河南省新乡市新乡市一中2025届高一下数学期末综合测试试题含解析

河南省新乡市新乡市一中2025届高一下数学期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若,则（）A． B． C． D．2．已知，，那么等于（）A． B． C． D．3．棱长为2的正四面体的表面积是（）A． B．4 C． D．164．设函数（为常实数）在区间上的最小值为，则的值等于（）A．4 B．-6 C．-3 D．-45．函数的最小正周期是A． B． C． D．6．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（4,5）7．如图，将边长为的正方形沿对角线折成大小等于的二面角分别为的中点，若，则线段长度的取值范围为（）A． B．C． D．8．把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积等于（）A． B．480 C． D．9．在中，点满足，则（）A． B．C． D．10．平面平面，直线，，那么直线与直线的位置关系一定是（）A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数，的值域为________12．某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．13．若，其中是第二象限角，则____.14．若,则________.15．圆的一条经过点的切线方程为______．16．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．从半径为1的半圆出发，以此向内、向外连续作半圆，且后一个半圆的直径为前一个半圆的半径，如此下去，可得到无数个半圆．（1）求出所有这些半圆围城的封闭图形的周长；（2）求出所有这些半圆围城的封闭图形的面积．18．已知函数．（I）比较，的大小．（II）求函数的最大值．19．某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率．20．在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．（I）求线段的长．（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．21．在等差数列中，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．2、B【解析】

首先求出题中，，之间的关系，然后利用正切的和角公式求解即可.【详解】由题知，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了正切的和角公式，属于基础题.3、C【解析】

根据题意求出一个面的面积，然后乘以4即可得到正四面体的表面积．【详解】每个面的面积为，∴正四面体的表面积为.【点睛】本题考查正四面体的表面积，正四面体四个面均为正三角形．4、D【解析】试题分析：，，，当时，，故.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质.5、D【解析】

的最小正周期为，求解得到结果.【详解】由解析式可知，最小正周期本题正确选项：【点睛】本题考查的性质，属于基础题.6、A【解析】

不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。【详解】关于的不等式，不等式可变形为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则故a的取值范围是，选：A。【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。7、A【解析】

连接和，由二面角的定义得出，由结合为的中点，可知是的角平分线且，由的范围可得出的范围，于是得出的取值范围．【详解】连接，可得，即有为二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，则，故答案为，故选A．【点睛】本题考查线段长度的取值范围，考查二面角的定义以及锐角三角函数的定义，解题的关键在于充分研究图形的几何特征，将所求线段与角建立关系，借助三角函数来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．8、A【解析】

由题意知，此球是棱长为6的正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为6，再由球的体积公式求解即可．【详解】解：由已知可得球的直径为6，故半径为3，其体积是，故选：．【点睛】本题考查长方体内切球的几何特征，以及球的体积公式，属于基础题．9、D【解析】

因为，所以，即；故选D.10、D【解析】

利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线与直线没有公共点.【详解】由题平面平面，直线，则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.故选D.【点睛】本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先求的值域,再求的值域即可.【详解】因为,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦函数的值域与反三角函数的值域等,属于基础题型.12、.【解析】

利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.【详解】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，解得，故答案为：.【点睛】本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.13、【解析】

首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式即可得到结果．【详解】解：，又是第二象限角故，故答案为．【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题．14、【解析】

先求，再代入求值得解.【详解】由题得所以.故答案为【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解析】

根据题意，设为，设过点圆的切线为，分析可得在圆上，求出直线的斜率，分析可得直线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．【详解】根据题意，设为，设过点圆的切线为，圆的方程为，则点在圆上，则，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故答案为．【点睛】本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系．16、【解析】

分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.【详解】①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意②当，即时，不等式恒成立则需：解得：综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）由第n个半圆的周长得，再利用无穷等比数列求和即可（2）由第n个半圆的面积得，再利用无穷等比数列求和即可【详解】（1）由题意知，圆的半径满足数列，设第n个半圆的周长为，所以，则所有这些半圆围成的封闭图形的周长.（2）题意知，设第n个半圆的面积为，则，所以所有这些半圆围成的封闭图形的面积将为.【点睛】本题考查无穷等比数列的和，注意圆的半径为等比数列，是周长及面积的考查，是基础题18、（I）;（II）时，函数取得最大值【解析】试题分析：（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）根据三角函数二倍角公式将f（x）化简，最终化得一个二次函数，根据二次函数的单调性，由此得到最大值．解：（I）因为所以因为，所以（II）因为令，，所以，因为对称轴，根据二次函数性质知，当时，函数取得最大值．19、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为人；（2）根据频率分布直方图求分数在第三、四、五、六组的频率之和即可；（3）结合图形可得“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是，由古典概型概率公式可得所求概率为。试题解析：（1）因为各组的频率和等于1，由频率分布直方图可得低于50分的频率为：，所以低于分的人数为（人）．（2）依题意可得成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），其频率之和为，故抽样学生成绩的及格率是，于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%．（3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是（人），所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法，故所求概率为．20、（I）；（II）或．【解析】

（I）先求得相交弦所在的直线方程，再求得圆的圆心到相交弦所在直线的距离，然后利用直线和圆相交所得弦长公式，计算出弦长.（II）先求得当时，取得最大值，根据两直线垂直时斜率的关系，求得直线的方程，联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.【详解】（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为．点（0，0）到直线PQ的距离，（Ⅱ），.当时，取得最大值．此时，又则直线NC为．由，或当点