人教A版高中数学第一册(必修1)学案4：5. 6 函数 y=Asinox+(p) (一 ) ~5. 6 函数 y=Asinox+(P)(二)

5.6函数y=Asin((ox+(p)(一)~5.6函数y=Asin((ox+

(P)(二)

『课程标准』

结合具体实例，了解y=Asin(3+°)的实际意义，能借助图象理解参数。，＜p,4的意义,

了解参数的变化对函数图象的影响.

「新知初探J

知识点一A,co,°对函数y=Asin(gx+9)图象的影响

1.g对函数y=sin(x+e)图象的影响

2.①对函数y=sin(cor+9)图象的影响

3.4对函数丁=4^11(5+9)图象的影响

(2)①越大，函数图象的周期越小，①越小，周期越大，周期与g为反比例关系.

(3加大于0时，函数图象向左平移，夕小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”.

(4)由y=sinx到y=sin(x+s)的图象变换称为相位变换；由y=siar到y=sincox的图象变换

称为周期变换；由y=sinx到y=Asiax的图象变换称为振幅变换.

知识点二函数y=4sin(@x+9),A>0,”>0的有关性质

1.定义域：R

2.值域：.

3.周期性：T宅.

CO

4.对称性：对称中心(包;产，0)，对称轴是直线

5.奇偶性：当p=E(ACZ)时是奇函数.

6.单调性：通过整体代换可求出其单调区间.

状元随笔|研究函数)，=水访(3k+°)性质的基本策略

(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调

区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数.

(2)整体思想：研究当xcla,夕』时的函数的值域时，应将s+e看作一个整体仇利用XG

外求出。的范围，再结合y=sin。的图象求值域

『教材解难」

1.教材P231思考

筒车转轮的中心。到水面的距离心筒车的半径r,筒车转动的角速度。，盛水筒的初始位

置P。以及所经过的时间t.

如图，以。为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.设f=0时，盛水筒M

位于点R),以Ox为始边，OPo为终边的角为“，经过rs后运动到点P(x,y).于是，以Ox

为始边，OP为终边的角为血+a并且有

y=rsin(cof+9)①

所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间/的关系是

H=rsin(sf+°)+〃.②

2.教材P232思考

(1)能.(2)可以先按9再按°,最后按A的顺序研究.

「基础自测J

1.利用“五点法”作函数丫=$m5，xe/0,43d的图象时，所取的五点的横坐标为()

A八兀3兀-八八兀兀3兀

A.0,于7t,—,27rB.0,初彳,兀

7T7T7T2兀

C.0,兀，2兀，3兀，4兀D.0,不，¥2»~3~

2.将函数)，=sinx的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数『解析』式是()

A.y=sinx+^B.y=sinx-

C.y=sinQ-D.y=sin^r+^

3.函数於)=sin(x+金图象的一条对称轴方程为()

兀e兀

A.工=­]B.x=a

­兀C

C.x=2D.x=n

4.将函数y=sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)可得到函数

________的图象.

「课堂探究』

题型一作函数y=4sin(gx+0)的图象

例1画出函数)，=2sin(3x一6的简图.

状元随笔|画函数尸Asin(s+0)的图象一般有2个方法.

法一：先画y=sinx,然后按aco,A的顺序依次画出图象.

法二：五点法作图，按列表，描点，连线的步骤画图.

方法归纳

五点法作图

五点法作函数y=Asin@x+e)(xGR)图象的步骤.

(1洌表，令。x+p=0,全it,咨，2兀，依次得出相应的(x,y)值.

⑵描点.

(3)连线得函数在一个周期内的图象.

(4)左右平移得到y=Asin(<ox+o),xWR的图象.

跟踪训练1已知函数y=2sin修+§.试用“五点法”画出它的图象.

解题要点换元一列表求值一描点画图

题型二三角函数的图象变换

例2由函数y=shu•的图象经过怎样的变换，可以得到函数y=-2sin(2x一胃+1的图象.

状元随笔|本题考查三角函数的图象变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两

种不同变换顺序的角度去考虑，得到『答案』.

方法归纳

解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量,

在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到『解析』式也不同，这点应特别注意，否则

就会出错.

JT

跟踪训练2由函数)，=cosx的图象如何得到函数)，=-2cos2x+之+2的图象.

解题要点方法一，先平移，后伸缩;

方法二，先伸缩，后平移.两种变换方法中向右平移的单位长度是不同的（即普和明，但得

到的结果是一致的.

题型三三角函数［解析」式

例3如图所示，它是函数产Asin（ox+?）（A>O,0>O,一无<夕<兀）的图象，则该函数的『解析J

式为.

状元随笔观察图象,求出A、3、°.解法一单调性法，解法二最值点法，解法三起始点法,

解法四图象平移法.

方法归纳

根据三角函数的图象求函数兀v）=Asin（（yx+9）的『解析』式，一般先结合图形求得振幅和

周期，从而求得A,3再利用特殊点、零点或最值点列出关于°的方程求出夕值，函数y

=Asin（3x+p）（A>0,。>0）的零点有上升零点和下降零点，一般取最靠近原点的上升零点刈，

令coxo+（p=2kn；下降零点xo，使3Xo+g=7t+2E,再根据中的范围确定（p的值.特别注

意，求e值时最值点法优先.

TTTT

跟踪训练3函数y（x）=Asin（①x+p）A>0,加>0,一于:‘节，x£R的部分图象如图所示，则

函数丁=段）的『解析』式为（）

B.y(x)=sin(x+W

C./(x)=cosLr+^D.y(x)=cos(x-

解题要点由图可知A=l,由周期可求如代入最值点可求已

题型四函数y=Asin（cox+9）性质的综合应用

例4函数y=Asin（Gx+9）（A>0,①>0,10<9的部分图象如图所示，则（）

A.兀¥）的一个对称中心为俘,0）

B.式x）的图象关于直线x=一七兀对称

TT

C.兀v）在［一兀，一51上是增函数

D./U）的周期为当

状元随笔求出函数的『解析』式，分别利用函数的对称中心、对称轴、单调性，周期的

公式判断.

方法归纳

1.与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧

（1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.

⑵确定函数），=Asin（ox+0）（A>O,。>0）单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将<ox

十。看作一个整体，可令“z=ox+9”,即通过求〉=44此的单调区间而求出函数的单调区

间.若3<0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间.

2.求三角函数值域的常用方法

（1）求解形如丫=4^11%+6（或y=acosx+6）的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的

有界性（一IWsiiu（或cosx）Wl）求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意

考虑三角函数的周期性.

（2）求解形如y=asin2x+〃sinx+c（或y=qcos2x+Z>cosx+c）,x&D的函数的值域或最值时，

通过换元，令£=《9（或8$此，将原函数转化为关于f的二次函数，利用配方法求值域、最

值即可.求解过程中要注意f=sinx（或cosx）的有界性.

跟踪训练4本例中，试求函数在|_0,方上的值域.

解题要点由X的范围求出（ox+<p的范围，最后求函数的值域.

易错警示<p,（O,A对图象的影响.

例将函数y=sin（2x一3的图象先沿x轴向右平移;个单位长度，再把所得图象上各点的横

坐标缩短到原来的*求与最终的图象对应的函数的『解析』式.

r错解1』将原函数的图象沿x轴向右平移:个单位长度后，与其对应的函数的「解析」

式为

产sin（2xW）=sin（2x一急，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

则与其对应的函数的I1解析』式为y=sin（4x一相）.

［错解2』将原函数的图象沿x轴向右平移;个单位长度后，与其对应的函数的「解析」

式为尸/2（厂/$］=sin［2（x—洌，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的‘

则与其对应的函数的F解析』式为尸sin14（x一招）卜sin（4x—苧）=sin（4x+§.

［错解3』将原函数的图象沿x轴向右平移々个单位长度后，与其对应的函数的『解析』

式为尸sin（2xW）=sin（2x一得，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的‘则

与其对应的函数『解析』式为y=sin12（2x一音）］=sin（4x一引=5抽0犬+手）.

『错因分析』以上三种解法都是错误的，错解产生的根本原因是没有抓住变换的对象，错

解1在进行平移变换时，错误地把2x看成了变换对象：错解2在进行伸缩变换时，错误地

把2a一S骨ir）看成了变换对象；错解3在平移变换和伸缩变换上都犯了错误.

[点评」由y=siar的图象变换为y=sin(@x+p)(3>0)的图象时，，若先由y=sior的图象变

换为y=sin(ux的图象，再由y=sin<ox的图象变换为y=sin((ox+。)的图象，则左右平移g个

单位长度，很多人都直接左右平移网个单位长度，从而导致错误.

r学业达标』

一、选择题

1.将函数y=sin2r的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数了=

,大外的图象，则()

A.)，=/)的图象关于直线xj对称

B./U)的最小正周期为方

C.尸危)的图象关于点&0)对称

D./U)在(一,，部二单调递增

2.将函数y=sinx的图象向左平移刍个单位，得到函数y=/(x)的图象，则下列说法正确的是

()

A.y=/(x)是奇函数

B.y=/(x)的周期为兀

C.y=/(x)的图象关于直线对称

D.y=#x)的图象关于点(一壬0)对称

7T571

3.已知3>0,0<9<兀，直线x=z和x=q■是函数/U)=sin(cwx+9)图象的两条相邻的对称轴，

则夕=()

▲兀c兀一兀C3兀

A]BjC，2D彳

4.把函数«r)=sin(-3尤+§的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移W个单位长度，

则所得图象的『解析』式为()

二、填空题

5.将函数y=sitrr的图象向左平移点个单位，再向上平移2个单位，得到的图象的「解析J

式为.

6.在函数y=2sin(sx+9)(co>0)的一个周期上，当》=热，有最大值2,当*=争寸，有最

小值一2,则<0=.

7.如图所示的曲线是尸Asin(0x+0)(A>O,。:>0)的图象的一部分，则这个函数的『解析』

式是

三、解答题

8.已知函数〉=$指(2%+彳)+1.

(1)用“五点法”画出函数的草图:

(2)函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？

9.函数y=Asin(ftzv+0)(4>0,。>0，阳噂的图象的一段如图所示，试确定A,co,3的值.

10.己知函数兀O=Tsin(2x+5)+3.

(1)求人x)的振幅、最小正周期及单调增区间；

(2)求.穴x)的图象的对称轴方程和对称中心；

(3)求犬x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.

——★参*考*答*案★——

「新知初探』

知识点一A,co,°对函数y=Asin(@x+9)图象的影响

1.左右

2.-

CD

3.A

知识点二函数y=Asin(①x+°),A>0,e>0的有关性质

2.f-A,Al

「基础自测』

1.『『解析」」令太=0，y兀'学，2兀得，x=0,兀，2兀，3兀，4兀.

『『答案」」C

2.17解析J」y=siru错误!y=sin错误!.

仃答案」」C

3.1「解析」」对于函数./U)=sin(x+1),

令X+£=E+；,%GZ,求得尤=航+£,fcez,

可得它的图象的一条对称轴为x=W，故选B.

「「答案」」B

4.“解析」」将函数y=sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍(纵坐标不变)可得,

函数y=sin(3X3x)=sin9x的图象.

「「答案」」y=sin9x

『课堂探究J

题型一作函数y=4sin(ox+°)的图象

例1

“解析』』先画出函数)=sinx的图象；再把正弦曲线向右平移袭个单位长度，得到函数

产sin(x*)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的抽，得到函数y=sin(3x一§的

图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y=2sin(3x—2的

图象，如图1所示.

下面用“五点法”画函数y=2sin（3L§在一个周期（T=亨）内的图象.

令X=3x—2，则x=1（x+1）,列表，描点画图（图2）

n3兀

0兀2兀

X2T

兀2兀7兀57c1371

X18T87s

y020-20

图2

跟踪训练1

「「解析』」令r=5+专列表如下:

Tt2兀5兀8兀1171

X~3TT

n371

02兀

t271~2

y020-20

描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象:

题型二三角函数的图象变换

例2

『『解析』』方法一y=siru,的图象

所有点的纵坐标伸长到原来的2倍

横坐标不变

,关于才轴作对称变换

y=2sinx的图象-----------------------►

所有点的横坐标缩短到原来的｝倍

y=-2sinx的图象纵坐标不变

向右平移仓个单位长度

y=-2sin2x的图象---------------------

向上平移1个单位长度

-2sin（2x—。的图象-2sin(2x-§+l的图象.

尸----------*尸

向右平移十个单位长度

方法二y=siru,的图象------------------------

所有点的横坐标缩短到原来的等倍

y=sing_§的图象纵坐标不变

关于x轴作对称变换

=sin（2A-3的图象

)'

各点的纵坐标伸长到原来的2倍

y=~~sin2x*的图象

横坐标不变’

向上平移1个单位长度

—2sin（2x一裔的图象—2sin（2x一袭）+1的图象.

y=--------->y=

跟踪训练2

U解析」［y=-2COS（2R+5）+2=2COS（2X+,）+2=2COS［2G+*兀）］+2.

a7人MA各点横坐标缩短为骗

向左平移方/个单位

□7--------------；-------；-------

方法——y=cosx---------------------------------►y=cosx+^n队坐标不变

各点纵坐标伸长到原来的2倍

横坐标不变

向上平移2个单位

y=2cos+2.

各点横坐标缩短为原来的十

方法二y=cosx纵坐标不变

向左平移与n个单位

---------爸------------►/7、各点纵坐标伸长到原来的2倍

y=cos2x纵坐标不变y=cos（2x+7■兀------------*

16）横坐标不变

y=2cos2x+2.

题型三三角函数『解析」式

例3

『『解析』』解法一（单调性法）由图象可知：

A=2,7=专一（一欧=3兀=区，则①=力.

2\Z/CD3

・•,点（兀，0）在递减的那段图象上，

•,•牛+3金3+2攵兀，当+2E（k£Z）,

则由sin停+e）=0,得专+s=（2Z+l）7r（ZeZ）.

・・•兀

・一兀兀,・・3=,

...该函数的『解析』式为尸妊in（|r+§.

解法二（最值点法）由图象可得T=3mA=2,则①=等

将最高点坐标自2）代入y=2sin盖+J得2sin《+Q）=2,

7T717T

••・&+8=2攵兀+](攵£2),.\(p=2/ai+^(k^Z).

又一兀＜8＜兀，

.•.该函数的『解析』式为y=2si舟

2

解法三（起始点法）由题图得T=3TC,A=2,故①=§,函数〉=4;吊（①x+*）的图象一般由“五

点法”作出，而起始点的横坐标刈正是由①刈+“=0解得的，故只要找出起始点的横坐标

2712

X0，就可以迅速求得角已由图象求得①=］，xo=-9=—GX0=—

・,•该函数的『解析』

解法四（图象平移法）由图象知，将函数），=2sin|x的图象沿x轴向左平移3个单位长度，就

得到本题的图象，故所求函数的『解析』式为产2域於+切，即y=2sin僚

打答案』』y=2sin（fx+1）

跟踪训练3

「「解析」」由图象得A=I,所以T=2兀，则。=1.将点备1）代入函数段）

f解析』式得sin《+q）=l,又一看卬专所以夕=?因此函数段）=sin（K+?）.

「「答案」」B

题型四函数y=Asin（（ox+性质的综合应用

例4

7T

IT『解析』」根据函数y=Asin（3x+8）A>0,0>0,侬<2的部分图象.

可得A=3,所以0=2,再根据五点法作图可得2*1+夕=兀，所以9=?

所以y=3sin（2x+0,显然，它的周期为券=兀，故排除D；

当尸当时，函数y=/（x）=3sin（2x+g=0,故函数的图象关于点管，0）对称，故A正确.

当工=一吉兀时，4无）=会不是最值，故人幻的图象不关于直线》=一切对称，故排除B；

在[―兀，一上，2x+fe[-y,一用，y=3sin2呜不是增函数，故排除C.

“答案」』A

跟踪训练4

rr解析」」因为尸3sin（2x+g,回0,外,所以2x+罗,y],

所以sin（2x+§e—半，1,所以函数的值域为一斗，3.

易错警示夕，“，A对图象的影响.

例

『正解』将原函数的图象沿x轴向右平移点个单位长度后，与其对应的函数的『解析』式

为y=sin12（x-兰一副=痴3一引，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的盘则

与其对应的函数的『解析』式为y=sin（4x—1）.

「学业达标」

一、选择题

1.「「解析」」函数y=sin2r的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，

可得：y=sinx,即兀r）=sinx.

根据正弦函数的图象及性质，可知：对称轴x=^+E,k《Z,所以A不对.

周期r=2n,所以B不对.对称中心坐标为（E,0）,k6Z,所以C不对.

单调递增区间为[2E—全方+2E|,kCZ,所以於）在（一？/上单调递增.

「「答案」」D

2.仃解析」」函数）=sinA,的图象向左平移冷个单位长度后，得到函数段）=sin（x+m=cosx

的图象，“r）=cosx为偶函数，周期为2n；又因为诡）=cos>0,所以y（x）=cosx的图象

不关于直线x=,对称；又由W）=cos（—§=0,知>（x）=cosx的图象关于点（甘，0）对

称.故选D.

「「答案」」D

3.「『解析」J由题意得周期丁=2仔一匀=2兀，

/.2n—~,即<y=l,.7/（x）=sin（x+9）,

.兀［兀5兀.|兀兀.71

0<0<兀,••4<^+4<T,­-9>+4=2,--^=4-

打答案」」A

/兀、周期扩大为/3兀、向右平移

4.F「解析」」产sin（-3x+1原来的丁产成―>:个单位长度,

产sin[―1（T）+*sin（_%+舒

「「答案」」A

二、填空题

5.F「解析」」将函数），=sinx的图象向左平移;个单位，得到的图象的『解析』式为y=

sinQ+g,再向上平移2个单位，得到的图象的『解析』式为）=力1^+；）+2.

『「答案」」产sin（x+胃+2

6.「「解析」」依题意知9=知一为去所以7=冗，又7=冬=冗，得“=2.

ZJOZ（D

打答案」」2

7.H解析」」由函数图象可知A=2,7=缪一言=兀，即金=兀，故0=2.

又点（fl，2）是五点法作图的最大值点，即2X,+夕=5+2&兀，上GZ,则《=三+'

2km

故所求函数的『解析』式为y=2sin（2x