在点(I")处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=

37.

38.抛物线x2=-2py(p>0)上各点与直线3x+4y-8=0的最短距离为1,则

39.以点(2,-3)为圆心，且与直线X+y-l=0相切的圆的方程为

已知的机变量g的分布列是

-1012

JI

P

3464

购号

40.

41.已知A(-1,-1)B(3,7)两点，则线段AB的垂直平分线方程为

42设万+■-4成等比数列，则。=_______.

43.已知直线3x+4y-5=0,十y的最小值是.

44.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，那么

这两个数为

45.直线3X+4y-12=0与X轴、Y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则AOAB的周长为.

46.经验表明，某种药物的固定剂量会使心率增加，现有8个病人服用

同一剂量的这种药，心率增加的次数分别为131514108121311,则该

样本的样本方差为

47.以点(2,-3)为圆心，且与直线X+y-l=0相切的圆的方程为

48.函数f(x)=x2+bx+c的图像经过点(-1,0),(3,0),则f(x)的最小值为

49.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

50.设离散型随机变量x的分布列为

X-2-102

P0.2010.40.3

则期望值E（X）=

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

52.

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆G』+，'=i与双曲线G：5-丁=1（°>i）.

（I）设.分别是G.G的离心率,证明eg<1;

（2）设4H是c长轴的两个端点/（颉,兀）（1与1>a）在G上,直线P4与G的

另一个交点为Q,直线产4与£的另一个交点为心证明QR平行于产轴.

53.（本小题满分12分）

在△A8C中,AB=8&、B=45°.C=60。,求XC.BC.

54.（本小题满分12分）

已知小吊是椭圆金+[=1的两个焦点.尸为椭画上一点,且4八%=30。,求

△PFR的面积.

55.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

56.

（本小题满分12分）

已知参数方程

'x=+e*,)cosd,

y=^-(e*-e*,)sind.

(1)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若由”~,keN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点.

57.

(本小题满分12分)

已知数列I。」中吗=2.a..|=ya..

(I)求数列la.I的通项公式；

(口)若数列山的前"项的和S.=暮求”的值.

IO

58.

(本小题满分12分)

已知函数/(X)=1-3/+«»在［-2,2］上有最大值5.试确定常效m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

59.

(本小题满分12分)

在(a%+l)7的展开式中,心的系数是Z2的系数与%4的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

60.(本小题满分12分)

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与X轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

四、解答题(10题)

幅国2*2+/=98内有一点4(-5,0),在楠HI上求一点8,使I481最大•

61.

巳知数列I。1中,5=2,4"=/<»..

(I)求数列I的通项公式；

(II)若数列|a.1的前n项的和S.=整求n的值.

62.16

63.已知椭圆x2/a2+y2/b2=l和圆x2+y2=a2+b2,M、N为圆与坐标轴的交

点，求证：圆的弦MN是椭圆的切线.

64.已知正六棱锥的高和底的边长都等于a

(I)求它的对角面(过不相邻的两条侧棱的截面)的面积、全面积和体

积；

(II)求它的侧棱和底面所成的角，侧面和底面所成的角.

65.建筑-个容积为8000m3,深为6m的长方体蓄水池，池壁每m2的造

价为15元，池底每m2的造价为30元.

（I）把总造价y（元）表示为长x（m）的函数；

（II）求函数的定义域.

66.甲2010年初向银行贷款10万元，年利率5%（按复利计算（即本

年利息计入次年的本金生息）），若这笔贷款分10次等额归还，从

2011年初归还x万元，设2011年、2012年…2020年的欠款分别为

4、&、…"试求出⑷、生，推测丽并由此算出*的近似

值（精确到元）

在中,48=8,64=45。,C=60。,求4C,8c

67.

68.已知正六边形ABCDEF的边长为a,PA为过点A而垂直于正六边形

所在平面M的垂线，且PA=a,求

I.点P到各边AB、BC、CD的距离。解析：因为PAL平面M所以

PALBC所以点P到AB的距离为a,过A作BC的垂线交CB的延长线

于G连接PG所以BCL平面APG即PG1AB

II.PD与平面M所成的角

p.

D

69.设函数f（x）=3x5-5x3,求

（I）f（x）的单调区间；

（II）f（x）的极值.

70.

已知双曲线看一g=1的两个焦点为F：.6.点P在双曲线上,若.求:

（I）点P到/轴的距离；

tnJAPF.F,的面积.

五、单选题（2题）

71.从52张一副扑克（除去大小王）中抽取2张，2张都是红桃的概率

是（）

A.1/4B.4/13C.1/17D,1/2

72.函数y=2sin（7i/4-x）sin（7i/4+x）的最大值是（）

A.1

B.2

C.V2

六、单选题（1题）

如果函教/在区间（・84］上是餐少的，那么实效。的取

73.值苞用是（）

A.aC>3B.«>-3

C.YD-«>5

参考答案

1.C

A,0.8-91,Va=O.8V1,为减函数,

又；zVO,，O.8-01>l.

Iog3。.8「.,。=3>1,为增函数,

0<x<l..'.log30.8<0.

,

.,.0.8-0->log>0.8,itA错.

B,0.8-2（如图儿,.•a=0.8<1.为成函数，

又,；-0.1>—0.2.J.0.8一°iV0.8"

故B错.

C,log30.8与log,0.8两个数值比大小，分别看作

=log）1与1y2=log«H底不同，真敷相同，

当a>l,0VzVl时，底大，对■大.故C正确•

口.•.,。=3>1.为增函数.3°1>3°=1.故D铅.

2.C

3.D

由根与系数关系得仇+&=•1

2

由等差数列的性质将仇+仇=仇+仇=*

败应选D.

4.A

5.C

该小题主要考查的知识点为向量的数量积的性质.【考试指导】

cos(。⑶=讨：3瓦

6.B

(a—b>(a+b)=(3,-1>(-1,+5)=3x(—1)+(—l)x5=8.(答案为B)

7.D

8.C

参数方程化成标准方程为1+*=I.c=

故焦点是(答案为C)

9.A

10.B直线11与h相交所成的锐角或直角叫做h与』的夹角，即0映0090。,

而选项C、D都大于90。，，C、D排除，•.1的斜率不存在，所以不能

用tan0=|(k2-ki)/(l+k2kJI求夹角，可画图观察出0=60°.

11.D

12.B

13.D

(1)若3工+4>0,原不等式1<34+

C2)若31+4Vo.原不等式1V-(3H+4)W5A

-3&N<—V

14.D

15.A

16.A

该球的直径为6.其表面机为4xr

17.A

由甲不能推出乙，而由乙可以推出甲，甲为乙的必要但非充分条

件.（答案为A）

18.D

19.C

20.C

该小题主要考查的知识点为垂直平分线方程.

线段AB的斜率为防

Z-4

A、3的中点坐标为（3.2）,则A3的垂直平分线方程

［考试指导］y—2=］一3.即工一》一］=0.

21.C

22.D

23.C

考查直线与圆的关系

7题答案图

因为直线与81相切,所以圆心到直线的距离

半径.

笔两边平方得〈=「，•'”=2・

/12+122

24.C

25.A

26.B

27.A

28.D

29.D

因为aj_b.则a・h=(6,-4.2)•Cr,2.3)=6工-4X2+2X3-0,则工=孑.(答案为D)

30.C

由降春公式可知ycosGx}+/co&.所以函数的最小正周期为学3".（答案为O

31.

攀（答案为挈）

11(45*-a)cosa+co!i(45o-a,)sinfl^,3in(45P-a+a)=3亩45』

32.

no得公•力•«•十'-44)n&，/(叫4

«,.)xllslio

33.4由直线方程的两点式可得，过A(2,1),B(3,-9)的方程为

,x—2_y—1.JlOx+y—21=0Jx=-^

加：一—一9—1'则Q+y—7=01尸\，

_xt4-AXI_2+A,3.142+3A_^,.

H-FT—FF，即可一田=2=4.

34.1/3截去的四个三棱锥的体积相等，其中任-个三棱雉都是底面为直角

三角形，且直角边长与这个三棱锥的高相等，都等于正方体的棱长.设正

方体的棱长为a,则截去的-个三棱锥的体积为l/3xl/2axaxa=l/6a3,故0-

4xl/6a3)/a3=l/3

35.s=5.4（使用科学计算器计算）.（答案为5.4）

36.

576【“析】由巳知条件.得在中,AB=

10（海里3NA=60"，NB=75•.则有NC=45：

由正弦定理急=品.即悬'=磊’得

皮＞出黎：=5几

37.

1・新：1）效奇事察毋但胡城的,塞力y'I72m，・20.慎直线的偃率力2.・24“-4-1

38.

39.

(x-2),+(y+3)1=2

40.

!

3

41.答案：x+2y-7=0解析：设线段的垂直平分线上任一点为p(x,y)

则IFA|=|PB].即

1))+[丫一(_])了

=41-3一+(»-7-.

整理祥，x+2y—7=0.

42.±1

43.答案:1

Vlr+4y-5=0=>v——44

25：15.25

E*y*=/+(—•7-X+J一工+诬

4l69

257

“a=T7>l

lo

义:当工=一卷时

…25丫25,15、2

Me74XT6XT6-(T)

4X|6

是开口向上的抛物线，.顶点坐标(一会.

喑),有最小值l.

44.

45.

46.

47.

(*-2)；+G+3)、2

48.-4

由于函数开口向上，故其在对称轴处取得最小值，又函数过点(-1,

T+3

0),(3,0),故其对称轴为x=2,fmin(l)=l+b+C,而f(-l)由1-

b+c=0,f(3)=9+3b+c=0,得b=-2,c=-3,故fmin(l)=l-2-3=-4.

49.

设正方体的校长为工.6/="：，工=*,因为正方体的大对角线为球体的直径.有2丫=代工

<6

=g，即尸=?%所以这个球的表面积是S=4*=4x答案为

50.

51.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500—10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—lOx)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20）2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

52.证明：⑴由已知得

1"-1ii/1

r,=..........’'•----------.=।1-(J•

aaa1Va

又a>I,可得0<(L)”<1.所以.<1.

a

将①两边平方,化蔺得

+a）2yJs（X|4-a）*yj.④

由②3）分别得Vo=-『）♦Xi=1（。2-4：）.

<Ta

代人④整理得

同理可得盯二巴.

所以凡=”,-0,所以3?平行于,轴.

53.

由已知可得八=75$,

又sin75°=sin(450+30°)=sin45°cos30°+«»45osin30o=一:“一....4分

在△ABC中，由正弦定理得

_ACBC_8A……8分

sin45°-sin75°-8in60°'

所以AC=l6.BC=87T+8........12分

54.

由已知，棚圈的长轴长2a=20

设由椭圆的定义知,m+n=20①

又J=100-64=36,c=6,所以F,(-6,0),月(6,0)且15阳1=12

2aa

在APFR中,由余弦定理得m+n-2mnc<M3O°c12

m"+n1-V5»v*=144②

m:+2mn+n2=400,③

③-②.得(2+5)mn=256,mn=256(2-6)

因此的面积为:mnsin30"=64(2-石)

55.

由已知，可设所求函数的表达式为y=(H-m)'+n.

而y=丁+2工-1可化为y=(x+1)2-2.

又如它们图像的顶点关于直线彳=1对称.

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为y=(工-3)'-2,即y=--6x+7.

56.

(1)因为30,所以e'+e-''O,e'-e-yo.因此原方程可化为

「产二；=CO8g,①

e+e

7"；=siM②

,e-e

这里e为参数①1+②1,消去参数仇得

__1*!___+___1Z____]即____i!___+____2^---=।

(e,+e-T即(e'+D,+s-e-'),,

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

(2)由8卷、keN.知co**"。，M"0.而t为参数，原方程可化为

因为2e'eT=2J=2,所以方程化筒为

因此方程所表示的曲线是双曲线.

⑶证由(1)知，在椭圆方程中记》=必*匕/=小费

则＜?=『=1,c=1，所以焦点坐标为(士1.0).

由(2)知，在双曲线方程中记公=88%.从=4匕

'则/"'+/=1,。=1.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(I)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

57.

(1)由已知得＜**0,黄工上，

所以la.l是以2为首项.方为公比的等比数列.

所以°.=2(打,即4=＞…“心分

(D)由已知可得意二匕W所以修)=田•

解得n=6.……12分

58.

/(*)=3x2-6x=3x(x-2)

令/(x)=0,得驻点阳=0,叼=2

当x<0时〃#)>0;

当0。<2时/⑺<0

.•.工=0是的极大值点.极大值〃0)="»

.•.”0)=m也是最大值

m=5,又<-2)=m-20

"2)=m-4

:小-2)=-15JI2)=1

函数人工)在［-2,2］上的最小值为〃-2)--15.

由于(ax+I)7=(1+ax)’.

可见.展开式中，./X的系数分别为C；a1C；a‘，Ca’.

由巳知.2C；a'=C"+C：J

...7x6x57x67x6x52Vls«

乂Q>1,则2x—厂・a=丁♦-r2--n,5aJ-10。+3=0.

解之,糊由a>1,得a="$♦1.

59.

60.

(I)设所求点为(q.%)•

<=-6x+2.y'5s-6x©+2

由于工轴所在直线的斜率为。.则-&。+2=0,%=/.

：

因此y0=-3•(y)+2•y+4=y.

又点(•.号，不在x轴上，故为所求.

(2)设所求为点(与，<»)•

由(l),y'j=-6x,+2.

由于y=*的斜率为I,则-6斯+2=IMo=/

1|17

因此，。=­•记+2•8+4=不

又点(V)不在直线一上'故为所求.

解设点8的坐标为(七,九)，则

\ABl=，(一+5-+yj①

因为点B在椭圆上，所以2xJ+y「=98

y,1=98-2x,2②

将②R人①,得

\AB\=y(x,+5)2+98-2*,1

=y-(«t,-10x,+25)+148

=/-(x,-5)2+148

因为-(*i-5)2WO,

所以当&=5时，_(4-5)'的值锻大，

故M8I也最大

当看=5时,由②，得八=±4百

61所以点8的坐标为(5,44)或(5,-44)时最大

解：(I)由已知得4,0,中1=/,

所以la」是以2为首项,■!■为公比的等比数列，

所以a”=2传)，即4=上.

62.

(n)由已知可嘘=史用工所以闺=(±);

七一3一.，

解得n=6.

关入上位二•er，，.、？<­

63.

•；M,N为m与坐标，的交点.不妨取M,N在y门轴的正方向.

〃+y/N(/?+/.0).

由直找的微距式可知•疼MN的方程为，

-工…」--1

直线方程与■■方程取文得

(£-4—»1

Jv4TTF

[AM^

flIW<a,2«**JW'/*+0，・0・

司4=(2。'4'+P尸一4Q'+")a'nO・

可知二次方程府两个相等实根.因因MN是■A的切埃.

同理.可徒其他3神情况弦MN仍是H■的切线.

64.

ABCDFF.9OWA.5KSFF.»•ACJID.

AMttftM•ADa>2«.AC~tA0*MM*«*VTa,M»sc~

<1区〜”.✓XF^G7-VT..

△WA04・.SA--f/.

4

7Sr)lAO.SO-A(),.,.ZSAO'«5".

VM>l«M.SKl£F.£FC*a.

•,.(MCxEF.

•••ZSKOIBSTFy*一二m”.

〜由命才•哈

：.NSK«AM<ua

65.(1)设水池长xm,则宽为池壁面积为2x6(x+8000/6x),

池壁造价：15xl2(x+8000/6x),

池底造价:(8000x3)/6=40000

总造价：y=15xl2(x+8000/6x)+40000=180x+240000/x+40000(元).

(II)定义域为｛x|x£R且x>0).

66.

aj=10X1.05—x,

。2=10X1.O52—1.05x-x»

32—

a3=10X1,O5-1.05x1.05jr-x.

推出am=10X1.05'°—1.059x~1.058x-------

1.05x—n.

1OX1.O510

由解出

a”,x=1+1.05+1.O52H----F1.059

置3绊Q1.2937(万元).

解：由已知可得,4=75。,

又sin75°=sin(45°+30°)=sin450cue300+coM50sin30。

4

在△4中,由正弦定理得

4cBC_S6

•in4508in75°sin6O0,

rr所以AC=16.SC=86+8.

67.

68.因为PA，平面M所以PAXBC所以点P到AB的距离为a,过