高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练4欧拉学生版

专题4欧拉一、单选题1．1748年，瑞士数学家欧拉发觉了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有特别重要的地位，即闻名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（

） B． C． D．2．数学家欧拉通过探讨，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到闻名的欧拉公式(为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，表示的复数在复平面中位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限3．欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇异的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得.依据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四4．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（

）．A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限5．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（

）．A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限6．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为随意的外心､重心､垂心，则下列各式确定正确的是（

）A． B．C． D．7．欧拉是18世纪最宏大的数学家之一，在很多领域都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最宏大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特别状况．由欧拉公式，复数z满意，则z的虚部是（

）A．i B．1 C． D．8．费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，的情形做了检验，发觉这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到年，数学家欧拉发觉为合数，宣布费马猜想不成立．数列满意，则数列的前项和满意的最小自然数是（

）A． B． C． D．9．有一个特别好玩的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被探讨了几百年，但是迄今为止照旧没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在确定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差确定值近似为（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.65710．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士闻名数学家欧拉发觉的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，依据此公式可知，在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限11．欧拉是世纪最宏大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最宏大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特别状况．依据欧拉公式，若复数z满意，则z的虚部是（

）A． B． C． D．12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同始终线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（

）A． B．C． D．13．欧拉公式被称为世界上最完备的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.依据欧拉公式，下列说法不正确的是（

）A．对随意的， B．在复平面内对应的点在其次象限C．的实部为 D．与互为共轭复数14．大数学家欧拉发觉的公式把自然对数的底数e，虚数单位i和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，这个公式被誉为“数学中的天桥”．若复数z的模是1，纯虚数（a是实数），则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．415．形如的数被称为费马数，费马完成了,,,,的验证后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设，若随意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．16．若正整数、只有为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名探讨者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（

）A．B．数列是等差数列C．D．数列的前项和为，则17．在数学和很多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于全部不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（

）A． B． C． D．18．欧拉是十八世纪宏大的数学家，他奇异地把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”.依据该公式，可得的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．19．对正整数a，函数表示小于或等于a的正整数中与a互质的数的数目，此函数以其首位探讨者欧拉命名，故称为欧拉函数．例如：因为均和8互质，所以．基于上述事实，（

）A．8 B．12 C．16 D．2420．1614年纳皮尔在探讨天文学的过程中为了简化计算而独创对数；1637年笛卡尔起先运用指数运算；1770年，欧拉发觉了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的独创先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（且）的反函数为（且）．已知函数，，则对于随意的，有恒成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．21．宏大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又依据泰勒绽开式可以得到，依据以上两式可求得（

）A． B． C． D．二、填空题22．欧立公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士闻名数学家欧拉发觉的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数——自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类宏大发觉之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创建的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则__________.23．欧拉恒等式:被数学家们惊羡为“上帝创建的等式”.该等式将数学中几个重要的数:自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i、自然数1和0完备地结合在一起，它是由欧拉公式:，令得到的.依据欧拉公式，在复平面内对应的点在第_____象限.24．欧拉公式：（是虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立起三角函数和指数函数之间的联系，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，求的最大值为_____25．据记载，欧拉公式是由瑞士闻名数学家欧拉发觉的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，该公式被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式复数的虚部为__________．26．数学家也有很多漂亮的错误，如法国数学家费马于1640年提出了是质数的猜想，直到1732年才被擅长计算的大数学家欧拉算出.

也就是说不是质数，这个猜想不成立．设是数列前n项和，若对恒成立，则m的最大值是______．27．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，，，则下列各式中正确的序号是______．①

②

③

④28．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：随意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧