备战高考数学一轮复习第十章 统计与统计案例

第十章|统计与统计案例第一节随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事件A与事件B相等A＝B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(E)＝eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率：P(F)＝eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．(1)频率随试验次数的改变而改变，概率是一个常数．(2)对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．(3)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.(4)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．1．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论错误的是()A．A与C互斥 B．B与C互斥C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥解析：选DA为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，A与B互斥，C为{三件产品有次品，但不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，由此可知，A与C是互斥事件．B与C是互斥事件．故选D.2．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是eq\f(1,6)，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析：选C易知事件A，B不是互斥事件，由题意可得A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3}，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).3．甲、乙两人做锤子、剪刀、布游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________．解析：设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C.容易得到如图．平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点随机事件的关系及运算[题点全训]1．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A表示“恰有一件次品”；事件B表示“至少有两件次品”；事件C表示“至少有一件次品”；事件D表示“至多有一件次品”．则下列说法正确的是()A．A＋B＝D B．B＋D是必然事件C．AB＝C D．AD＝C解析：选B事件A＋B表示“至少有一件次品”，即事件C，所以A不正确；事件B＋D表示“至少有两件次品或至多有一件次品”，包括了所有情况，所以B正确；事件AB＝∅，所以C不正确；事件AD表示“恰有一件次品”，即事件A，所以D不正确．2．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球C．取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D．取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球解析：选D在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生，故A不是互斥事件；在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生，故B不是互斥事件；在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生．故C是对立事件；在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生，故D是互斥而不对立的两个事件．故选D.[一“点”就过]辨析互斥事件与对立事件的思路(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．(2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．(3)互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)随机事件的概率与频率[典例]某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(1,5)eq\f(1,10)(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为：降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(1,5)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(1,10)(2)根据题意，Y＝460＋eq\f(X－70,10)×5＝eq\f(X,2)＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq\f(3,10).[方法技巧]1．计算简单随机事件的频率或概率的解题思路(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率公式得所求，由频率估计概率．2．求复杂事件的概率的两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解概率．(2)若将一个较复杂的事件转化成几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即“正难则反”．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．[针对训练]某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.重难点(二)互斥事件、对立事件的概率[典例]一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．[解]记事件A＝{任取1球为红球}；B＝{任取1球为黑球}；C＝{任取1球为白球}；D＝{任取1球为绿球}，则P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(4,12)，P(C)＝eq\f(2,12)，P(D)＝eq\f(1,12).(1)由于A，B互斥，故取出1球为红球或黑球的概率为P1＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)任取一球，取出的小球是红球或黑球或是白球的对立事件是取出一个小球是绿球．故P2＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).[方法技巧]求互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)[针对训练]经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(互斥事件与对立事件的概念把握不准)某篮球职业联赛中，运动员甲在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表(不包含罚球)：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率，则下述结论不正确的是()A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55解析：选D由题意可知，P(A)＝eq\f(55,100)＝0.55，P(B)＝eq\f(18,100)＝0.18，事件“A＋B”与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，所以P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45.2．(借助数学文化)公元5世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.1415926<π<3.1415927.为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为()A.eq\f(28,31) B.eq\f(19,21)C.eq\f(22,31) D.eq\f(17,21)解析：选A选择数字的总的方法有5×6＋1＝31(种)，其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于3.14的概率为P＝1－eq\f(3,31)＝eq\f(28,31).故选A.3．(创新命题情境)对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45解析：选D由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率约为0.45.故选D.4．(创新考查方式)设条件甲：“事件A与B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．故甲是乙的充分不必要条件．5．(渗透“五育”教育)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq\f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).答案：eq\f(19,28)[课时验收评价]1．某省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为()A．既是互斥事件又是对立事件B．对立事件C．不是互斥事件D．互斥事件但不是对立事件解析：选D该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同时不发生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件．故选D.2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为()A．0.64 B．0.36C．0.16 D．0.84解析：选C设P(A)＝x，则P(B)＝3x，因为事件A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，解得x＝0.16.故选C.3．已知随机事件A，B发生的概率满足条件P(A∪B)＝eq\f(3,4)，某人猜测事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))发生，则此人猜测正确的概率为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D．0解析：选C∵事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))与事件A∪B是对立事件，∴事件eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(A∪B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，则此人猜测正确的概率为eq\f(1,4).故选C.4．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.eq\f(7,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15) D.eq\f(13,15)解析：选C由题意知，比较满意的人数n＝4500－(200＋2100＋1000)＝1200(人)，故“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300(人)．所以概率为P＝eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).5．在甲、乙、丙、丁四位志愿者中随机选两人，去社区给困难户送生活必需品，恰好选到丙和丁的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：选D在甲、乙、丙、丁四位志愿者中随机选两人，去社会给困难户送生活必需品，基本事件总数n＝6，∴恰好选到丙和丁的概率P＝eq\f(1,6).故选D.6．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,8)解析：选A由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将1枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少有一枚正面向上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).故选A.7．下列结论正确的是()A．事件A的概率P(A)必满足0<P(A)<1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显的疗效的可能性为76%D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖解析：选C由概率的基本性质可知，事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，不一定有5张中奖，故D错误．故选C.8．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选B根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，而总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为eq\f(22,66)＝eq\f(1,3)，由频率估计概率得P＝eq\f(1,3).故选B.9．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))解析：选D由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).10．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，则军火库爆炸的概率为_______．解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.答案：0.22511．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是________．解析：由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)12．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．解析：∵eq\x\to(x)＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.答案：0.9813．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿玻璃球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事件A“至少取得一个红玻璃球”与事件B“取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(8,15)eq\f(14,15)14．某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保新司机车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.15．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.第四节古典概型与几何概型1.理解古典概型及其概率计算公式.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.2.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.了解几何概型的意义.))1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)古典概型的特征①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的．(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值eq\f(m,n)古典概型的概率计算公式eq\f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化3．几何概型(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)几何概型的基本特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)计算公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．(2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．(3)在几何概型中，如果A是确定事件，①若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P(A)＝0不能推出A是不可能事件．②若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件，因此由P(A)＝1不能推出A是必然事件．1．在区间(0,4)内随机取一个数x，则使得不等式(x＋1)2≥5x－1不成立的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：选C由题意(x＋1)2≥5x－1不成立，即(x＋1)2＜5x－1，即x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，又x∈(0,4)，故所求概率为eq\f(2－1,4－0)＝eq\f(1,4).2．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，假设此人再射击1次，则中靶的概率约为________，中10环的概率约为________．答案：0.90.23．一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球．从中先后取出2个球，则基本事件的个数为________．答案：124．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)基本事件及事件的构成[题点全训]1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入密码所构成的基本事件的总数等于()A．5 B．10C．15 D．20解析：选C用树状图列举如下所示：所以事件总数有15种．2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则总的选法的种数等于()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}，共10种情形．3．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)则该班至少参加上述一个社团的人数等于________．(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件个数等于________．则A1被选中且B1未被选中的事件的个数等于________．解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)．(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．答案：(1)15(2)152[一“点”就过]基本事件个数的确定方法列举法此法适合于基本事件个数较少的情况列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求基础点(二)简单的古典概型与几何概型的计算[题点全训]1．(2021·全国乙卷)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))随机取1个数，则取到的数小于eq\f(1,3)的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：选B由题意及几何概型的概率公式，得取到的数小于eq\f(1,3)的概率P＝eq\f(\f(1,3),\f(1,2))＝eq\f(2,3).故选B.2．(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(4,5)解析：选A根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，故所求概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故选A.3．在水平放置的长为5m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2m的概率是________．解析：这是一个几何概型，其概率就是如图所示的相应的线段CD，AB的长度的比值，故所求概率P＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)4．甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是________；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为________．解析：两人掷同一枚骰子各一次出现的所有结果有6×6＝36(种)．设至少出现一个5点或6点为事件A，则A包含的结果有6×6－4×4＝20(种)，所以P(A)＝eq\f(20,36)＝eq\f(5,9).甲取胜包含的结果有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15个，所以甲取胜的概率为eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,9)eq\f(5,12)[一“点”就过]古典概型的概率求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)求解．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)古典概型与其他知识结合运动员078107x9231[典例](1)如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为()A.eq\f(2,10)B.eq\f(3,10)C.eq\f(7,10) D.eq\f(9,10)(2)已知四条直线l1：y＝x，l2：y＝3x－2，l3：y＝3x＋2，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数f(x)＝x3的图象相切的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[解析](1)根据篮球的得分规则可知，x＝0,1,2，…，9共10种可能，无论x取何值，则位于中间的两个数为17,10＋x，则中位数为eq\f(17＋10＋x,2)＝eq\f(27＋x,2)，得分的平均数为10＋eq\f(7＋x＋9＋13＋11－3－2,8)＝10＋eq\f(x＋35,8)，由10＋eq\f(x＋35,8)≥eq\f(27＋x,2)得3x≤7，即x≤eq\f(7,3)，所以x＝0,1,2，共有3种，所以这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为eq\f(3,10).(2)由题设，f′(x)＝3x2，当f′(x)＝3，得x＝±1，若x＝1，则f(1)＝1，即切点为(1,1)的切线为l2：y＝3x－2，若x＝－1，则f(－1)＝－1，即切点为(－1，－1)的切线为l3：y＝3x＋2，当f′(x)＝1，得x＝±eq\f(\r(3),3)，若x＝eq\f(\r(3),3)，则切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))，切线方程为：y＝x－eq\f(2\r(3),9)，若x＝－eq\f(\r(3),3)，则切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))，切线方程为：y＝x＋eq\f(2\r(3),9)，故直线y＝x与f(x)＝x3的图象不相切，所以从已知三条直线中任取两条共有(l1，l2)，(l3，l2)，(l1，l3)三种情况，与f(x)＝x3的图象相切只有(l3，l2)，故概率为eq\f(1,3).故选B.[答案](1)B(2)B[方法技巧]求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定基本事件的个数；(4)代入古典概型的概率公式求解．[针对训练]1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：选A由题意可知m＝(a，b)有12种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求的概率为eq\f(1,6).2．在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．下面是两组评委对同一名选手的打分：小组A9295939590小组B9880908597(1)请判断小组A与小组B哪一个更像是由专业人士组成的；(2)若从A组的5位评委中任选2位评委，求其中恰有一位评委打分为95分的概率．解：(1)由表格数据，得eq\x\to(x)A＝eq\f(92＋95＋93＋95＋90,5)＝93，eq\x\to(x)B＝eq\f(98＋80＋90＋85＋97,5)＝90，seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xeq\a\vs4\al(Ai)－eq\x\to(x)A)2＝3.6，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xeq\a\vs4\al(Bi)－eq\x\to(x)B)2＝47.6.因为seq\o\al(2,A)＜seq\o\al(2,B)，故小组A打分稳定，更像是由专业人士组成的．(2)从A组的5位评委中任选2位评委的选法有10种，其中恰有一位评委打分为95分的选法有6种，所以所求概率P＝eq\f(3,5).重难点(二)几何概型与其他知识结合[典例](1)(2023·龙岩模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)(2)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为()A.eq\f(7,9)B.eq\f(23,32)C.eq\f(9,32) D.eq\f(2,9)[解析](1)因为圆心(0,0)，半径r＝1，直线与圆相交，所以d＝eq\f(|3k|,\r(1＋k2))<1，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，所以相交的概率P＝eq\f(\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(2),4)，故选C.(2)设从区间(0,1)与(1,2)中分别取数x与y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,1<y<2.))作出x，y所表示的可行域，如图中正方形ABCD(不包括边界)．若所取两数之和大于eq\f(7,4)，则x＋y>eq\f(7,4)，其构成的区域为阴影部分．易知直线x＋y＝eq\f(7,4)与y轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,4)))，与直线y＝1的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))，所以所求概率P＝eq\f(S阴影,S正方形ABCD)＝eq\f(1×1－\f(1,2)×\f(3,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)－1)),1×1)＝eq\f(23,32).故选B.[答案](1)C(2)B[方法技巧]1．求解几何概型概率的步骤2．与体积有关的几何概型的解题策略对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．[针对训练]1．已知四边形ABCD为长方形，AB＝4，BC＝2，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离小于2的概率为()A．1－eq\f(π,8) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D.eq\f(π,4)解析：选D由题意，到O的距离小于2的点在以O为圆心，半径为2的半圆内，故在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离小于2的概率为eq\f(\f(1,2)π×22,2×4)＝eq\f(π,4).2．已知关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,2x＋y－4≤0，,x≥0))表示的平面区域为M，在区域M内随机取一点N(x0，y0)，则3x0－y0－2≤0的概率为_______．解析：作出不等式组表示的平面区域M(△ABC及其内部)如图所示，而满足不等式3x0－y0－2≤0的点在△ABD内，由题意可得A(0,4)，B(0，－2)，C(2,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5)))，则S△ABC＝eq\f(1,2)×[4－(－2)]×2＝6，S△ABD＝eq\f(1,2)×[4－(－2)]×eq\f(6,5)＝eq\f(18,5)，所以所求概率P＝eq\f(S△ABD,S△ABC)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(基本事件的个数不清)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案：D2．(忽视抽样方式的有序性与无序性致错)小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为()A.eq\f(3,8)B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,8)D.eq\f(3,4)解析：选C用(x，y)表示两次朝下面的数字的结果：由题意可得试验的所有基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．满足“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本事件为：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共10个，所以两次朝下面的数字之和不小于5的概率为eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).故选C.3．(借助数学文化)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗产，他提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是()A.eq\f(3\r(3),4π)B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(1,2π)D.eq\f(1,4π)解析：选B如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6×eq\f(1,2)×R2×sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3)R2,2)，则所求的概率P＝eq\f(\f(3\r(3)R2,2),πR2)＝eq\f(3\r(3),2π).故选B.4.(混淆几何概型中的长度与角度)如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为________．解析：当AA′的长度等于半径的长度时，∠AOA′＝eq\f(π,3)，由圆的对称性及几何概型得所求概率P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5.(浸润家国情怀)中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方格叫做九宫．现有一张中国象棋棋盘的示意图如图所示．若在矩形ABCD内(其中楚河汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点，则该点落在九宫内的概率是________．解析：设每个小正方形的边长为1，则矩形ABCD的面积为72，两个九宫的面积和为8，所以若在矩形ABCD内随机取一点，则该点落在九宫内的概率P＝eq\f(8,72)＝eq\f(1,9).答案：eq\f(1,9)[课时验收评价]一、点全面广强基训练1．桂林漓江的主要景点有象鼻山、伏波山、叠彩山、芦笛岩、七星岩、九马画山．若小张一家人随机从这6个景点中任选2个进行游玩，则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(2,5)解析：选D从这6个景点任选2个的基本事件为(象鼻山，伏波山)，(象鼻山，叠彩山)，(象鼻山，芦笛岩)，(象鼻山，七星岩)，(象鼻山，九马画山)，(伏波山，叠彩山)，(伏波山，芦笛岩)，(伏波山，七星岩)，(伏波山，九马画山)，(叠彩山，芦笛岩)，(叠彩山，七星岩)，(叠彩山，九马画山)，(芦笛岩，七星岩)，(芦笛岩，九马画山)，(七星岩，九马画山)，共15个．其中，小张一家人不去七星岩和叠彩山的基本事件共有6个，故所求概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).2.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为()A．4B．5C．8D．9解析：选B由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：eq\f(S黑,S正)＝eq\f(605,1089)，又S正＝9，可得S黑＝eq\f(605,1089)×9＝5，故选B.3．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现两人进行赛马比赛，比赛规则：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，败者得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,2)解析：选C设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C.比赛的所有可能结果为Aa，Bb，Cc，田忌得0分；Aa，Bc，Cb，田忌得1分；Ba，Ab，Cc，田忌得1分；Ba，Ac，Cb，田忌得1分；Ca，Ab，Bc，田忌得2分；Ca，Ac，Bb，田忌得1分．所以田忌得2分的概率为eq\f(1,6).故选C.4．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界间隔》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多的差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的2个，则可组成孪生素数的概率为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(4,21)C.eq\f(4,15)D.eq\f(1,5)解析：选D不超过16的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，则由任取2个不超过16的素数组成的数对有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)，共15个，根据素数对(p，p＋2)称为孪生素数，则可组成的孪生素数有(3,5)，(5,7)，(11,13)，共3个，∴可组成孪生素数的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).5．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≥eq\f(\r(2),2)”发生的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(7,12)D.eq\f(2,3)解析：选C由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx≥\f(\r(2),2)，,0≤x≤π，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥\f(1,2)，,0≤x≤π，))解得0≤x≤eq\f(7π,12)，故所求的概率为eq\f(\f(7π,12),π)＝eq\f(7,12).6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A.eq\f(3π,10)B.eq\f(3π,20)C．1－eq\f(3π,10)D．1－eq\f(3π,20)解析：选D直角三角形的斜边长为eq\r(82＋152)＝17，设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－eq\f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq\f(3π,20).7．某饮品店提供A，B两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量．甲、乙两人各随机点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲、乙所点饮料的口味相同的概率为________．解析：记A种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为A1，A2，A3，B种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为B1，B2，B3，事件“甲只点大杯，乙点中杯或小杯”所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(B1，A2)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，共8个，其中事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，共4个，因此所求事件的概率P＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．将两枚骰子各投掷一次，则点数之和是8的概率为________，点数之和不小于10的概率为________．解析：将两枚骰子各投掷一次，一共有6×6＝36种情况．其中点数之和为8的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．故点数之和是8的概率为eq\f(5,36).其中点数之和不小于10的基本事件有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个．故点数之和不小于10的概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(5,36)eq\f(1,6)9．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率是________．解析：集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取k∈A，基本事件总数n＝8.当k＝±2时，幂函数f(x)＝xk为偶函数，从而幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，所以概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)}|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．11．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁标价如下表．现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一趟地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每一站下车的可能性是相同的.乘坐站数x，x∈N*0＜x≤33＜x≤66＜x≤9票价(元)123(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．解：(1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A1，B1，C1，甲、乙两人共有(A1，A1)，(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，A1)，(B1，B1)，(B1，C1)，(C1，A1)，(C1，B1)，(C1，C1)9种下车方案．(2)设9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况．由(1)可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案．而甲比乙先到达目的地的方案有(A1，A3)，(A1，B3)，(A1，C3)，(B1，A3)，(B1，B3)，(B1，C3)，(C1，A3)，(C1，B3)，(C1，C3)，(A2，B2)，(A2，C2)，(B2，C2)，共12种，故所求概率为eq\f(12,27)＝eq\f(4,9).所以甲比乙先到达目的地的概率为eq\f(4,9).二、重点难点培优训练1．古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”有两种制作方式，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小橘子．若小摊上山楂共640个，小橘子共360个，现从小摊上随机选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6解析：选B设5个山楂的“冰糖葫芦”有x个，2个山楂、3个小橘子的“冰糖葫芦”有y个，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝640，,3y＝360，))解得x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80＋120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数m＝80，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(80,200)＝0.4.故选B.2.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sineq\f(π,6)x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝3sineq\f(π,6)x的最小正周期T，又T＝eq\f(2π,\f(π,6))＝12，所以大圆的面积S＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))2＝36π，一个小圆的面积S′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率P＝eq\f(2S′,S)＝eq\f(2π,36π)＝eq\f(1,18).答案：eq\f(1,18)3．(2022·南通六校联考)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以样本中包含的男生人数为30×eq\f(1,15)＝2，女生人数为45×eq\f(1,15)＝3.则从5人中任意选取2人共有10种，抽取的2人中没有一名男生有3种，则至少有一名男生有7种．故至少有一名男生的概率为P＝eq\f(7,10).第三节随机抽样与用样本估计总体1.理解随机抽样的必要性和重要性.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.3.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.4.能从样本数据中提取基本的数字特征平均数、标准差，并作出合理的解释.5.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.6.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.1．简单随机抽样(1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)特点：每个个体被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．3．系统抽样(1)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体．(2)系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．①先将总体的N个个体编号；②确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f(N,n)；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．4．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．5．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．6．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．7．众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且可能不止一个中位数将一组数据按大小顺序依次排列(相同的数据要重复列出)，处在最中间位置的那个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间位置的数据的信息，只有一个平均数一组数据的算术平均数与每一个样本数据有关，只有一个8．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2]).(2)方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样