小学奥数 同余定理 知识点＋例题＋练习 （分类全面）

教学内容余数问题、同余定理

教学目标掌握余数、同余问题

重点同余定理

难点同余定理

教学过程

一、带余除法的定义及性质:

带余除法模型：

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为c捆

被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的

角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最

后还剩余d本，这个d就是余数。

a本书

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个

余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5

的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得

的余数。

例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23X16除以5的余数等于3X1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23X19除以5的余数等于3X4除以5

的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示

为：a=b(modm),左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差一定能被m整除

用式子表示为：如果有a三b(modm),那么一定有a—b=mk,k是整数

例1、用某自然数。去除1992,得到商是46,余数是「，求a和r.

巩固、甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数.

巩固、一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。

例2、有两个自然数相除，商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,

2

则被除数是多少？

巩固、用一个自然数去除另一个自然数，商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和

是933,求这2个自然数各是多少？

例3、三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也

相同，这三个数是,_______,O

巩固、一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3

3

倍，这个自然数是

例4、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人.如果把书全部分给第一组，

那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够.如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩

余；每人4本，书不够.问：第二组有多少人？

巩固、一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.

例5、有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

4

巩固、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.

巩固、在小于100的自然数中，分别除以5及8所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）

巩固、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为

0）

例6、两位自然数时与分。除以7都余1,并且a>b,求abxba.

5

巩固、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分

给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班？

巩固、在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是

例7、求2461x135x6047*11的余数.

巩固、求478x296x351除以17的余数.

6

巩固、乘积17X354X409X672除以13的余数是多少？

巩固、求723588+5770和723588X5770除以11的余数。

例8、73,216,227被某个数b除的余数相同，那么，108被这个数b除的余数是多少？

巩固、有一个大于1的整数，它除967,1000,2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

例8、2助,与2019?的和除以7的余数是一

7

巩固、、222-"一…2,除以13所得余数是

2000个"2"

巩固、求14389除以7的余数.

例9、求3333对S+5556侬被7除的余数。

巩固、求1999.+323侬9被7除的余数。

8

巩固、（3产+3胪）被13除所得的余数是多少？

例10、『+22+3?++200/+2002除以7的余数是多少？

例11、已知“=200820082008,问：a除以13所得的余数是多少？

2008个2008

9

巩固、777…77除以41的余数是多少?

1996个7

例12、今天是星期二，问：再过99隧天是星期几？

巩固、今天是星期五，问：再过365悯天是星期几?

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课后练习:

1、求乘积34X37X41X43除以13所得的余数。

2、2网被7除余几？

3、今天是星期五，再过365蚓天是星期几？

4、求6666…6（200个6）除以7所得的余数。

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5、1997蚪+7的余数是多少?

6、有一列数1,2,4,7,