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文档简介
重庆市南川中学2025届数学高一下期末考试试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.设,,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.2.若存在正实数,使得,则()A.实数的最大值为 B.实数的最小值为C.实数的最大值为 D.实数的最小值为3.已知,则的值等于()A.2 B. C. D.4.已知与之间的几组数据如下表则与的线性回归方程必过()A.点 B.点C.点 D.点5.过点P(﹣2,m)和Q(m,4)的直线斜率等于1,那么m的值等于()A.1或3 B.4 C.1 D.1或46.设等差数列an的前n项和为Sn,若a1>0,A.S10 B.S11 C.S7.已知是第三象限的角,若,则A. B. C. D.8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=A. B. C. D.9.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440 B.330C.220 D.11010.某学校从编号依次为01,02,…,72的72个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本,已知样本中相邻的两个组的编号分别为12,21,则该样本中来自第四组的学生的编号为()A.30 B.31 C.32 D.33二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.执行如图所示的程序框图,则输出的_______.12.在正数数列an中,a1=1,且点an,an-113.如图,正方体的棱长为,动点在对角线上,过点作垂直于的平面,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为,设,则当时,函数的值域__________.14.已知数列中,,,设,若对任意的正整数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是______.15.在平行六面体中,为与的交点,若存在实数,使向量,则__________.16.已知向量,,且与垂直,则的值为______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知点A(1,2),B(3,1),C(2,2),D(1,m)(1)若向量∥,求实数m的值;(2)若m=3,求向量与的夹角.18.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.19.如图,甲、乙两个企业的用电负荷量关于投产持续时间(单位:小时)的关系均近似地满足函数.(1)根据图象,求函数的解析式;(2)为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9,现采用错峰用电的方式,让企业乙比企业甲推迟小时投产,求的最小值.20.已知的三个内角的对边分别是,且.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的周长.21.已知:三点,其中.(1)若三点在同一条直线上,求的值;(2)当时,求.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】
首先确定题中,,的取值范围,再根据大小排序即可.【详解】由题知,,,,所以排序得到.故选:D.【点睛】本题主要考查了比较指数对数的大小问题,属于基础题.2、C【解析】
将题目所给方程转化为关于的一元二次方程,根据此方程在上有解列不等式组,解不等式组求得的取值范围,进而求出正确选项.【详解】由得,当时,方程为不和题意,故这是关于的一元二次方程,依题意可知,该方程在上有解,注意到,所以由解得,故实数的最大值为,所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.3、D【解析】
根据分段函数的定义域以及函数解析式的关系,代值即可.【详解】故选:D【点睛】本题考查了分段函数的求值问题,考查了学生综合分析,数学运算能力,属于基础题.4、C【解析】
根据线性回归方程必过样本中心点,即可得到结论.【详解】,,8根据线性回归方程必过样本中心点,可得与的线性回归方程必过.故选:C.【点睛】本题考查线性回归方程,解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点,属于基础题.5、C【解析】试题分析:利用直线的斜率公式求解.解:∵过点P(﹣2,m)和Q(m,4)的直线斜率等于1,∴k==1,解得m=1.故选C.考点:直线的斜率.6、C【解析】分析:利用等差数列的通项公式,化简求得a20+a详解:在等差数列an中,a则3(a1+7d)=5(a1所以a20又由a1>0,所以a20>0,a21<0点睛:本题考查了等差数列的通项公式,及等差数列的前n项和Sn的性质,其中解答中根据等差数列的通项公式,化简求得a20+7、D【解析】
根据是第三象限的角得,利用同角三角函数的基本关系,求得的值.【详解】因为是第三象限的角,所以,因为,所以解得:,故选D.【点睛】本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系,即已知值,求的值.8、B【解析】
试题分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA=﹣sinA,∴tanA=﹣1,∵<A<π,∴A=,由正弦定理可得,∵a=2,c=,∴sinC==,∵a>c,∴C=,故选B.点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.9、A【解析】由题意得,数列如下:则该数列的前项和为,要使,有,此时,所以是第组等比数列的部分和,设,所以,则,此时,所以对应满足条件的最小整数,故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.10、A【解析】
根据相邻的两个组的编号确定组矩,即可得解.【详解】由题:样本中相邻的两个组的编号分别为12,21,所以组矩为9,则第一组所取学生的编号为3,第四组所取学生的编号为30.故选:A【点睛】此题考查系统抽样,关键在于根据系统抽样方法确定组矩,依次求得每组选取的编号.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
按照程序框图运行程序,直到a的值满足a>100时,输出结果即可.【详解】第一次循环:a=3;第二次循环:a=7;第三次循环:a=15;第四次循环:a=31;第五次循环:a=63;第六次循环:a=127,a>100,所以输出a.所以本题答案为127.【点睛】本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果的问题,属于基础题.12、2【解析】
在正数数列an中,由点an,an-1在直线x-2y=0上,知a【详解】由题意,在正数数列an中,a1=1,且a可得an-2即an因为a1=1,所以数列所以Sn故答案为2n【点睛】本题主要考查了等比数列的定义,以及等比数列的前n项和公式的应用,同时涉及到数列与解析几何的综合运用,是一道好题.解题时要认真审题,仔细解答,注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.13、【解析】
根据已知条件,所得截面可能是三角形,也可能是六边形,分别求出三角形与六边形周长的取值情况,即可得到函数的值域.【详解】如图:∵正方体的棱长为,∴正方体的对角线长为6,∵(i)当或时,三角形的周长最小.设截面正三角形的边长为,由等体积法得:∴∴,(ii)或时,三角形的周长最大,截面正三角形的边长为,∴(iii)当时,截面六边形的周长都为∴∴当时,函数的值域为.【点睛】本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直,关键在于结合图形分析截面的三种情况,进而得出与截面边长的关系.14、【解析】∵,(,),当时,,,…,,并项相加,得:,
∴,又∵当时,也满足上式,
∴数列的通项公式为,∴
,令(),则,∵当时,恒成立,∴在上是增函数,
故当时,,即当时,,对任意的正整数,当时,不等式恒成立,则须使,即对恒成立,即的最小值,可得,∴实数的取值范围为,故答案为.点睛:本题考查数列的通项及前项和,涉及利用导数研究函数的单调性,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于难题通过并项相加可知当时,进而可得数列的通项公式,裂项、并项相加可知,通过求导可知是增函数,进而问题转化为,由恒成立思想,即可得结论.15、【解析】
在平行六面体中把向量用用表示,再利用待定系数法,求得.再求解。【详解】如图所示:因为,又因为,所以,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理,还考查了运算求解的能力,属于基础题.16、【解析】
根据与垂直即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x的值.【详解】;;.故答案为.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)1;(2).【解析】
(1)先求出,的坐标,再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解;(2)先求出,的坐标和模,再求,的数量积,即可求向量与的夹角.【详解】(1)因为A(1,2),B(3,1),C(2,2),D(1,m),所以,,若向量∥,则,即,(2)若m=3,则,,所以,,,所以,故向量与的夹角为.【点睛】本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理,求向量的夹角要选择合适的公式.18、(Ⅰ)(Ⅱ)().【解析】试题分析:(Ⅰ)运用两角和的正弦公式对f(x)化简整理,由周期公式求ω的值;(Ⅱ)根据函数y=sinx的单调递增区间对应求解即可.试题解析:(Ⅰ)因为,所以的最小正周期.依题意,,解得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.函数的单调递增区间为().由,得.所以的单调递增区间为().【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性:1.三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方法求解.关于复合函数的单调性的求法;2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调区间内.若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较,与1比较等)求解.19、(1);(2)4【解析】
(1)由,得,由,得A,b,代入,求得,从而即可得到本题答案;(2)由题,得恒成立,等价于恒成立,然后利用和差公式展开,结合辅助角公式,逐步转化,即可得到本题答案.【详解】(1)解:由图知,又,可得,代入,得,又,所求为(2)设乙投产持续时间为小时,则甲的投产持续时间为小时,由诱导公式,企业乙用电负荷量随持续时间变化的关系式为:同理,企业甲用电负荷量变化关系式为:两企业用电负荷量之和,依题意,有恒成立即恒成立展开有恒成立其中,,,整理得:解得即取得:的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式,以及三角函数的实际应用,主要考查学生的分析问题和解决问题的能力,以及计算能力,难度较大.20、(1);(2)【解析】
(1)通过正弦定理得,进而求出,再根据,进而求得的大小;(2)由正弦定理中的三角形面积公式求出,再根据余弦定理,求得,进而求得的周长.【详解】(1)由题意知,由正弦定理得,又由,则,所以,又因为,则,所以.(2)
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