新教材苏教版高中数学必修第二册第12章复数 课时练习题及章末综合测验含答案解析

第12章复数

12.1复数的概念........................................................-1-

12.2第1课时复数的加减与乘法运算...................................-5-

12.2第2课时复数的乘方与除法.......................................-9-

12.3复数的几何意义...................................................-13-

12.4复数的三角形式*..................................................-18-

章末综合测验...........................................................-23-

12.1复数的概念

[4组基础合格练]

一'选择题

1.已知复数Z=〃—（2一加i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分

别是（）

A.卷1B.隹5

C.±\f2,5D.±\]2,1

〃2=2,

c[令J'得a=±\[i,b=5.]

1-2+8=3,

2.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则（）

A.C=RUIB.RUI={0}

c.R=cniD.Rni=0

D[复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集..•.Rni=0,故选

D.]

3.以3i一啦的虚部为实部，以3i2+/i的实部为虚部的复数是（）

A.3—3iB.3+i

C.一地+的D.V2+V2i

A[3i一啦的虚部为3,3i2+啦i=-3+6i的实部为一3,故选A.]

4.若xi—i2=y+2i,x,yWR,则复数x+yi=（）

A.—2+iB.2+i

C.l-2iD.l+2i

B[由i2=-l,得xi-i2=l+xi,则由题意得l+xi=)，+2i,根据复数相等的

充要条件得x=2,y=l,故x+yi=2+i.]

5.设“，匕GR,“a=0"是''复数a+bi是纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

B[因为a,OCR,“a=0”时“复数a+Oi不一定是纯虚数”.“复数a+

历是纯虚数”则“a=0”一定成立.所以a,b^R,“a=0”是“复数a+万是纯

虚教”的必要不充分条件.]

二'填空题

6.复数为虚数单位)的实部等于.

3+i3+i,.

-3[―=-=-3-i,其实部为一3・]

7.若log2。2—3元-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值为.

Iog2(x2+2x+1)=0,

-2[]：.x=-2.]

Uog2(f9—3x—2)>1,

8.设fnUR,m2+m—2+(/?z2—l)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=

[m2+m-2=0,

—2[复数//z2+m—2+(/n2—l)i是纯虚数的充要条件是彳解

91W0,

加=1或〃2=—2,

得彳,即m=-2.

加#±1,

故"7=-2时，+—2+("/2—l)i是纯虚数.]

三、解答题

9.已知R,复数2=(2+i)机2■—3(1+i)m—2(1—i).

(1)写出复数z的代数形式；

(2)当相为何值时，z=0?当机为何值时，z是纯虚数？

「解1(1)复数z=(2+i)加2—3(1+i)m-2(l-i)

=(2m2—3m—2)+(nr—3m+2)i,

即复数z的代数形式为z=(2〃p—3/w—2)+。?？—3加+2)i.

加2—37"+2=0,

(2)若z=0,

2m2—3m~2=0,

解得777=2.

m2—3〃z+2W0,

若z为纯虚数，则彳，，八

[2m2-3m-2=0,

mW2且"zWl,

解得/1

"?=2或加=~2,

即m=­y

10.已知关于”的方程f+（A+2i）x+2+K=0有实数根，求实数%的值.

[解]设项是方程的实数根，代入方程并整理得（高+区。+2）+（2颁+须=0.

高+依()+2=0,

由两个复数相等的充要条件得<

,2xo4-^=0.

xo,xo=-,

解得v厂或J

[k=-2\j2,[k=2\[2.

实数左的值为±2也.

[S组能力过关练]

11.（多选题）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（）

A.若x,y^C,则x+yi=l+i的充要条件是尤=y=l

B.（/+i）imeR）是纯虚数

C.若Z++z3=0,则Zl=Z2=0

D.当机=4时，复数1g（加2—2加—7）+（加2+5机+6）i是纯虚数

BD[取x=i,y=—i,则x+yi=l+i,但不满足尤=>=1,故A错误；V«eR,

。2+1>0恒成立，所以（4+l）i是纯虚数，故B正确；取Zl=i,Z2=1,则z++z3=

0,但zi=Z2=0不成立，故C错误；复数馆（"户一2/%一7）+（机?+5加+6）i是纯虚数

lg（7n2—2w-7）=0,

等价于J9,,解得加=4,故D正确.故选BD.]

m+5m+6^:0,

12.已知关于x的方程幺+(m+2。工+2+21=00%£2有实根〃，且z=j%+〃i,

则复数z=()

A.3+iB.3-i

C.-3—iD.-3+i

B[由题意，知层+(m+2i)〃+2+2i=0,

即/+〃〃z+2+(2〃+2)i=0.

n2+mn+2=0,

所以,

2〃+2=0,

n=­l.

所以z=3—i.]

13.复数zi,Z2满足zi=〃z+(4—机2)1Z2—2cos^+(A+3sin九8£R),

并且Z]=Z2,则％的取值范围为.

r9i

一I?7J[由复数相等的充要条件可得

777=2COS9,

<

,4—m2=A+3sin0,

2

化简得4—4cos2e=2+3sin09由此可得2=—4cos?。-3sin0+4=—4(1—sin^)

—3sin9+4=4sin2。一3sin9=4(sin。一目一看因为4s^n。引一1,1],

-9-

所以丸£—记，7.]

14.若复数z=(sin夕一|)+(cos。一,｝是纯虚数，则cos9=,tan]。一点)

4

-7「・,复数z是纯虚数,

4

5-

4

..COS0=-7.

・fqsin8_3

,足魂一cos。—4-

-j

1

・，・tan］。-；tan夕一14

1+tan0―T=—7・］

1-4

［C组拓广探索练］

15.设zi=m2+1+(7?z2+777—2)i,Z2=4m+2+(m2—5m+4)i,若z\<zi,求实

数机的取值范围.

［解］由于zi〈Z2,〃z£R,

・・・zi£R且Z2£R,

当ZI£R时，〃a+加一2=0,m=l或m=-2.

当Z2^R时，m2—5m+4=0,帆=1或机=4,

当机=1时，zi=2,Z2=6,满足Z1<Z2.

.*.ZI<Z2时，实数机的取值为m=l.

12.2第1课时复数的加减与乘法运算

［4组基础合格练］

一、选择题

1.若(一3〃+历)一(2力+〃i)=3—5i,a,则〃+〃=()

A.jB.-yC.-yD.5

B［(—3〃+历)一(2b+ai)=(-3a—2Z?)+(b—a)i=3—5i,

一3。-20=3,

所以彳

b—a=—5,

71Q

解得a=5，b=一-^,

故有«+/?=—y.]

2.若复数z满足z+(3-4i)=l,则z的虚部是()

A.-2B.4C.3D.-4

B[z=l-(3-4i)=-2+4i,故选B.]

3.已知a,OdR,i是虚数单位.若a-i与2+bi互为共轨复数，则(a+砥2

=()

A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i

D[由题意知a—i=2一",：,a=2,b=\,：,(a+Z?i)2=(2+i)2=3+4i.]

4.已知复数z=2—i,则z・三的值为()

A.5B4C.3D.小

A[z-~z=(2-i)(2+i)=22-i2=4+l=5,故选A.]

5.复数z=^—ai,aGR,且z2=；—乎i,则。的值为()

A.1B.2C.gD."

C[由z=^—ai,得z2=[坐)一2X坐Xai+(qi)2=(一/一仍勿，因

解得a=1.]

2，

二'填空题

6.设复数zi=x+2i,Z2=3—yi(x,yWR),若ZI+Z2=5—6i,则z\~Z2=.

-l+10i[Vzl+z2=x+2i+(3-yi)=(x+3)+(2-y)i,.•.(x+3)+(2—y)i=5

—6i(x,yGR),由复数相等定义，得x=2且y=8,

.,.zi-Z2=24-2i-(3-8i)=-l+10i.]

7.设复数zi=l+i,Z2=x+2i(*eR),若Z1Z2GR,则x等于.

-2[Vz^l+i,Z2=x+2i(xGR),

；.ziZ2=(l+i)(x+2i)=(x—2)+(x+2)i.

VZIZ2GR,，X+2=0,即X=-2.]

8.复数z=l+i,，为z的共舸复数，则z-3-z—l=,

—i[Vz=1+i,z=1—i,

Az-z=(l+i)(l-i)=2,

z-z—z-1=2-(1+i)-1=­i.]

三'解答题

9.计算：(l)(l+i)(l—i)+(—l+i);

⑵(V+割惇+"+。

[解]⑴原式=l—i2+(—l)+i=l+i.

(2)原式=[(一乎+$2)+e一孙1+i)

=(-坐+珈+i)

_1/3亚.JJ.

-221+32

1+^3i1一木.

=-2+2】•

10.已知复数z=(l—i>+l+3i,若z2+az+b=l—i(a,bWR),求b+ai的

共挽复数.

[解]z=(l-i)2+l+3i=-2i4-l+3i=l+i,

由z2+az+b=1—i,得

(l+i)2+a(l+i)+/j=l-i,

.,.a+0+i(a+2)=1—i(a,OeR),

a+b=1,a=-3,

解得＜

«+2=—1,0=4,

则b+ai=4~3i,

则b+ai的共轲复数是4+3i.

[B组能力过关练]

11.复数(1—i)—(2+i)+3i等于()

A.—1+iB.1—iC.iD.—i

A[(l-i)—(2+i)+3i=(l—2)+(—i—i+3i)=—l+i.故选A.]

12.(多选题)若复数z=(3—2i)i,则下列说法正确的有()

A.z的实部是2

B.z的共粗复数T=2—3i

C.z+z=6i

D.z,z=13

ABD[Vz=(3-2i)i=3i+2,

.*.7=2-3i,

：.z+~z=4,z-~=13,故ABD均正确.]

13.已知一1+i是关于x的方程/+2%+4=0的一个根，则复数z=p+qi(p,

qGR)等于,z-z=.

2+2i8[(—l+i)2+p(—l+i)+q=0,整理得(g—p)+(/?-2)i=0,

q—p=O,

••।..p=q=2.

故z=p+qi=2+2i.

/.7=2-2i,

AZ-7=(2+2i)(2-2i)=8.]

512

14.已知zi=cosa+isina,Z2=cos£—isin夕且zi-Z2=百十百i,贝！Jcos(a+Q)

的值为.

J['/zi=cosa+isina,Z2=cos4一isin夕，

512

Azi—Z2=(cosa-cos•)+i(sina+sin

5门

cosa—cos①

12

{sina+sin②

①?+②2得2—2cos(a+夕)=1,

即cos(a+^)=2.1

［C组拓广探索练］

15.，是z的共粗复数.若z+》=2,(z—5)i=2(i为虚数单位)，求z.

［解］设2=。+例(。，OGR),则z=a-b\,

'."z+z=2a=2,.,.a—I.

又(z—z)i=2Z?i2=—2/>=2.

：.b=~\.

故z=l-i.

12.2第2课时复数的乘方与除法

[4组基础合格练]

443

--+-

A.-5-B.55

34.

c.-5-?D.

l+2i(l+2i)(l+2i)34

［l-2i=(l-2i)(l+2i)《十卫，故选D.]

3.i为虚数单位，押7的共辄复数为（）

A.iB.-iC.1D.-1

A[因为i6°7=(i2严-i的共辆复数为i,所以应选A.]

4.(l+i)2°—(1—i)2°的值是()

A.-1024B.1024C.0D.512

C[(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]io-[(i-i)2]io=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10

=0.]

5.已知复数焉，]是z的共也复数，则等于()

11

--C2

A.4B.2D.

.._小+i小i2+i_i(l-\/5i)

,2(1—小i>(1一小炉(1—小ip

i_i(l+V3i)__^3i

一1一小「4一_4+不

—1

2-Z=4.]

二、填空题

6.复数占的共趣复数是________

21—1

—….55⑵+1）

...7J的共机复数是一l+2i.]

21—1

7.设i是虚数单位，复数=为纯虚数，则实数a的值是—

\+ai(l+ai)(2+i)(2—。)+(1+2a)i,

2，2-i—(2-i)(2+i)—5'由纯虚数定义，则2—。=0,..a

=21

8.设i是虚数单位,则坐¥等于——

—1厂」+1_一(l+i)2_2i_.

1,i-1(l-i)(l+i)--21，

3

i(i+lJ)*34、

1=i-(~i)=-i=~l.]

三、解答题

9.计算：⑴胃叶［一尊一；）；

―2小+i//L（4_8i）2_（_4+8i）2

⑵1+2机+〔1+"+4+3i

［解］（1）原式=当分+i6（—；+割

=i+i2=i—1.

C、届*、i(2/i+l)」2,(4—8i)2—[—(4—8i)]2

⑵原式=]+25i+三+市

(4-8i)2~(4-8i)2

4+3i

=i+(—i)+0=0.

10.(1)若]^翁=一让i，求实数。的值；

2i—

(2)若复数z=1j,求z+3i.

[解]⑴依题意，得2+ai=-^i(l+6i)=2—6i,

⑵.•_2i_2i(l+i)

-)'z1-i(l-i)(l+i)

=i(l+i)=­1+i,

：.z=-1i,

/.z+3i=-l+2i.

［6组能力过关练］

ii.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为理想复数”.已

知2=港?+砥小匕《R）为”理想复数”，则（）

A.a—5b=QB.3a—5b=Q

C.a+5b=0D.3a+5b=Q

nra」_，-a(l+2i)a停十〃).由题意,

D[z~1-2i+/?1-(l-2i)(l+2i)+/71-5+=普3

即3a+56=0.]

12.(多选题)已知复数z=：—坐i,则下列结论正确的有()

A.z-z=1B.z2=z

C.z3=-lD.z2°2°=一

ACD8,

.".z-z=|z|2==1,故A正确;

3一；一坐i,故B错误;

z~4~2l4

故C正确;

,故D正确.故选ACD.]

1-i

(X)50的值等于

13.当zzl+z+1

...z10O+z50+!=(_i)50+(-i)25+1

=(-i)2+(-i)+l=-i.]

14.若方程x2—(2i—l)x+3m-i=0有实数根，则实数，”的值为,方

程的实根为x=.

亲一；[化简x2—(2i-•l)x+3，”-i=0得(*+x+3加)+(-2x—l)i=O,所以

^+x+3m=0,—2x—1=0,解得x=—3，m=^.]

［C组拓广探索练］

15.已知复数z=l+2i(i为虚数单位).

(1)若z・zo=2z+zo，求复数zo的共辗复数；

(2)若z是关于x的方程X2—+5=0的一个虚根，求实数m的值.

［解］(1)设zo=a+bi(a9b^R),代入z・zo=2z+zo得(l+2i)-(a+历)=2(1+2i)

+(。+历)，

即(a—2b)+(2a+b)i=(2+a)+(4+b)i,

Q—2/?=2+。，

•<

'［2a+b=4+b,

ci=2,

解得,,

s=-l,

.".zo=2—i,

复数zo的共机复数，o=2+i.

(2)'.•复数z=l+2i是关于x的方程f-〃吠+5=0的一个虚根，

.,.(14-2i)2-(l+2i)/?z+5=0,整理得2—根+(4—2m)i=0,

/.2—m=0,且4—2/w=0,

解得777=2.

12.3复数的几何意义

[4组基础合格练]

一、选择题

1.在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

D[".'sin2>0,cos2<0,

；.复数2对应的点（5也2,cos2）在第四象限.故选D.]

2.已知复数z=(/—2a)+(4—q—2)i对应的点在虚轴上，则()

A.aW2或aWlB.a#2,且aWl

C.a=0D.a=2或a=0

D[由题意，得层一2°=0,得a=0或a=2.故选D.]

3.在复平面内，。为原点，向量。了对应的复数为-1+2「若点A关于直线

y=-x的对称点为点8,则向量。下对应的复数为()

A.-2-iB.-2+i

C.l+2iD.-l+2i

B[因为复数一l+2i对应的点为A(—l,2),点A关于直线旷=一尤的对称点

为8(—2,1),所以。方对应的复数为-2+i.]

4.在平行四边形ABC。中，对角线AC与8。相交于点0,若向量力，五对

应的复数分别是3+i,-l+3i,则诙对应的复数是()

A.2+4iB.-2+4i

C.-4+2iD.4-2i

D[依题意有而=就=后一加，而(3+。一(-l+3i)=4-2i,即①对应的

复数为4—2i.故选D.]

5.若zWC,且|z+2—2i|=l,则|z—2—2i|的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

B[设z=x+yi,则由|z+2-2i|=l得(x+2)2+(y-2)2，

=1,表示以(一2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，G)2,(：,2)

1-

则|2—2—20=、。-2)2+0—2)2表示圆上的点与定点(2,2)-2-1012X

的距离,数形结合得|z—2—2”的最小值为3.]

二'填空题

6.在复平面内，复数6+5i,—2+3i对应的点分别为A,氏若C为线段AB

的中点，则点C对应的复数是.

2+4i「.•复数6+5i,—2+3i对应点分别为A,B,

.•.点4(6,5),5(-2,3).

中点。(2,4),其对应复数2+4i.]

7.设复数z=-1—i(i是虚数单位)，z的共辄复数为z,则|(1-z>z|=

Vw[7=-l+i,则|(1-z>—|=|(2+i)•(—l+i)|=|-3+i|=①.]

8.复数z=x+l+(y—2)i(x,yCR),且|z|=3,则点Z(x,y)的轨迹是.

以(T,2)为圆心，以3为半径的圆['：\z\=3,

:.y/(x+1>+(j-2)2=3,即(*+1)2+0—2)2=32.故点2(》，y)的轨迹是以(一1,

2)为圆心，以3为半径的圆.]

三、解答题

9.已知复数z=1+〃i(a£R),w=cosa+isina,aG(0,2兀)，若z=z+2i,

且|z一刑=小，求角a的值.

［解］由题意知1+ai=1+(2—a)i,

则。=2—Q,即a=1,Az=1+i.

由|z一刑=小得(1—cosa)2+(l—sina)2=5,

整理得sina+cosa=­1,/.sin(a+£

2，

・:0<a<2兀,

71.719K

•qva+wq，

.।兀5兀»।兀7兀.二、3兀

・或。+］=4~，・・1=兀或a=~2'

10.已知复数z满足(z—2)i=a+i(aGR).

⑴求复数z；

(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限.

［解］(1)由(z—2)i=a+i,

ea+i

传2—2=-：-=1-ai,•\z=3-ai

(2)由⑴得z2=9-4-6ai,

•••复数Z?对应的点在第一象限,

9-«2>0,

解得一3<a<0.

-6Q>0,

故当。6（—3,0）时，z2对应的点在第一象限.

[B组能力过关练]

11.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构

成的三角形是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

A[|AB|=|2i-l|=V5,|AC|=|4+2i|=V20,|BC|=5,.，.|BC|2=|W+|AC|2.

故选A.]

12.（多选题）已知复数zo=l+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为Po,复

数z满足|z—l|=|z—i|,下列结论正确的是（）

A.Po点的坐标为（1，2）

B.复数zo的共掘复数对应的点与点H）关于虚轴对称

C.复数z对应的点Z在一条直线上

D.R）与z对应的点Z间的距离的最小值为当

ACD[复数zo=l+2i在复平面内对应的点为Po（l,2）,A正确；复数zo的

共机复数对应的点与点Po关于实轴对称，B错误：设2=工+河（尤，yGR）,代入

|z-l|=|z-i|,得|(x—l)+yi|=|x+(y—l)i|,即

l）2+）2=、f+（y—1）2,整理得，y=X,即Z点在直线）=%上，C正确;

易知点Po到直线），=x的垂线段的长度即为Po,Z之间距离的最小值，结合点

11—21啦

到直线的距离公式可知，最小值为而二2,故D正确.故选ACD.]

13.已知复数z满足（z—2）i=7—i,其中i为虚数单位，则|z尸,复

数Z的共加复数Z在复平面内对应的点位于第象限.

5啦一［设z=a+历(a,Z?GR),则

(z—2)i=(a—2+0i)i=(a—2)i—/?=7—i,

。-2=-1[a=\

因此L=7，解得真-7所以z=l—7i,故团=5啦,

z=l+7i,其在复数平面内对应点位于第一象限.]

14.已知0为坐标原点，021对应的复数为-3+4i,。^2对应的复数为2a

+i(aGR).若。声与022共线，则。的值为.

-j［因为对应的复数为-3+4i,。了2对应的复数为2a+i,所以。②

O

=(-3,4),O^2=(2a,1).因为与。区共线，所以存在实数%使OZ=

kOZi,即(2a,1)=岚一3,4)=(-3攵，4k),

2a=-3k,

所以《

1=4k,

3

即a的值为一［.］

o

［C组拓广探索练］

15.已知复数21=小+「Z2=-1+2

(1)求|zi|,01的值；

(2)设ZGC,满足条件|Z2|W|Z|W|Z||的点Z的轨迹是什么图形？

［解］(1)|ZI|=^/(V3)2+12=2,

㈤7HI，惇『=L

(2)由|z2|W|z|W|zi|及⑴知lW|z|W2.

|z|21表示以原点为圆心，1为半径的圆的外部所有点组成的集合(包含圆周),

|z|W2表示以原点为圆心，2为半径的圆的内部所有点组成的集合(包含圆周)，故

满足条件的点Z的集合是以。为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包含边界),

如图所示.

12.4复数的三角形式*

[4组基础合格练]

一'选择题

1.下列表示复数l+i的三角形式中

S/^(cos%isin：)；②J^cos[-；)+isin：；

③V^(cos空+isin争｝④呵coq+isin^),正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

B「；r=y/F+12=娘,cos<9=乎，sin(9=¥，，辐角主值为

二1+i=近b05彳+isinT=6(cos华+isin柴，

故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选B.]

2.如果。eg,兀)，那么复数(l+i)(cos。-isin。)的三角形式是()

A.acos僵—@+isin伶—

B.也[cos(2兀-6)+isin(2兀一。)]

C.巾cos仔+6)+isin仔+矶

D.啦cos传+61)+isin传+4]

A[因为l+i=^(cos:+isin司,

cos。一isinQ=COS(2K-0+isin(27i-&),

所以(1+i)(cos8—isin&)

=\[2cos仔+2兀一，)+isin(：+2无一。)]

cos置_q+isin号—矶.]

、，％(

3.计算“了一31-c-o-s-2-7--0-°-+-i-s-in--2-7-0-°2)—的结果是()

g[cos(—90°)+isin(—90°)]

A.-9B.9C.-1D.1

B3(cos270°+isin270°)

g[cos(—90°)+isin(—90°)]

=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]

=9(cos360°+isin360°)=9,故选B.]

4.若复数z=«cos9+isin9)(r>0,9VR),则把这种形式叫作复数z的三角

2兀

形式，其中r为复数z的模，。为复数z的辐角.若一个复数z的模为2,辐角为年,

则：=()

A.1+V3iB.1一小iC.小—iD.小+i

D［由复数z的模为2,辐角为会，可得2=2卜0$,+isin,)=-1+小i.

所以：=叶区=仁空丹=小+「故选D.］

5.适合|z+l|=l且岬2=焉兀的复数Z的个数是()

A.0B.1C.2D.无穷多

［答案］C

二、填空题

6.复数的代数形式是

cos2+isin2

「1cosf-isinf=>来]

2211兀兀

cosg+isi町

7.设z=l-2i对应的向量为5k将改绕原点按顺时针方向旋转30。所得向量

对应的复数的虚部为.

_1+彳*［所得向量对应的复数为(1—2i>［cos(—30°)+isin(—30°)］=(l—

1+2^3

2」

8.复数1+i的辐角主值是三角形式是

彳&(co寸+isin：)［复数1+i的模是

Jr

因为1+i对应的点在第一象限且辐角的正切tan。=1,它的辐角主值为加

三'解答题

9.已知z=-2i,zi—z-Z2=0,argZ2=1，若z”Z2在复平面上分别

对应点A,B,且依8|=/，求zi的立方根.

［解］由题设知z=l—i,因为依阴=6，即|ZI—Z2|=6，

所以|ZI—Z2|=|zZ2—Z2|=|(l+i)Z2—Z2|=|iz2|=|z2|="V^,又argZ2=居，所以Z2

cos^+isin^,

=蛆

i=zZ2=(1+i)Z2=啦卜05/+isin：

5兀+isi用,

cos不

所以Z1的立方根为短不+2而不+2Ek=0,1,2,即版

Ycos---o---+isin---o---

cosg+isinf17兀,17无、婀cos鬻+isin皙.

cosji+isirrji

10.已知复数z满足Z2+2Z+4=0,且argZ£仔，兀).

(1)求z的三角形式;

(2)记A、B、C分别表示复数z、①、一2口在复平面上的对应点.已知A、B、

。三点成逆时针顺序，且△ABC为等边三角形，求tan(argco).

［解］⑴由/+22+4=0,得z=T(一2±2小i)=-l±V5i.：argze住，兀),

.,.z=—l—y/3i应舍去，

/2兀2ii

・，・z=-1+*\/3i=2lcos-y+isin-y

(2)由题意，CA:z—(—2co)=z+2①，CB:a)—(—2co)=3co9

TT

V|C/1|=|CB|,A、B、。三点位置成逆时针顺序，又NACB=1,

...把CA按逆时针方向旋转60。即得CB,：.3co=(z+2CO)|^COS2+isin^J,

将z=2(cos亨+isin用代入上式，解得co=—,(2+/i),由点8在第三象限

知tan(argco)=坐.

[6组能力过关练]

11.复数z=tan，+i停？＜兀)的三角形式是()

A.COg^(sin^+icosff)

B.马力cos9+isin0)

c_消小傅_0+1陪_矶

D--熹[。喏+*皿仔+。)_

兀

D[因为]＜。＜兀，

所以cos。＜0,

所以z=tan0+i=~[-sin8+i(—cos。)]=-

cos(]+e)+isin4+0,故选D.]

12.(多选题)任何一个复数z=a+阳其中a、bGR,i为虚数单位渚B可以表示

成：z=4cose+isin。)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗

发现：

/=[r(cos8+isin0)]"=/(cos“6+isin"8)(〃GN+),我们称这个结论为棣莫弗

定理.根据以上信息，下列说法正确的是()

A.西=团2

JT

B.当r=l,时，z3=1

C.当r=l,e昔时，z=3一坐i

TT

D.当〃=1,e=a时，若几为偶数,则复数为纯虚数

AC［对于A选项，z=r(cos8+isin9),则

z2=/2(cos28+isin2。)，

可得团=Reos20+isin2。)|=户,

兀

|zF=|r(cos8+isin。)|2=匕A选项正确；对于B选项，当一=1,时,

z3=(cos8+isinO)3=cos38+isin30=cos兀+isin兀=-1,B选项错误;对于C

选项，当r=l,8=4时，z=cos?+isin?=1+^i,则z=寺一喙i,C选项正确；

,2717271

对于D选项，zM=(cos6+isin0)n=cos〃夕+isinn0=cos彳+isin丁，

取〃=4,则〃为偶数，则z4=cos兀+isin兀=-1不是纯虚数，D选项错误.故

选AC.］

13.欧拉公式eh=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，

它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函

数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，对表

示的复数z,则|z|等于.等于

［由欧拉公式ei'=cosx+isinx,可得

2019.

啦工地.

2十2"

jrTT

14.复数z=cos正+isir>w是方程x5—a=0的一个根,那么a的值等于.

1’71-71Y111--711,V3.

［由题意得，cos记十isiny^J=88^+F1丐=]十丁1]

2a=

[C组拓广探索练]

15.设。为复平面的原点，A、8为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别

为Z1、Z2,ZI、Z2的辐角主值分别为a、△若aAOB的重心G对应的复数为g+^i,

求tan(a+H).

[解]由题意可设zi=cosa+isina,Z2=cos4+isin[].

,：/\AOB的重心G对应的复数为g+5,

COS«+COS^=1,

.Z1+Z21.1.即《1

sina+sin4=§

'a+6a-[i

2cos2cos?—1,

a+/ia~B1

2sin2cos"2=5,

a+P1,.2tan^-

_5_

=

/.tan25,故tan(a+/?)=------.+7=12,

1-tan2~~

章末综合测验

（满分：150分时间：120分钟）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知a,"C,下列命题正确的是（）

A.3i<5iB.«=0<4|«|=0

C.若同=|卅则a=±/?D./eo

B[A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a,8GR时,

结论成立，但在复数集中不一定成立，如|“=3+当,但田一打坐留一坐

i;D选项中，当aWR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2=-l<0.]

2.若复数z满足(3—4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()

44

A.—4B.一§C.4D.§

D[因为复数z满足(3—4i)z=|4+3i|,所以z=?甘=/不=吟抖=]+

3—413—41255

44

p,故z的虚部等于亍]

3.zi=(m2-t-m-hl)+(m2+m—4)i,mER,Z2=3—2i,则"加=1"是''zi=Z2”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件