人教B版高中数学选择性必修第一册专题强化练2利用空间向量研究空间中的角含答案

专题强化练2利用空间向量研究空间中的角1.(2022安徽合肥六中月考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的动点,且AE=BF,AC与EF交于点G,EF从AB向CD滑动,但与AB和CD均不重合.在EF任一确定位置,将四边形EFCD沿直线EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,则随着EF的滑动,下列选项中错误的是()A.∠AGC的大小不会发生变化B.AC与EF所成的角先变小后变大C.AC与平面ABFG所成的角变小D.二面角G-AC-B先变大后变小2.(2024江苏宿迁泗阳期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,AC=BC=1,AA1=2,点M在线段AC1上,AM=λ(1)若∠B1MC为锐角,求实数λ的取值范围;(2)若二面角M-B1C-B的余弦值为-663.(2024北京八中期中)羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图,五面体ABCDEF中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,其中EF∥AD∥BC,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=10,M为AD的中点,平面BCEF与平面ADEF交于EF.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,使得羡除ABCDEF能够确定,然后解答下列问题.条件①:平面CDE⊥平面ABCD;条件②:平面ADEF⊥平面ABCD;条件③:EC=23.(1)求证:BM∥平面CDE;(2)求二面角B-AE-F的余弦值;(3)在线段AE上是否存在点Q,使得MQ与平面ABE所成角的正弦值为77?若存在,求出AQ答案与分层梯度式解析专题强化练2利用空间向量研究空间中的角1.D以E为原点,EA,EF,ED所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,AE=a(0<a<1),则E(0,0,0),A(a,0,0),C(0,1,1-a),G(0,a,0),F(0,1,0),B(a,1,0).对于A,AG=(−a,a,0),则|cos∠AGC|=|AG故∠AGC的大小不会发生变化,所以A正确;对于B,AC=(−a,1,1−a),EF=(0,1,0),设AC与EF所成的角为θ,则cosθ=|AC对于C,平面ABFG的一个法向量为m=(0,0,1),设AC与平面ABFG所成的角为θ,则sinθ=|cos<AC,m>|=|AC·m因为当a∈(0,1)时,a+1a对于D,设平面AGC的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则n令x1=1,则n=(1,1,-1),设平面ACB的一个法向量为p=(x2,y2,z2),又AB=(0,1,0),则p令z2=a,则p=(1-a,0,a),所以|cos<n,p>|=|=33设二面角G-AC-B的平面角为α,则α为钝角,所以cosα=-33因为当a∈(0,1)时,2a2-2a+1的值随a的变大先变小后变大,所以cosα随a的变大先变大后变小,故二面角G-AC-B先变小后变大,故D错误.2.解析以C为坐标原点,CA,CB,CC设M(a,b,c),由AM=λAC-2λ).(1)因为∠B1MC为锐角,所以cos<MB1,MC>(2)设平面CB1M的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=1-λ,得n=(-2λ,2λ-2,1-λ).易知平面CB1B的一个法向量为m=(1,0,0).由题意得|cos<m,n>|=-2λ4所以M23所以AM=1-3.解析(1)证明:因为M是AD的中点,AD=4,所以MD=2,所以MD=BC.又MD∥BC,所以四边形BCDM为平行四边形,所以BM∥CD.又BM⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以BM∥平面CDE.(2)选①:连接AC,作CS⊥AD于点S,则DS=1,AS=3,CS=3,AC=2连接ES,同理可得AE=32.因为AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD.因为平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥平面CDE.又EC⊂平面CDE,所以AC⊥EC,所以EC2=AE2-AC2=6,故EC=6,所以ED2=EC2+DC2,所以EC⊥DC.以C为坐标原点,CD,CA,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,23,0),B(−1,3FE=(1,−设平面BAE的一个法向量为p=(a,b,c),则p取c=1,得p=-6设平面AEF的一个法向量为q=(x,y,z),则q取y=1,得q=(3,1,因为p·q=-32所以二面角B-AE-F的余弦值为0.选②:取BC的中点N,EF的中点P,连接MP,MN,则MN⊥AD,PM⊥AD.因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,PM⊂平面ADEF,所以PM⊥平面ABCD.以点M为坐标原点,MN,MD,MP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-2,0),B(3,-1,0),E(0,1,3),所以BA=(−设平面BAE的一个法向量为n=(d,e,f),则n令d=3,则e=-3,f=3,所以n=(3,-3,3).易知m=(-1,0,0)是平面AEF的一个法向量.所以cos<m,n>=m·由图可知,二面角B-AE-F为钝二面角,所以二面角B-AE-F的余弦值为-77选③:取MD的中点G,连接CG,EG,则EG⊥AD,CG⊥AD.因为EC=23,EG=3,CG=3,所以EC2=EG2+CG所