九年级数学下册专题13解直角三角形之实际应用模型(原卷版+解析)

专题13解直角三角形之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。【重要模型】模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．(1)求教学楼的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．

例3．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．（1）填空：_______度，______度；（2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：)例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）

模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。图5图6图7图8图9如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-BC=BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．(1)求点离地面的高度；(2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)

例2．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

例3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得，仪器高度忽略不计，求广告牌的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，）例4．（2023年贵州省中考数学真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）(1)求索道的长（结果精确到）；(2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，）

模型3、拥抱模型图1图2图3图4【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+FC+CE=BE；如图3，BC+CE=BE；如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2022•长沙一模）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是24m．（结果用根号表示）（1）求楼房与电视塔底部距离AD的长；（2）求电视塔的高度．例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．例3．（2022•泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．

课后专项训练1．（2022·湖南衡阳·中考真题）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：）2．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：，，）

3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是千米（精确到千米；参考数据：，，，）．

4．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．小岛到航线的距离是__________（，结果用四舍五入法精确到0.1）．5．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是米（结果精确到0.1米，）．

6．（2023年青海省中考数学真题）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中，两处分别向处铺设，现测得，，，求，两点间的距离．（结果取整数，参考数据：，，）

7．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．(结果精确到．参考数据：)

8．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

9．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．(1)求两楼之间的距离（结果保留根号）；(2)求大厦的高度（结果取整数）．（参考数据：，，，）

10．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点B出发按方向前进20米到达点E，即米，测得．已知，，求A、B两点间的距离．

11．（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．(1)求的大小；(2)若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）12．（2023年四川省成都市数学中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

13．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．(1)求行进路线和所在直线的夹角的度数；(2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）．

14．（2023年吉林省中考数学真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵

综合实践活动报告

时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离．

________．．．【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）（参考数据：）请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．15．（2023年湖南省常德市中考数学真题）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）

16．（2023年广东省中考数学真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)

17．（2023年福建省中考真题数学试题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，；（ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程：由测量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大宽度为___________．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得用到的几何知识是___________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．18．（2023•铁岭中考模拟）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）19．（2023•郴州中考模拟）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）20．（2023·广东深圳·校考模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内，求此时CD的长．（结果保留根号）

专题13解直角三角形之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。【重要模型】模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年内蒙古呼和浩特市中考数学真题）如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

【答案】【分析】过作于，求出，，在中可得，可得两地间距离的长为．【详解】解：过作于，如图：

在中，，，，，在中，，，，；两地间距离的长为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

(1)求教学楼的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．【答案】(1)教学楼的高度为米(2)无人机刚好离开视线的时间为12秒【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．【详解】（1）解：过点B作于点G，根据题意可得：，米，，∵，，，∴四边形为矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵长为米，∴（米），答：教学楼的高度为米．（2）解：连接并延长，交于点H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵无人机以米/秒的速度飞行，∴离开视线的时间为：（秒），答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．（1）填空：__________度，_________度；（2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：)【答案】（1）30，45；（2）2729米【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；（2）过点作于点过点作于点.在中求出AM的值，在中求出NB的值，进而可求隧道的长度.【详解】解:（1）由题意知PQ//AB，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案为：30，45；（2）过点作于点过点作于点.则米，米，在中，，.在中，，，(米).答:隧道的长度约为米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）

【答案】大楼的高度为．【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得．【详解】解：如图，过作于，过作于，而，

则四边形是矩形，∴，，由题意可得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∴大楼的高度为．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。图5图6图7图8图9如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-BC=BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．

(1)求点离地面的高度；(2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)【答案】(1)(2)飞船从处到处的平均速度约为【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论；（2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．【详解】（1）解：在中，，，，，（2）在中，，，，，在中，，，，，，飞船从处到处的平均速度．【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．例2．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

【答案】河流的宽度约为64米【分析】过点作于点，分别解、即可．【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．

∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的宽度约为64米．【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．例3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得，仪器高度忽略不计，求广告牌的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，）【答案】4.9m【分析】先求出BC的长度，再分别在Rt△ADC和Rt△BEC中用锐角三角函数求出EC、DC，即可求解．【详解】根据题意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，则BC=AC-AB=30-10=20，在Rt△ADC中，，在Rt△BEC中，，∴，即故广告牌DE的高度为4.9m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．例4．（2023年贵州省中考数学真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）

(1)求索道的长（结果精确到）；(2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案；（2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案；【详解】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，∴；（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，∴，，∴；

【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．模型3、拥抱模型图1图2图3图4【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+FC+CE=BE；如图3，BC+CE=BE；如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2022•长沙一模）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是24m．（结果用根号表示）（1）求楼房与电视塔底部距离AD的长；（2）求电视塔的高度．【解答】解：（1）∵顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，AB＝24m，∵tan∠ADB＝＝tan30°＝，∴AD＝AB＝24（m），答：楼房与电视塔底部距离AD的长为24m；（2）∵在一楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，∴∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan60°＝，∴CD＝AD＝×24＝72（m）．答：电视塔的高度为72m．例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG•tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG•tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC•tan60°＝16≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．例3．（2022•泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：根据题意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，∵∠ACD＝45°，∴∠ADC＝45°，∴AC＝AD＝20m，∵BC＝AC﹣4，∴BC＝20﹣4＝16（m），在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，∴BE＝BC•tan37°≈16×0.75＝12（m），答：办公楼的高度EB为12m．例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；（2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解；②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．【详解】（1）解：在中，，∴．即的长为．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，则.∴．即的长为．②如图，过点作，垂足为．根据题意，，∴四边形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．课后专项训练1．（2022·湖南衡阳·中考真题）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：）【答案】10.2【分析】先根据三角形外角求得，再根据三角形的等角对等边得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．【详解】解：∵且，∴，∴，即．∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．2．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：，，）

【答案】21【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵是等腰三角形，且，∴，∵，∴，∴共需钢材约为；故答案为21．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是千米（精确到千米；参考数据：，，，）．

【答案】【分析】如图所示，过点作于点，分别解，求得，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，

在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴（千米）改造后公路的长是千米，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．4．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．小岛到航线的距离是__________（，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，从而得到AC=BC=12,利用sin60°=计算AD即可【详解】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠CAB=30°，∴AC=BC=12,∵sin60°=，∴AD=ACsin60°=12=6≈10.4故答案为：10.4.【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键．5．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是米（结果精确到0.1米，）．

【答案】9.5【分析】通过解直角三角形，求出，再根据求出结论即可．【详解】解：根据题意得，四边形是矩形，∴在中，∴,∴故答案为：9.5【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．6．（2023年青海省中考数学真题）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中，两处分别向处铺设，现测得，，，求，两点间的距离．（结果取整数，参考数据：，，）

【答案】【分析】过点作，垂足为，先利用三角形内角和定理求出，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】解∶过点作，垂足为，

∵，，∴，在中，，∴，∴在中，，∴，两点间的距离约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．(结果精确到．参考数据：)

【答案】遮阳棚的宽度约为【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，，

，四边形是矩形，，，，，在中，，，遮阳棚的宽度约为【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

【答案】千米【分析】过点作于点，由垂线段最短可得的长即为所求，先求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：如图，过点作于点，

由垂线段最短可知，的长即为所求，由题意得：，千米，，，，，是等腰直角三角形，，在中，千米，千米，千米，在中，千米，答：输油管道的最短长度是千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．9．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．

(1)求两楼之间的距离（结果保留根号）；(2)求大厦的高度（结果取整数）．（参考数据：，，，）【答案】(1)米(2)92米【分析】（1）作于点E，利用三角函数解即可；（2）先证四边形是矩形，再利用三角函数解求出，进而可求．【详解】（1）解：如图，作于点E，则，

由题意知，，，故，即两楼之间的距离为米；（2）解：由题意知，四边形是矩形，，，中，，，，即大厦的高度为92米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点B出发按方向前进20米到达点E，即米，测得．已知，，求A、B两点间的距离．

【答案】A、B两点间的距离为500米．【分析】如图，过作于，由，设，则，可得，而，可得，结合，即，再建立方程求解即可．【详解】解：如图，过作于，

∵，即，设，则，∴，而，∴，∵，∴，即，∴，解得：，∴（米），答：A、B两点间的距离为500米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．11．（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．(1)求的大小；(2)若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）【答案】(1)(2)轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车【分析】（1）由得到，由得到，由得到，即可得到的大小；（2）由得到，在中求得，由勾股定理得到，由得到，即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即的大小为；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定义和平行线的性质、方位角的的定义等知识，读懂题意，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角形函数的定义是解题的关键．12．（2023年四川省成都市数学中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

【答案】米【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意，，（米）在中，（米），（米），则（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．(1)求行进路线和所在直线的夹角的度数；(2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）．

【答案】(1)行进路线和所在直线的夹角为(2)检查点和之间的距离为【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．【详解】（1）解：如图，根据题意得，，，，．在中，，．答：行进路线和所在直线的夹角为．（2）过点A作，垂足为．，

，．,在中，，．,在中，，，．答：检查点和之间的距离为．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．14．（2023年吉林省中考数学真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵

综合实践活动报告

时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离．

________．．．【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）（参考数据：）请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．【答案】，【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解．【详解】解：测角仪显示的度数为，∴，∵，，，∴，∴四边形是矩形，，

在中，，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．15．（2023年湖南省常德市中考数学真题）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）

【答案】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，进而求得，过点作于点，根据平行线的性质可得，进而求得，过作于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，利用求解即可；方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，，过作于，根据平行线的性质可得，进而求得，根据求解即可．【详解】解：方法一：过点作交的延长线于点，

四边形是平行四边形，，，，过点作于点，由题意知，，，又，，过作于点，，，,，靠背顶端点距地面高度为；方法二：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，，，，

又，，，，过作于，由题意知，，，又，，靠背顶端点距地面高度为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．16．（2023年广东省中考数学真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)

【答案】【分析】连接，作作于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，，，在中利用求出，继而求出即可．【详解】解：连接，作于D，

∵，，∴是边边上的中线，也是的角平分线，∴，，在中，，，∴，∴∴答：A，B两点间的距离为．【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2023年福建省中考真题数学试题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，；（ⅱ）分别在，，上测得，；测