高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练16孙子算经教师版

专题16《孙子算经》一、单选题1．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺（

）A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺【答案】C【解析】【分析】利用条件可得方程组，即得.【详解】设长木长为x尺，绳子长为y尺，则，解得故选：C.2．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2024这2024个自然数中被3除余2且被5除余4的数依据从小到大的依次排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（

）A．132 B．133 C．134 D．135【答案】C【解析】【分析】先得到新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，求出通项公式，解不等式求出数列的项数.【详解】由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，设新数列为，则通项公式为，令，解得：，因为，所以这个数列的项数为134.故选：C3．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2024这2024个整数中能被4除2且被6除余2的数按由小到大的依次排成一列构成一数列，则此数列的项数是（

）A．165 B．166 C．169 D．170【答案】C【解析】【分析】设所求数列为，由题意可知，从而可求通项公式，结合已知可求的范围，进而可求．【详解】设所求数列为，由题意可知，所以，令，即，解得，所以满意的正整数的个数为，所以该数列共有项．故选：C．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将到这个数中，能被除余且被除余的数按从小到大的依次排成一列，构成数列，则该数列共有（

）A．项 B．项 C．项 D．项【答案】B【解析】【分析】由已知可得能被除余且被除余的数即为能被除余，进而得通项及项数.【详解】由已知可得既能被整除，也能被整除，故能被整除，所以，，即，故，即，解得，故共项，故选：B.5．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”依据这一数学思想，全部被3除余2的正整数从小到大排列组成数列，全部被5除余3的正整数从小到大排列组成数列，把与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由等差数列的通项公式依次写出，再依次推断四个选项即可.【详解】依据题意可知，数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以，数列是首项为3，公差为5的等差数列，所以，数列与的公共项从小到大排列得到数列，故数列是首项为8，公差为15的等差数列，．对于A，，，，故错误；对于B，，，，故错误；对于C，，，，故正确；对于D，，，，故错误．故选：C．6．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的依次排成一列，构成数列，则=（

）A．130 B．132 C．140 D．144【答案】A【解析】【分析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的依次排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A.7．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的依次排成一列，构成数列，则这个新数列各项之和为（

）．A．6923 B．6921 C．8483 D．8481【答案】C【解析】【分析】依题意数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，再解不等式求出的取值范围，最终依据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：由题意可知数列既是3的倍数，又是5的倍数，因此数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，，令，解得，因此这个新数列的最终一项为，设新数列的前n项和为，则．故选：C．8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2024这2024个自然数中被5除余3且被7除余2的数依据从小到大的依次排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（

）A．58 B．59 C．60 D．61【答案】A【解析】【分析】依据题意先得到数列的首项及公差，再建立不等式即可求解.【详解】因为由1到2024这2024个自然数中被5除余3且被7除余2的数依据从小到大的依次所构成的数列是一个首项为23，公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为．因为，所以．即该数列的项数为58．故选：A9．《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”依据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【解析】【分析】依据给定条件，利用等差数列前n项和公式求出首项即可计算作答.【详解】依题意，这5人得到的橘子数按从小到大的依次排成一列构成公差的等差数列，而数列的前5项和，由，解得，则，所以分得橘子最多的人所得的橘子数为18.故选：D10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的探讨，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（

）A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理化简为，绽开可得到被10除余9，由此可得答案.【详解】,所以被10除余9，2024,2024,2024,2024除以10余9的是2024，故选：A.11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的探讨．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（

）A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理可得，再利用二项式定理绽开即可得解.【详解】因为,四个选项中，只有时，除以10余数是1．故选：B．12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道出名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的依次排成一列数，则281是第几个数（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【解析】【分析】由题意可得，且为正整数，则可得，所以令，从而可得，进而可求得答案【详解】解：由题意可得，且为正整数，所以，所以令，所以，，所以，又，故．故选：B．13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2024这2024个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的依次排成一列，构成数列，则此数列的项数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题设且，应用不等式求的范围，即可确定项数.【详解】由题设，且，所以，可得且.所以此数列的项数为.故选：C14．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的探讨，设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为，若，则b的值可以是（

）A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理可得，再利用二项式定理绽开即可得解.【详解】因为,四个选项中，只有时，除以10余数是1．故选：B．15．我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的探讨．设，，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．下列说法正确的是（

）A．若，，则B．C．若，，，则D．若，，则【答案】D【解析】【分析】依据定义结合二项式定理逐一分析验证即可得出答案.【详解】解：若，则或，故，故A错误；因为，所以被7除所得的余数为1，65被7除所得的余数为2，故B错误；由，得，由，得，所以，被除得的余数为6，而被除得的余数为5．故C错误；若，则，，，，所以，故D正确．故选：D.16．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理“讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2，且被6除余2的数按从小到大的依次排成一列，构成数列{an}，则这个新数列各项之和为（

）A．1666 B．1676 C．1757 D．2646【答案】A【解析】【分析】将问题转化为既是4的倍数，也是6的倍数，也即是12的倍数，从而得到的表达式，利用等差数列前n项和公式即可求解.【详解】解：由题意可知数列即是4的倍数，又是6的倍数，因此数列是以2为首项，以12为公差的等差数列，，因此，，设新数列的前n项和，则.故选：A.17．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”依据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，全部被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行推断可得答案.【详解】依据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列，，数列是首项为2，公差为5的等差数列，，数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，.对于A，，，，错误对于B，，，，正确.对于C，，，，，错误.对于D，，，，，错误.故选：B.二、多选题18．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（

）A．8 B．128 C．37 D．23【答案】BD【解析】【分析】依据给定条件对各选项逐一分析计算即可推断作答.【详解】对于A，因，则，选项A错误；对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；对于C，因，则，选项C错误；对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.故选：BD三、填空题19．我国古代闻名的数学著作中，《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五曹算经》､《夏侯阳算经》､《孙丘建算经》､《海岛算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的支配方法的种数为__________．(用数字回答)【答案】【解析】【分析】依据4人所得本数为1，1，1，3或1,1,2,2两类，先分组后支配可得.【详解】将6本书依据1，1，1，3分为4组，共有种分法，再将4组分给4人共有种，所以将6本书依据1，1，1，3分给4人共有种；将6本书依据1,1,2,2分为4组，共有种，再将4组分给4人共有种，所以将6本书依据1,1,2,2分给4人共有种.所以，将6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本的分法种数为种.故答案为：156020．《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个正整数为a，当时，符合条件的全部a有_______个．【答案】53【解析】【分析】先由，对进行分类探讨后得到，解不等式即可求出的个数.【详解】设，则，当时，，不合题意，同理当时，均不存在，当时，，符合题意，其中.故，即为公差为15的等差数列，令，，解得，故符合条件的全部a有53个.故答案为：53.21．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，其次等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”依据这个问题，可以得到其次等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【解析】【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，其次等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，其公差为3，所以，解得，所以，即其次等诸侯分得的橘子个数是9．故答案为：922．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何？“这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余2.依据这一数学思想，今有由小到大排列的全部正整数数列{an}，{bn}，{an}满意被3除余2，a1=2，{bn}满意被5除余2，b1=2，把数列{an}与{bn}相同的项从小到大组成一个新数列记为{cn}，则cn=______.【答案】##【解析】【分析】由题意得都是等差数列，两个公差的最小公倍数，即为的公差．【详解】，故的公差为3，的公差为5，故的公差为15．故答案为：23．我国古代有着辉煌的数学探讨成果，《周髀算经》､《九章算术》《海岛算经》､《孙子算经》《缉古算经》5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献.某中学拟将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则《九章算术》与《孙子算经》不在同一组的概率为___________.【答案】##0.6【解析】【分析】先利用古典概型的概率公式求出《九章算术》《孙子算经》恰好在同一组的概率，再利用对立事务的概率公式可求得结果【详解】将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部）的基本领件总数，《九章算术》《孙子算经》恰好在同一组包含的基本领件个数，故所求概率为.故答案为：24．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2024中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的依次排成一列，构成数列，则此数列的项数为___________.【答案】135【解析】【分析】依据题意得到数列的通项公式，然后可得，计算即可.【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，所以.由得，故此数列的项数为135.故答案为：13525．“物不知数”是中国古代闻名算题，原载于《孙子算经》卷下其次十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，全部满意条件的数的和为______.【答案】82820【解析】【分析】找出满意条件的最小整数值为23，可知满意条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题可知满意被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，满意该条件的数从小到大构成以23为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，令，解得，则全部满意条件的数的和为.故答案为：82820.26．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”依据这一数学思想，全部被3除余2的正整数按从小到大的依次排列组成数列，全部被5除余2的正整数按从小到大的依次排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的依次排列组成数列，若，则的最大值为__________．【答案】14【解析】【分析】由题意可得到数列与的通项公式，进而得到数列的通项公式，然后由求得答案.【详解】由题意，全部被3除余2的正整数按从小到大的依次排列组成等差数列，首项为2，公差为3，则，全部被5除余2的正整数按从小到大的依次排列组成等差数列，首项为2，公差为5，,则，把数列与的公共项按从小到大的依次排列，组成首项为2，公差为15的等差数列，则，故由，令，由于，故的最大值为14，故答案为：1427．“物不知数”是中国古代闻名算题，原载于《孙子算经》卷下其次十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，全部满意条件的数的和为___________.【答案】【解析】【分析】找出满意条件的最小整数值为，可知满意条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，一个数被除余，被除余，被除余，则这个正整数的最小值为，因为、、的最小公倍数为，由题意可知，满意条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，设该数列为，则，由，可得，所以，的最大值为，所以，满意条件的这些整数之和为.故答案为：.28．《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物