人教B版高中数学必修第一册2-2-4均值不等式及其应用练习含答案

2.2.4均值不等式及其应用基础过关练题组一对均值不等式的理解1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使ba+A.1B.2C.3D.42.(2023浙江诸暨中学月考)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2024湖北武汉期末)已知正数a,b满足a+2b=1,则()A.ab≥18B.ab>14.下列不等式正确的是()A.x2+3x2≥23B.a2+b2≥4abC.ab5.(2024上海实验学校期中)数学里有一种证明方法叫做无字证明,一般是指仅用图形而无须用文字解释就能不证自明的数学命题.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,O为斜边AB的中点,D为线段AB上异于端点的一个动点,设AD=a(a>0),BD=b(b>0),则该图形可以完成的无字证明为()A.aC.a+b2≤a2+题组二利用均值不等式比较大小6.(2023江苏南京月考)已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个数中最大的是()A.27.已知a,b是互不相等的正实数,x=a+b28.(2023山东师范大学附属中学月考)某市一外贸公司第一年的产值增长率为a,第二年的产值增长率为b,这两年的平均产值增长率为x,则x与a+b2题组三利用均值不等式求最值9.(2024黑龙江哈尔滨期末)已知实数x>1,则2-x-1xA.最小值为1B.最大值为1C.最小值为-1D.最大值为-110.(2024辽宁丹东期末)已知x>0,y>0,且4x+y=1,则yxA.5B.4211.(2024辽宁沈阳期末)若正实数a,b满足2a+b=6,则1aA.2312.(2023重庆西南大学附中月考)已知a>0,b>0,a+2b=1,则b2A.1313.(多选题)(2023河南安阳月考)已知正数x,y满足x+y=4,则下列说法不正确的是()A.1xB.xy的最大值是4C.x2+y2的最小值是8D.x(y+1)的最大值是2514.(2024河北保定期中)已知x>1,y>0,且x+4y=2,则1x-题组四利用均值不等式进行证明15.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>ab+16.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a+(2)1+1a题组五利用均值不等式解决实际问题17.(2023北京海淀月考)某社区要在办公楼外墙建一个面积为8m2的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示).要求上、下各空0.25m,左、右各空0.25m,相邻宣传栏之间也空0.25m.设三个宣传栏的面积之和为Sm2,则S的最大值为.

18.(2024广东梅州三校月考)通过技术创新,某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2023年,该种玻璃售价为25欧元/平方米,销售量为80万平方米.(1)据市场调查,售价每提高1欧元/平方米,销售量将减少2万平方米,要使销售收入不低于2000万欧元,则该种玻璃的售价最高为多少欧元/平方米?(2)为提高年销售量,增加市场份额,公司将在2024年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革:提高价格到m(m>25)欧元/平方米,其中投入53(m2能力提升练题组一利用均值不等式求最值1.(2023江苏扬州期中)已知x,y为正实数,则yxA.4B.5C.6D.82.(2023广东广州期末)已知0<x<1,则9xA.50B.49C.25D.73.(2024辽宁大连期末)已知x,y为正实数,且x+y=1,则x+6A.24B.25C.6+42D.64.(多选题)(2024江苏盐城五校联盟期末)设a>0,b>0,已知M=a2A.M有最小值B.M没有最大值C.N有最大值22D.N有最小值5.(2023山东青岛二中期中)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最大值是42-36.(多选题)(2022湖北荆州月考)已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当cabA.a=2bB.a+b+c的最小值为-3C.c=4b2D.a+b-c的最大值为37.(2024辽宁县级重点高中协作体期末)已知x>0,y>0,m>0,且(mx-y)1x-18.(2024福建漳州期中)已知实数x,y满足x>2y>0,且x+y=1,则4x+4y9.(2023黑龙江大庆月考)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M.(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,求m2(3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围.题组二利用均值不等式进行证明10.(2022广东深圳南山外国语学校月考)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤13(2)a2+b2+c2≥13题组三利用均值不等式解决实际问题11.(2023吉林长春月考)如图,在半径为4的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为.

12.(2022福建福州外国语学校期中)如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=30m,AD=20m.记三角形花园APQ的面积为Sm2.(1)当DQ的长度是多少时,S取最小值?并求出S的最小值;(2)要使S不小于1600,则DQ的长度应在什么范围内?13.(2024广东广州九区期末)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x(吨)与年促销费用t(万元)之间满足函数关系式x=2-kt(1)求k的值;(2)将下一年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数;(3)该食品企业下一年的促销费用投入多少万元时,该款食品的利润最大?(注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用)

答案与分层梯度式解析2.2.4均值不等式及其应用基础过关练1.C2.A3.C4.A5.C6.B9.D10.A11.B12.D13.AD1.C当ba,ab均为正数时,ba+a2.A当a+b≤4时,∵a>0,b>0,∴2ab≤a+b≤4,∴ab≤4,充分性成立.当a>0,b>0,ab≤4时,令a=4,b=1,则a+b=5>4,因此必要性不成立.综上所述,当a>0,b>0时,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.3.C由题意得,a>0,b>0,则ab>0,所以a+2b=1≥22ab,即0<ab≤18,当且仅当a=2b,即a=12,b=4.AA.易知x2≠0,∵x2>0,3x2>0,∴x2+3x2≥2x2B.当a=1,b=1时,a2+b2<4ab,故B不正确;C.当a>0,b>0时,ab≤D.当a<0时,a+4a≥5.C由题意得AB=AD+BD=a+b,OC=OA=OB=12(a+b),OD=|OB-BD|=12(a+b)-b=12当O与D不重合时,在Rt△OCD中,CD2=OD2+OC2=(a-b)2综上,CD=a2因为OC≤CD,所以12(a+b)≤a2+b6.B解法一:因为a,b为互不相等的正实数,所以1a+1b>2解法二:根据题意可令a=1,b=2,则2a所以四个数中最大的是1a+1b7.答案x<y解析易得x2=a+∵a,b是互不相等的正实数,∴a+b>2ab,∴x2<y2,易知x>0,y>0,∴x<y.8.答案x≤a解析由题意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤1+a+1+b22=1+a9.D2-x-1x-1=1+1−x−1x-1=1−(x10.A因为x>0,y>0,且4x+y=1,所以yx+1y=当且仅当yx=4xy,11.B由2a+b=6,得a3因为a>0,b>0,所以1a+2b=所以1a+2b12.D因为a>0,b>0,且a+2b=1,所以b2+a+12ab=b2+13.AD因为x>0,y>0,x+y=4,所以1x+1y=1xy≤x+x2+y2≥(xx(y+1)≤x+y+122=故选AD.14.答案9解析因为x+4y=2,所以x-1+4则1x-1+y=当且仅当(x-1)y=4(x-1)15.证明∵a>0,b>0,c>0,∴a+b≥2ab(当且仅当a=b时等号成立),b+c≥2bc(当且仅当b=c时等号成立),c+a≥2ca(当且仅当a=c时等号成立),∴2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca又∵a,b,c为不全相等的正实数,∴a+b+c>ab+16.证明(1)∵a+b=1,∴1a∵a>0,b>0,∴1a+1b∴1a+(2)证法一:∵a+b=1,∴1+1a同理,1+1b又a>0,b>0,∴1+1a1+1∴1+1a证法二:1+1由(1)知,1a+故1+1a1+117.答案4.5解析设矩形展示区的长为xm,则宽为8x由题意得S=(x-0.25×4)8x-0.25×18.解析(1)设该种玻璃的售价为x(x≥25)欧元/平方米,则其销售收入为[80-2(x-25)]x欧元,令[80-2(x-25)]x≥2000,即x2-65x+1000≤0,解得25≤x≤40,所以该种玻璃的售价最高为40欧元/平方米.(2)由题意得mn≥25×80+500+2m+53(m2-600),整理得mn≥1500+2m+53m两边同除以m得n≥1又1500m+53m+2≥2故该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时,才可能使2024年的销售收入不低于2023年销售收入与2024年投入之和,此时的售价为30欧元/平方米.能力提升练1.C2.B3.B4.ABD5.B6.AD1.C令t=yx,则t>0,故yx+16x2x+y=2.B∵0<x<1,∴1-x>0,∴9x+161-x=9x+161-x3.B因为x,y为正实数,且x+y=1,所以x+6y+3xy当且仅当9yx=4xy4.ABD因为a>0,b>0,所以M=a2+b2ab=ab+当a>0,b>0时,a+b22=a2+b2+25.B因为x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,所以x+y=3-xy≥2xy,当且仅当x=y时取等号,解得0<xy≤1,故A错误;xy=3-(x+y)≤x+y22,当且仅当x=y时取等号,解得x+y≥2,故B正确;由题意得x=3-y1+y>0,所以0<y<3,x+4y=3-y1+y+4y=4y+4y+1−1=4(y+1)+4y+16.AD由a2-ab+4b2-c=0可得c=a2-ab+4b2,故cab=a2-ab+4b当a=2b时,c=a2-ab+4b2=4b2-2b2+4b2=6b2,故C错误;当a=2b时,a+b+c=3b+6b2=6b+142−当a=2b时,a+b-c=3b-6b2=-6b-142+38,当b=14时,a+b-c有最大值7.答案9解析由(mx-y)1x-1y=4,得m-因为x>0,y>0,m>0,所以m-3=mxy+yx当且仅当mxy=y令t=m>0,则t2-2t-3≥0,解得t≥3或t≤-1(舍去),即m≥3,故m≥9,当且仅当y=3x时,等号成立,故m的最小值是9.8.答案9解析因为x>2y>0,且x+y=1,所以4=2=2+2≥52当且仅当2(x-所以4x9.解析(1)∵M为空集,∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,解得-1<m<2,∴实数m的取值范围为{m|-1<m<2}.(2)由(1)知-1<m<2,则0<m+1<3,∴m2+2m+5当且仅当m+1=4m所以m2(3)由M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4},得Δ=4m2-4(故实数m的取值范围为m|210.证明(1)因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取“=”),所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时取“=”).因为(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以1≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca,即ab+bc+ac≤13(2)由(1)得2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥13当且仅当a=b=c=13时取“=”.11.答案16解析连接OC,设OB=x(0<x<4),则BC=OC所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=2x·16-x2=2x2(16-x2)12.解析(1)设DQ=xm,则AQ=(x+20)m,因为DC∥AB,所以△QDC∽△QAP,所以DQAQ=DCAP,即则S=12AP·AQ=1=15x+400