宜昌一中等“荆荆襄宜四地七校考试联盟”高二数学下学期期中试题 文-人教版高二数学试题

湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”-学年高二数学下学期期中试题文一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1.复数满足，则（）A.B.C.D.2.下列命题为真命题的是（）A.若为真命题，则

为真命题

B.是的充分不必要条件

C.命题“若

，则”的否命题为：“若

，则”

D.已知命题，使得，则¬，使得．3.下列说法中正确的是（）A.先把高二年级的名学生编号：1到，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这种抽样方法是分层抽样法

B.线性回归直线不一定过样本中心

C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1

D.若一组数据的平均数是5，则该组数据的方差也是54.抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的点数是奇数”，事件为“落地时向上的点数是偶数”，事件为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件为“落地时向上的点数是6或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A.与 B.与 C.与 D.与x0123y-118m5.根据表格中的数据用最小二乘法计算出变量的线性回归方程为，则表格中的值是（）A.B.C.D.6.已知椭圆的左右焦点分别是，其离心率，过左焦点作一条直线与椭圆交于两点，已知的周长是，则该椭圆的方程是（）A.B.C.D.7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的a的值为（）A.B.C.D.

8.已知抛物线的焦点是，其上一点，其中，则（）A.8B.4C.9.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．在如图所示的一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A.B.C.D.10.已知双曲线的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，则截得的弦长（）A.B.C.D.11.设函数．若曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是（）A.B.C.D.12.如图，在底面半径为和高为的圆锥中，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，若过直径与点的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则圆锥顶点到该抛物线焦点的距离为（）A.B.C.D.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填入相应的位置）13.已知，，，且是成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．14.已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点，且点是的中点，则直线的方程是__________．15.已知直线与曲线相切于点，则_______．16.如图所示三角形数阵中，为第行从左到右的第个数，例如，若，则______．三、解答题（共6小题，共70分，解答题需要写出必要的文字说明和解析过程）17.(本小题12分)共享单车是指企业为校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好地服务社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），将统计数据分为：六个小组，得到右侧频率分布直方图，已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数列.

（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计这100人每日平均骑行共享单车时间的中位数；（保留小数点后两位小数）

（3）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率．18.(本小题12分)已知函数，（1）若是的极值点，求在上的最小值和最大值；（2）若在上是单调递增函数，求实数的取值范围．19.(本小题12分)某重点高中计划面向高二年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．

（1）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生的人数；（2）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计附：，其中．P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(本小题12分)已知函数，（其中为常数）．

（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（3）若，令，证明：．21.(本小题12分)已知圆和定点，其中点是该圆的圆心，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为．

（1）求动点的轨迹方程；（2）设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，记直线的斜率分别为，．证明：是定值；（3）设点是曲线上另一个异于的点，且直线与的斜率满足，试探究：直线是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．22.(本小题10分)已知命题不等式恒成立；命题方程表示双曲线．若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”试题答案1---5BBDCA6---10BCBAC11-12DA13. 14.15.516.8717.解：（1）由…（1分）

解得，又．…（3分）（2），所以中位数大约是…（6分）

（3）“忠实用户”“潜力用户”的人数之比为：，所以“忠实用户”抽取人，“潜力用户”抽取人，…（8分）

记事件：从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户”

设两名“忠实用户”的人记为：，三名“潜力用户”的人记为：，

则这5人中任选3人有：，，，共10种情形，符合题设条件有：共有6种．…（10分）因此恰好1人为“忠实用户”的概率为．…（12分）18.解：（1）函数，可得…（2分）可知在上单调递减，在上单调递增，4分且，所以…（6分）(2)函数分参可得…（8分），，即…（12分）19.解：（Ⅰ）由条件知，抽取的男生为105人，女生为180-105=75人；

男生选择社会科学类的频率为，女生选择社会科学类的频率为；…（2分）

由题意，男生总数为人，女生总数为人，…（4分）

所以，估计选择社会科学的人数为人；…（6分）

（Ⅱ）根据统计数据，可得列联表如下：选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180计算观测值，

所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关．…（12分）20.解：（1）函数的定义域是，，当时，，即在上单调递增；…（2分）当时，，可得，可知在上单调递增，在上单调递减；…（4分）(2)，分参可得，，可得，即在单调递增，在上单调递减，…（6分）通过数形结合可知…（8分）(3)已知，可得，则，所以在上单调递增，又，所以在上有唯一的实数根，且，当时，，当时，，从而当时，取极小值，也是最小值，由，得，则，…（10分）故，，所以…（12分）21.解：（1）依题意可知圆的标准方程为，因为线段的垂直平分线交于点，所以，动点始终满足，故动点满足椭圆的定义,因此，解得，∴椭圆的方程为，…（3分）（2）），设，则（6分）

（3），由（2）中的结论可知，所以

，即，当直线的斜率存在时，可设的方程为，，可得，则（*），…（7分），…（8分）

将（*）式代入可得，即，亦即…（10分）当时，，此时直线恒过定点（舍）；当时，，此时直线恒