人教B版高中数学选择性必修第一册专题强化练8抛物线的综合问题含答案

专题强化练8抛物线的综合问题1.(2023江苏盐城期中)抛物线有如下光学性质:经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行(或重合)于抛物线的对称轴;反之,平行(或重合)于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线E:y2=2px(1<p<4),一条平行于x轴的光线从点A(8,2p)射出,经过抛物线E上的点B反射后,与抛物线E交于另一点C,若△ABC的面积是152A.322.(多选题)(2024湖北多地市联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,点Q(m,n),点P与点Q的距离和到y轴的距离分别为d1,d2,则()A.抛物线C的准线方程为y=-1B.若m=n=1,则△PQF周长的最小值为3C.若(m-3)2+n2=1,则d1的最小值为2D.若m-n=-4,则d1+d2的最小值为523.(多选题)(2023河南新乡模拟)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,A,B是抛物线上的两个动点,且|AF|的最小值为1,M是线段AB的中点,P(2,3)是平面内一定点,则()A.p=2B.若|AF|+|BF|=8,则点M到x轴的距离为3C.若AF=2FB,则|D.|AP|+|AF|的最小值为44.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,O为坐标原点,则()A.∠CFD=90°B.△CMD为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为±3D.△AOB的面积为45.(2024湖南长沙雅礼中学期中)已知N为抛物线x2=4y上的任意一点,M为圆x2+(y-5)2=4上的一点,A(0,1),则2|MN|+|MA|的最小值为.

6.(2022湖南益阳期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l1,点M(x0,66)x0>p2是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线l:x=7.河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面8m,拱圈内水面宽24m,一条船在水面以上部分高6.5m,船顶部宽6m.(1)试建立适当的平面直角坐标系,求拱圈所在的抛物线的标准方程;(2)近日水位暴涨了1.54m,为此,必须加重船载,降低船身,才能安全通过桥洞,则船身至少应该降低多少?(精确到0.1m)答案与分层梯度式解析专题强化练8抛物线的综合问题1.D2.BD3.ABD4.AC1.D易知Fp2,0,AB∥x轴.设B(x0,y0),则y0=2p,将B(x0,2p)代入y2=2px(1<p<4),得x0=2p,所以B(2p,2p),故直线BC的方程为y=2联立y=43x-p2因为A(8,2p)到直线BC:y=43x-所以S△ABC=12·|BC|·d=152,即258p·322.BD由抛物线方程可知抛物线的准线方程为x=-1,A错误.当m=n=1时,△PQF的周长为|PQ|+|PF|+1,作PT垂直于直线x=-1于点T,则|PQ|+|PF|+1=|PQ|+|PT|+1≥|QT|+1=3,当且仅当P,Q,T,三点共线时取等号,B正确.若(m-3)2+n2=1,则Q(m,n)在以(3,0)(记为M)为圆心,1为半径的圆上,所以d1=|PM|-1.设Pt24,t,则|PM|2=t24-32+t2若m-n=-4,则Q(m,n)在直线x-y+4=0(记为l)上,所以d1+d2=d1+|PF|-1≥dF-l-1=522-1,故选BD.3.ABD根据题意,得F(0,1),所以p2=1,解得p=2,故A设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=y1+y2+2=8,所以y1+y2=6,所以点M到x轴的距离为y1+y因为AF=2设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),因为p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,联立y=kx+1,x2=4y,消去x并整理,得y因为AF=2FB,所以(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1),所以1-y1=2(y2-1),即y1=3-2y联立y1y2过点A作抛物线的准线l:y=-1的垂线,垂足为E(图略),由抛物线的定义得|AF|=|AE|,所以|AP|+|AF|=|AP|+|AE|,所以当P,A,E三点共线,即PE⊥l时,|AP|+|AF|取得最小值,为3+1=4,故D正确.4.AC由抛物线的定义知|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,所以∠ACF=∠AFC,∠BDF=∠BFD.因为∠ACF=∠OFC,∠BDF=∠OFD,所以∠AFC+∠BFD=∠OFC+∠OFD=∠CFD,而∠AFC+∠BFD+∠CFD=180°,所以∠CFD=90°,故A正确;设|BF|=m,则|AF|=3m,因为1|AF|+1|BF|=2p=1,即1m+13m=1,所以m=43,即|BF|=43,|AF|=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+1=4,x2+1=43,于是x1所以kMC=-32,kMD=3S△OBF=125.答案43解析易知圆x2+(y-5)2=4的圆心坐标为(0,5)(记为B),半径为2,与y轴交点的坐标为(0,7),(0,3)(记为C).取AM的中点E,BC的中点D,连接BM,MD,CE,DN,如图所示.因为C,E分别为AB和AM的中点,所以CE∥BM,|CE|=12∠ACE=∠MBD,又因为|BM|=|AC|,|BD|=|CE|,所以△ACE≌△MBD,所以|AE|=|MD|.因为|AE|=12所以2|MN|+|MA|=2(|MN|+|MD|)≥2|DN|,当且仅当D,M,N三点共线时取等号.设N(2m,m),m≥0,易知D(0,4),则|DN|=(2m)2+(m6.答案y2=12x解析如图所示,过点M作ME⊥l,垂足为E,ME的延长线交准线l1于点D,∴sin∠MFA=|ME由抛物线的定义可得|MF|=|MD|,∴|ME||MF|=x∵点M(x0,66)∴(66)2=2px0,将x0=3p代入,得36×6=6p2,∴p=6,∴抛物线C的方程为y2=12x.7.解析(1)设抛物线形拱桥与水面两交点分别为A,B,以AB的垂直平分线为y轴,拱圈最高点O为坐标原点,建立平面直角坐标系(图略),则A(-12,-8),B(12,-8),设拱圈所在抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为点A(-12