南洋中学高一数学下学期期中试卷（含解析）-人教版高一数学试题

江苏省盐城市时杨中学、南洋中学-学年高一下学期期中数学试卷一．填空题（共14小题）1．（5分）若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．2．（5分）若直线l：y﹣2x﹣1=0的斜率是．3．（5分）设关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是．4．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=．5．（5分）圆柱的底面周长为5cm，高为2cm，则圆柱的侧面积为cm2．6．（5分）直线y=2x﹣1与直线y=kx+1垂直，则k=．7．（5分）sin15°+cos15°=．8．（5分）已知向量的夹角为60°，且，则=．9．（5分）过点P（1，2）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是．10．（5分）已知直线l1：x﹣2y﹣4=0和l2：x+3y+6=0，则直线l1和l2的交点为．11．（5分）若sinα＜0，且tanα＞0，则α是第象限角．12．（5分）已知α为钝角，，则cosα=．13．（5分）已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题①若α∥β则l⊥m；②若l⊥m则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m则α⊥β．其中正确命题的序号是．14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R．又f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1﹣x2|的最小值等于π．则ω的值为．二．解答题（共6小题）15．（14分）已知点A（2，﹣2），B（4，6）．（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）求过点C（﹣2，0）且与AB垂直的直线方程．16．（14分）如图棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1（1）求证：A1B1∥平面ABE；（2）求三棱锥VE﹣ABC的体积．（V=sh）17．（16分）已知x为锐角，且sinx=，（Ⅰ）求cosx，tanx的值；（Ⅱ）求sin2x，cos2x的值；（Ⅲ）求的值．18．（16分）求经过直线l1：x+y+3=0与直线l2：x﹣y﹣1=0的交点P，且分别满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）与直线2x+y﹣3=0平行；（Ⅱ）与直线2x+y﹣3=0垂直．19．（16分）设函数f（x）=sin（2x+）﹣4cos（π﹣x）sin（x﹣）．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域．20．（16分）设函数f（x）=．（Ⅰ）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．江苏省盐城市时杨中学、南洋中学-学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（共14小题）1．（5分）若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1}．考点： 并集及其运算．专题： 计算题；集合．分析： A∪B={x|x∈A或x∈B}．解答： 解：A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．点评： 本题考查了集合的运算，属于基础题．2．（5分）若直线l：y﹣2x﹣1=0的斜率是2．考点： 直线的斜率．专题： 直线与圆．分析： 直线方程化为斜截式即可得出．解答： 解：直线l：y﹣2x﹣1=0化为y=2x+1，其斜率是2．故答案为：2．点评： 本题考查了斜截式，属于基础题．3．（5分）设关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是（2，+∞）．考点： 函数单调性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 直接利用一次函数时单调递增函数求出参数k的范围．解答： 解：关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数所以：k﹣2＞0解得：k＞2所以实数k的取值范围为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）点评： 本题考查的知识要点：一次函数单调性的应用．属于基础题型．4．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣2．考点： 函数奇偶性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 当x＞0时，f（x）=x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）=﹣f（1），即可得出．解答： 解：∵当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=1+1=2．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评： 本题考查了函数奇偶性，属于基础题．5．（5分）圆柱的底面周长为5cm，高为2cm，则圆柱的侧面积为10cm2考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 根据圆柱的侧面积=c×l，求解即可．解答： 解：∵圆柱的底面周长为5cm，高为2cm，∴c=5，l=2，∵圆柱的侧面积=c×l，∴圆柱的侧面积=5×2=10cm2故答案为：10点评： 本题考察了圆柱的侧面积公式，属于计算题，难度不大，计算准确即可．6．（5分）直线y=2x﹣1与直线y=kx+1垂直，则k=﹣．考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题： 直线与圆．分析： 根据两条直线垂直，它们的斜率之积等于﹣1，求出k的值．解答： 解：∵直线y=2x﹣1与直线y=kx+1垂直，∴k=﹣；故答案为：﹣．点评： 本题考查了两条直线垂直的判定与应用问题，解题时应用两直线垂直，斜率之积等于﹣1，即可得出答案．7．（5分）sin15°+cos15°=．考点： 两角和与差的正弦函数．专题： 三角函数的求值．分析： 原式提取，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果．解答： 解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin（15°+45°）=sin60°=．故答案为：点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（5分）已知向量的夹角为60°，且，则=1．考点： 平面向量数量积的运算．专题： 平面向量及应用．分析： 运用公式得出=||×||×cos60°求解即可．解答： 解：∵向量的夹角为60°，且，∴=2×1×cos60°=1，即=1故答案为：1点评： 本题考查了平面向量的数量积的运算，准确计算即可，属于容易题．9．（5分）过点P（1，2）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是x+y﹣3=0或2x﹣y=0．考点： 直线的截距式方程．专题： 直线与圆．分析： 分类讨论：当直线过原点时，可设直线的方程为y=kx，当直线不过原点时，可设直线的方程为=1，代点分别可得k，a的值，可得方程．解答： 解：当直线过原点时，可设直线的方程为y=kx，代点P（1，2）可得k=2，故方程为y=2x，化为一般式可得2x﹣y=0；当直线不过原点时，可设直线的方程为=1，代点P（1，2）可得a=3，故方程为=1，化为一般式可得x+y﹣3=0，综上可得所求直线的方程为：x+y﹣3=0或2x﹣y=0．故答案为：x+y﹣3=0或2x﹣y=0点评： 本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，解题时易漏解，属易错题．10．（5分）已知直线l1：x﹣2y﹣4=0和l2：x+3y+6=0，则直线l1和l2的交点为（0，﹣2）．考点： 两条直线的交点坐标．专题： 直线与圆．分析： 联立直线l1和l2的方程解得即可．解答： 解：联立，解得．∴直线l1和l2的交点为（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．点评： 本题考查了两条直线的交点问题，属于基础题．11．（5分）若sinα＜0，且tanα＞0，则α是第三象限角．考点： 象限角、轴线角．专题： 计算题．分析： 由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角；故当sinα＜0且tanα＞0时，α是第三象限角．解答： 解：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角．由于sinα＜0且tanα＞0，故α是第三象限角，故答案为：三．点评： 本题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sinα＜0时，α是第三或第四象限角；tanα＞0时，α是第一或第三象限角，是解题的关键．12．（5分）已知α为钝角，，则cosα=．考点： 两角和与差的余弦函数．专题： 三角函数的求值．分析： 由题意可求＜＜，从而可得cos（），由cosα=cos（﹣），利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．解答： 解：∵α为钝角，即＜α＜π，∴＜＜，∴cos（）=﹣=﹣，∴cosα=cos（﹣）=cos（）cos+sin（）sin=（﹣）×+=．故答案为：．点评： 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．13．（5分）已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题①若α∥β则l⊥m；②若l⊥m则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m则α⊥β．其中正确命题的序号是①④．考点： 平面的基本性质及推论．专题： 计算题．分析： 由l⊥α，m⊂β，知：①若α∥β，则l⊥β，故l⊥m；②若l⊥m，则α与β平行或相交；③若α⊥β，则l与m相交、平行或异面；④若l∥m，则m⊥α，故α⊥β．解答： 解：∵l⊥α，m⊂β，∴①若α∥β，则l⊥β，∴l⊥m，故①正确；②若l⊥m，则α与β平行或相交，故②不正确；③若α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故③不正确；④若l∥m，则m⊥α，∴α⊥β，故④正确．故答案为：①④．点评： 本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R．又f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1﹣x2|的最小值等于π．则ω的值为．考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析： 首先利用三角函数关系式的恒等变换，通过图象确定函数的周期，进一步利用正弦型函数的周期关系式确定函数关系式中ω的值．解答： 解：函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）=2sin（ωx+），又f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1﹣x2|的最小值等于π．所以函数的最小正周期为4π，所以：，解得：ω=．故答案为：．点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的图象确定函数的周期，进一步利用正弦型函数的周期关系式确定函数关系式中ω的值．二．解答题（共6小题）15．（14分）已知点A（2，﹣2），B（4，6）．（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）求过点C（﹣2，0）且与AB垂直的直线方程．考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的两点式方程．专题： 直线与圆．分析： （I）利用斜率计算公式、点斜式即可得出；（II）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．解答： 解：（Ⅰ）由已知，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为y+2=4（x﹣2），即4x﹣y﹣10=0．（Ⅱ）设所求直线l的斜率为k'，则k•k'=﹣1，解得．所以直线l的方程为，即x+4y+2=0．点评： 本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，属于基础题．16．（14分）如图棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1（1）求证：A1B1∥平面ABE；（2）求三棱锥VE﹣ABC的体积．（V=sh）考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题： 空间位置关系与距离．分析： （1）由A1B1∥AB，能证明A1B1∥平面ABE．（2）由已知得EC⊥平面ABC，且EC=1，S△ABC==2，由此能求出三棱锥VE﹣ABC的体积．解答： （1）证明：∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1A1B1∥AB，且A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴A1B1∥平面ABE．（2）解：∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1∴EC⊥平面ABC，且EC=1，又∵S△ABC==2，∴三棱锥VE﹣ABC的体积V=S△ABC•EC==．点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．17．（16分）已知x为锐角，且sinx=，（Ⅰ）求cosx，tanx的值；（Ⅱ）求sin2x，cos2x的值；（Ⅲ）求的值．考点： 同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题： 三角函数的求值．分析： （Ⅰ）由x为锐角，且sinx=，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosx，tanx的值．（Ⅱ）根据倍角公式即可得解．（Ⅲ）根据同角三角函数基本关系式即可求得tan2x的值，由两角和与差的正切函数公式即可得解．解答： 解：（Ⅰ）∵x为锐角，且sinx=，∴cosx===，tanx===．…（4分）（Ⅱ）sin2x=2sinxcosx=2××=，cos2x=2cos2x﹣1=2×﹣1=．…（8分）（Ⅲ）∵tan2x===2，∴===…（16分）点评： 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查．18．（16分）求经过直线l1：x+y+3=0与直线l2：x﹣y﹣1=0的交点P，且分别满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）与直线2x+y﹣3=0平行；（Ⅱ）与直线2x+y﹣3=0垂直．考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题： 直线与圆．分析： 由，解得P（﹣1，﹣2）．（1）设与直线2x+y﹣3=0平行的直线方程为2x+y+m=0，把P（﹣1，﹣2）代入即可得出；（2）设与直线2x+y﹣3=0垂直的直线方程为：x﹣2y+n=0，把P（﹣1，﹣2）代入即可得出．解答： 解：由，解得，∴P（﹣1，﹣2）．（1）设与直线2x+y﹣3=0平行的直线方程为2x+y+m=0，把P（﹣1，﹣2）代入可得；﹣2﹣2+m=0，解得m=4．∴要求的直线方程为：2x+y+4=0．（2）设与直线2x+y﹣3=0垂直的直线方程为：x﹣2y+n=0，把P（﹣1，﹣2）代入可得：﹣1+4+m=0，解得n=﹣3．∴要求的直线方程为：x﹣2y﹣3=0．点评： 本题考查了相互平行、垂直的直线方程的求法，考查了计算能力，属于基础题．19．（16分）设函数f（x）=sin（2x+）﹣4cos（π﹣x）sin（x﹣）．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域．考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析： （1）直接根据已知条件利用特殊角的三角函数的值求出结果．（2）首先对关系