上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高二下学期期末数学试卷（解析）VIP

高中数学精编资源上海外国语大学附属浦东外国语学校2022学年第二学期高二年级期末数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.设函数在处导数存在，若则____________.【答案】【解析】【分析】利用导数的定义可得出的值.【详解】由导数的定义可得.故答案为：.2.2和8的等差中项是________.【答案】5【解析】【分析】根据等差中项的概念，直接计算可得结果.【详解】2和8的等差中项为故答案为：5【点睛】本题考查等差中项的概念和计算，属基础题.3.若，则x的值为______.【答案】3或4【解析】【分析】根据组合数公式的性质求解即可【详解】因为，所以或，故答案为：3或44.若直线是圆一条对称轴，则__________.【答案】##0.5【解析】分析】由已知，直线过圆心即可求解.【详解】由题，直线过圆心，将代入直线方程得，解得：.故答案为：.5.计算_____________．【答案】2【解析】【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.【详解】.故答案为：2.6.在的二项展开式中，系数最大的项为______.【答案】70【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，得到当时，二项展开式的系数为正，求出各项，得到系数最大的项.【详解】的二项展开式为，显然当时，二项展开式的系数为正，当时，二项展开式的系数为负，其中，，，故系数最大的项为.故答案为：707.某校组织“杭州亚运会”知识竞赛，元元从3道选择题和2道填空题中不放回地每次随机抽取1道作答．记事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到填空题”，则__________．【答案】##0.75【解析】【分析】利用条件概率的定义，结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】当第二次抽到填空题且第一次抽到选择题，共有种;当第二次抽到填空题，第一次抽到是填空题时有种，故总数为8种，则，故答案为：．8.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为_______【答案】【解析】【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解.【详解】因为焦点在x轴上的椭圆，所以因为直线过定点，且直线与椭圆总有公共点，所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，即解得，综上，故答案为：9.某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.【答案】216【解析】【详解】每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分

3

步进行，第一步

,A

、B.

C

三点选三种颜色灯泡共有

种选法；第二步

,

在

A1

、

B1

、

C1

中选一个装第

4

种颜色的灯泡，有

3

种情况；第三步

,

为剩下的两个灯选颜色

,

假设剩下的为

B1

、

C1,

若

B1

与

A

同色

,

则

C1

只能选

B

点颜色；若

B1

与

C

同色

,

则

C1

有A.

B

处两种颜色可选,故为

B1

、

C1

选灯泡共有

3

种选法，得到剩下的两个灯有

3

种情况，则共有

×3×3=216

种方法．故答案为

21610.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.【详解】设点，由可得，整理可得，化为标准方程可得，因为为的中点，所以，，记圆心为，当点为线段与圆的交点时，取最小值，此时，，所以，.故答案为：.11.已知函数，现给出下列结论：①有极小值，但无最小值②有极大值，但无最大值③若方程恰有一个实数根，则④若方程恰有三个不同实数根，则其中所有正确结论的序号为_________【答案】②④【解析】【详解】所以当时，；当时，；当时，；因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或;若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为②④点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12.对于正整数，最接近的正整数设为，如，记，从全体正整数中除去所有，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前8项和为_________.【答案】【解析】【分析】对于正整数，就、分类讨论后可求，从而可求，故可求前8项和.【详解】对于正整数，必存在正整数，使得.如果，则，故，故，此时，故故此时取值为区间中的所有正整数.如果即，则，故，故，此时，故此时取值为区间中的所有正整数.所以当时，取值为区间中所有的正整数，而，，故表示中除以外的所有正整数，取，则，取值为区间中除以外的所有正整数.取，则，取值为区间中除以外的所有正整数.依次取，则，取值为区间中除以外的所有正整数.故，故前8项和为：，故答案为：.【点睛】思路点睛：对于数列的新定义问题，首先要弄清楚数列的形成过程，特别是与数论有关的新数列构建问题，要能根据整数的形式做合理的分类.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.13.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B.14.若，则不正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用赋值法，即可判断各选项的正误.【详解】时，A正确；时；时；所以两式相减化简得，，B错误；两式相加化简得，又，所以，C错误；，D正确.故选：BC15.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（）A.144 B.89 C.55 D.34【答案】A【解析】【分析】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，则有，利用递推关系求解.【详解】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和两个黑圈，所以，又因为所以，所以，，，，故选:A.16.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定的面积最小时点坐标，再由是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.【详解】由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故选：C.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.（1）抛物线的焦点在轴上且抛物线过点，求抛物线的标准方程；（2）双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又双曲线的实轴长为4，且一条渐近线为，求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据点所在的象限设抛物线方程，代入点求得解；（2）根据渐近线方程设出双曲线方程，根据实轴长分类讨论求解即可.【详解】（1）因为点在第三象限，且抛物线的焦点在轴上，设所求抛物线方程为，点代入，可得，故所求抛物线的标准方程为.（2）因为一条渐近线为，所以设双曲线方程为，当时，双曲线为，此时实轴长为，所以，所以双曲线方程为，当时，双曲线为，此时实轴长为，所以，所以双曲线方程为，故所求双曲线方程为或.18.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问：（1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？【答案】（1）256个；（2）2个.【解析】【分析】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，根据分步乘法计数原理，即可得解；（2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，不够表示，继续利用分步相乘原理计算个字节可以表示的不同的字符，判断与的大小关系即可.【详解】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示个不同的字符；（2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，，一个字节不够；根据分步乘法计数原理，个字节可以表示个不同的字符，，所以每个汉字至少要用个字节表示.【点睛】关键点点睛：本题考查分步乘法计数原理，熟练掌握分步计数原理的概念及计算公式是解题的关键，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于基础题.19.已知数列的前项和为，当时，.（1）证明：数列是等差数列；（2）若，数列前项和为，若恒成立，求正整数的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）时，用代入化简，用等差数列的定义即可证明；（2）用错位相减法求出，不等式可化为恒成立，再用基本不等式求得的最大值，从而可得的最大值.【小问1详解】由题意知，当时，，所以，整理得：，即，所以数列是以1为公差的等差数列.小问2详解】由，由（1）知是以2为首项、1为公差的等差数列，所以，所以，所以，①所以，②①-②得，所以，所以.因为，所以，由于，当且仅当时等号成立，故正整数的最大值为8.20.已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】（Ⅰ）直线与圆相切∴椭圆C1的方程是（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，∴动点M的轨迹C是以为准线，F2为焦点的抛物线∴点M的轨迹C2的方程为（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，，则直线AC的方程为联立所以由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得∵，∴四边形ABCD的面积为由所以时取等号．易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积综上可得，四边形ABCD面积的最小值为21.已知，函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若有零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程；（2）对分三种情况讨论得解；（3）利用分析法证不等式，要证，只要证，根据零点解得，化简欲证不等式，再令，构造关于t的函数，利用导数法求得范围证不等式.【小问1详解】函数的定义域为，，当时，，则切线方程为，即切线方程为.【小问2详解