结构的动力计算课件

结构的动力计算§13-1、动力计算的特点和动力自由度

1、动力荷载的特点。

静力荷载:施力过程缓慢,不使结构物产生显著的加速度,因而是可以略去惯性力影响的荷载。

静力荷载对结构的影响：静力荷载作用下，结构处于静力平衡状态，荷载的大小、方向、作用点以及由它引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。

动力荷载：施力过程较迅速，在动力荷载作用下，结构将产生不容忽视的加速度，必须考虑惯性力的影响。

动力荷载对结构的影响：动力荷载作用下，结构将发生振动。荷载的大小、方向、作用点以及由它引起的结构的内力、位移等各种量值都是时间的函数。力系中包括惯性力，计算中考虑瞬间平衡。2、常见的动力荷载及分类

1、周期荷载：荷载随时间作周期性变化。（1）简谐周期荷载：荷载FP(t)随时间t的变化规律可用正弦或余弦函数表示。是周期荷载中最简单，也是最重要的一种。（2）一般周期荷载：简谐荷载以外的其它形式的周期荷载。t简谐荷载FP(t)t周期荷载FP(t)

2、冲击荷载：在很短的时间内，荷载急剧增大或急剧减小。（1）作用在结构物上的爆炸冲击荷载。（2）突加荷载，突然施加于结构并在一定时间内荷载值维持不变。（3）撞击荷载，物体之间相互撞击作用，在极短时间内出现，又突然消失的荷载。

以上为数定荷载，确定性荷载。t非周期性的爆炸荷载FP(t)3、随机荷载（非数定荷载）：在任一时刻的数值无法预测。（1）地震对建筑物的激振。（2）风力的脉冲荷载。（3）波浪对坝体的拍击。等

动力荷载作用可以是分布的，也可以是集中的。其作用位置可以是固定的，也可以是随时移动的。

本课程在此只讨论数定荷载作用。tüg3、结构动力计算的特点根据达朗伯(J.leR.d’Alembert)

原理，动力计算问题可以转化为平衡问题来处理。但这是一种动平衡，是在引进惯性力条件下的平衡。注意两个特点：1、在所考虑的力系中包括惯性力。2、这里考虑的平衡是瞬时平衡，荷载及其引起的内力等量值均为时间的函数。4、结构动力计算的内容结构动力计算的目的：确定动力荷载作用下结构的内力，位移等量值随时间而变化的规律，从而找出最大值，作为结构设计和验算的依据。研究结构受迫振动是动力计算的一项根本任务。而结构在受迫振动时各截面的最大内力和位移均与结构自身的动力特性有关，即与结构自由振动时的频率和振动形式密切相关。因此，寻求结构自身的自振频率与振型就成为研究受迫振动的前提。（1）结构动力特性结构自由振动（振动过程中无外干扰力作用）结构自身的自振频率ω，

自振周期T，

振动形式{Y}，

阻尼性质。（2）结构的动力反应结构的受迫振动（振动过程中受外干扰力作用）位移、内力等：,y(t),y(t)y(t);

M(t),FN(t),FQ(t)5、动力计算中体系的自由度（1）结构动力计算的计算简图及自由度。动力计算中由于要考虑惯性力的作用，因此需要研究体系的质量分布，即，质量在运动过程中的自由度问题。

自由度：结构（体系）在变形过程中，确定全部质量位置所需要的独立参数的数目。

一个结构（体系）的自由度是指，为了确定运动过程中任一时刻，全部质量位置所需确定的独立几何参数的数目。一般体系都是连续分布的，属于无限自由度问题。计算繁重，一般不必要。简化通常有两种方法。

①、集中质量法：

集中质量（质点或刚体）

弹性无重杆

有限个自由度体系由于对问题的复杂性和计算精度的要求不同，同一结构可取不同的计算简图。为了简化计算，杆系(受弯)结构振动时，通常假定：

a、略去质量的角位移（转动惯量），把质量视为质点。

b、忽略质量运动在结构杆件中产生的轴向变形。y=y(x,t)xymEIln=∞xyy3(t)aaaammmm/2m/2mi=may1(t)y2(t)xymEIly=y(x,t)Wy=y(t)xym=W/g+mlm无限自由度有限自由度②

、广义坐标法把一个无限自由度体系简化为有限自由度体系时,可以通过近似地假设振动曲线来实现。如：其中φ1(x)、φ2(x)、…

φn(x)为满足位移边界条件的已知函数（形状函数）。

ak

—待定参数（广义坐标）。具有分布质量的简支梁是一个具有无限自由度的体系。简支梁的挠度曲线可用三角函数表示：其中：sin(kπx/l)—形状函数（满足位移边界条件）ak

—待定参数，广义坐标(坐标选定后，由无限多个广义坐标ak确定y(t))。通常取前几项。无限自由度简化为n个自由度体系。(2)、确定质点体系自由度数目的方法较简单的可以直接判定。较复杂的可以采用链杆法，即：加入最少数量的链杆，限制体系上所有质点运动的方法来判定。体系的自由度数目=加入链杆数。m1m2m3例：m1m2m3y1(t)y2(t)y3(t)n=3n=1EI=常数n=2EI=常数n=3EI=常数n=4EIEIEI=∞n=2动力自由度的特点：（1）、与质量的分布，体系的支承和变形性质有关。（2）、与体系是否有多余约束无确定关系。（3）、动力自由度的数目不一定等于质点的数目。（4）、动力自由度与体系几何构造自由度的异同？共同处：体系运动形式的独立参数个数。不同处：一为质点运动的自由度；一为刚体体系的运动自由度。§13-2、单自由度体系的自由振动

1、自由振动微分方程的建立

（1）、建立动平衡方程（刚度法）杆头作用集中质量为m；

梁的刚度系数为k。（使梁端产生单位位移时，在梁端所需施加的水平力）振动某一时刻t

，质量离开其平衡位置的位移为yd(t)。myd⊿stm静平衡位置kkmWFe(t)FI(t)取质量m为隔离体，在振动的任一瞬时，质点上所受的力有：（1）、重力W（2）、弹性力Fe(t)

。（3）、惯性力FI(t)mWFe(t)FI(t)弹性力Fe(t)

:

Fe(t)=-ky(t)=-

k

(⊿st+yd)

惯性力FI(t):FI(t)=-mÿ(t)=-m(⊿st+ÿ

d)‥则动力平衡方程：mÿd+kyd=0m(⊿st+ÿd)+k

(⊿st+yd)=W‥

有：W=k

⊿st‥⊿st=0mÿ+ky=0(13-1)若以静力平衡位置作为计算位移的起点，则所得的动力位移的微分方程与重力无关。故：质点在惯性力与弹性力的作用下维持动力平衡（达朗伯原理）。故：mÿ+ky=0

或写成：

ÿ

+k/m·y=0ÿ+ω2y=0(13-2)ω=√k/m即为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，反映了振动的一般规律。在运动的任一瞬时t

，在质量m上作用有惯性力FI(t)=-mÿ，则质量在任一瞬时的位移为：(2)、建立动位移方程（柔度法）y

(t)FI(t)静平衡位置y(t)=FI·δ=-m·ÿ·δ=(-m·ÿ)·k1δ=1/k—弹簧的柔度系数，即：梁端作用单位力时，梁端产生的位移。其值与刚度系数k互为倒数。y

(t)FI(t)静平衡位置质量m在运动过程中任一时刻的位移,等于在当时的惯性力作用下的静力位移。2、自由振动微分方程的解由方程：ÿ+ω2y=0

（13-2）通解：y(t)=Bcosωt

+

Csinωt

B，C由初始条件定。

t=0

y(0)=y0(初位移)

y(0)=y0=v0(初速度)代入通解,可得：

B

=y0,C=v0

/ω

称为“谐振动”。a表示质点的最大位移，称为振幅；α为初相角。由于cosωt,sinωt都是周期函数，它们每经历一定时间，就会出现相同的数值。若给时间t一个增量T=2π/ω，则y,y的数值均不变。y(t)=y0cosωt+v0

/ωsinωt

（13-3）若令：y0=asinφ,v0/ω=acosφ

y(t)=asin(ωt+α)(13-4)a=y02+v02/ω2α=1tan-1(y0ω

/v0)(13-5)3、结构的自振周期和频率（1）、周期T—振动一次的时间。对一定体系是常数。

T=2π/ω

（13-6）

单位“秒（s）”（2）、频率f—单位时间的振动次数（也称为工程频率）。

f=1/T=ω/2π

（13-7）

单位“1/秒”或称为“赫兹”圆频率ω（习惯上简称为频率，自振频率）—2π个单位时间内振动次数。

ω=2π/T=2πf

（13-8）

单位：rad/s

，弧度/秒。（3）、自振周期和频率计算公式的几种形式：

(13-10)kmω==1mδ=gWδ=g⊿stT=2πδm=2πmδ=2πWδg=2πg⊿st（4）、结构自振周期（频率）的

一些重要性质①、自振周期T（自振频率ω）只与结构的质量和刚度（柔度）有关，与外界干扰因素无关。（干扰力的大小只能影响振幅，是初始条件）。②、T与m的平方根成正比（m大，T大）；T与k的平方根成反比（k大，T小）。ω与m的平方根成反比（m大，ω慢）；ω与k的平方根成正比（k大，

ω快）。

改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度入手。③、T（或ω）是结构动力特性的重要数量标志。两个外表相似的结构，如T（或ω

）不同，则动力性能相差很大。两个外表相差很大的结构，如T（或ω

）相同，则动力性能基本一致。例:图示各梁EI=常数,跨中有集中质量m,忽略梁本身的质量,求各梁的自振周期T和自振频率ω。解：本题用柔度法比较方便。先求出各梁的δ、T、ω，再进行比较。(a)δ=2×(FP=1δFP=1l/4M12l4l223l348EI××)×(l4×)=ω=

ml348EI√T=ml348EIω2π=2π√(b)δ=[(1/2·3l/16·l/2)·(2/3·l/2)-(1/2·5l/32·l/2)·(1/3·l/2)]/EI=7l3/768EIω=768EI/7ml3√T=2π7ml3/768EI√FP=1δFP=13l/165l/32MFP=1l/2M(c)δ=2[(1/2·l/8·l/2)·(2/3·l/2)-(1/2·l/8·l/2)·(1/3·l/2)]/EI=l3/192EIω=192EI/ml3√T=2πml3/192EI√FP=1δFP=1l/8l/8l/8MFP=1l/2M比较:

ω1:ω2:ω3=1:1.512:

2

T1:T2:T3=1:0.66:0.52例:各柱EI=常数,横梁EI1=∞,各跨横梁的质量均为m,柱的质量不计,求体系的自振周期T和自振频率ω

。解：本题为单自由度体系的自由振动问题。当柱顶发生单位水平位移时，各柱剪力为12EIi/H3。k12EIH324EIH324EIH312EIH3k=72EIH3

∑X=0k=2×12EI/H3+2×24EI/H3=72EI/H3

§13-3、单自由度体系强迫振动一、运动微分方程

1、质点运动方向上作用动荷载FP(t)

列动平衡方程：∑y=0FI(t)+Fe(t)+FP(t)=0mÿ+ky=FP(t)ÿ+ω2y=FP(t)/m(13-11)mkEI,lFP(t)y(t)FP(t)FI(t)Fe(t)列动位移方程：在运动的任意时刻t,

y(t)=FI(t)·δ+FP(t)·δmkEI,lFP(t)y(t)FI(t)FP=1δ2、动荷载作用在结构的任意位置列动位移方程：运动任意时刻t，质点上作用有假想的惯性力FI(t)。

y(t)=FI(t)·δ11+FP(t)·δ1P=-mÿ·δ11+FP(t)·δ1Pmÿ·δ11+y(t)=FP(t)·δ1Pmÿ+1/δ11

·y=δ1P/δ11·FP(t)令:

δ1P/δ11·FP(t)=FP(t)ÿ+ω2y=FP(t)/mmkEI,lFP(t)y(t)FP=1δ11FP=1δ1PFI(t)3、基础运动基础发生运动ug(t),列动平衡方程：∑X=0FI(t)+Fe(t)=0mÿ+ky=-müg(t)令：FP(t)=-müg(t)mÿ+ky=FP(t)ÿ+ω2y=FP(t)/müg

地面加速度Fe(t)=-ky

FI(t)=-m(ÿ+üg)小结：1、单自由度体系（SDOF）强迫振动时，荷载是否作用在质点运动方向上，在微分方程中影响非齐次项。动荷载如果不作用在质点运动方向上，应用FP(t)代替FP(t)。2、注意各项系数的物理意义和计算方法。提问：1、第2种情况下，是否可用动平衡法列出运动微分方程？如何列出？2、第3种情况下，是否可用动位移法列出运动微分方程？如何列出？二、简谐荷载FP(t)=Fsinθt

作用1、简谐荷载作用下的动力反应。F—荷载最大值（干扰力幅值）

θ

—简谐荷载圆频率

ÿ+ω2y=F/m·sinθt(a)

二阶线性非齐次方程齐次解：

y(t)=Bcosωt+Csinωt特解：

y*=A·sinθt特解代入（a）式:(-θ2+ω2)Dsinθt=F

/m·sinθt得：

A=F

/[m(-θ2+ω2)]

y*=F/[m(-θ2+ω2)]·sinθt

=F/[mω2(1-θ2/ω2)]·sinθt通解：若设零初始条件：代入通解：第一部分称为伴生自由振动,由于实际存在的阻尼，很快衰减。第二部分则按照干扰力的频率θ振动。很快进入稳态受迫振动阶段，或称为纯受迫振动阶段。此时有：由于：有：最大动位移（即振幅）为：其中：yst—将干扰力幅值视为静力荷载作用于体系时引起的位移。令：（13-13）2、动力系数的特性

(1)θ/ω→0，β→1。

y(t)与FP(t)同相,y(t)＞yst

。(2)θ/ω＞1,θ＞ω,β＜0。

y(t)与FP(t)反相。

θ＞＞ω,θ/ω→∞,β→0。(3)θ/ω→1,(θ=ω),β→∞,y(t)→∞。共振。

实际上由于有阻尼的影响，动位移不会趋于无穷，但y(t)＞＞yst。

建筑上一般在0.75≤θ/ω≤1.25

区域内称为共振区，应避免。11θ/ωβ0.751.253、动力位移与动力内力的计算（动静法）简谐荷载FP(t)

=Fsinθt作用在质点运动方向上。求得最大动力振幅yP=β

·yst

求最大动力内力时，将惯性力作用在质点上：FI(t)=-mÿ=mβ

·yst·θ2·sinθt=FI0

·sinθt

无阻尼时，惯性力幅值FI0与动力荷载幅值F同时达到最大值。

所以当动荷载幅值F与惯性力幅值FI0同时作用在质点上，求出的相应内力，即为体系的最大动内力。值得注意的是：当荷载作用在质点运动方向上，则动位移系数β

=动内力系数。此时：

F+FI0

=βF

故可用β

F

代替F+FI0的作用，将其作用在质点运动方向上，所求得的即为结构的最大动内力。FsinθtFFI0

βFβF=F+FI0

EIlmEIlmEIlm（2）、一般情况（荷载作用在任意位置）在质点上加惯性力FI(t)，与原荷载一起，用（动）静力法求体系的位移和内力。无阻尼时，用动荷载和惯性力的幅值即可求出体系的最大动力反应。

注：此时，不能μFP代替FP和FI0，计算动位移和动内力。FPsinθt

FPFI0

为什么？三、一般动荷载作用

FP(t)是一般动力荷载，特解不易找出。微分方程为：ÿ(t)+ω2y(t)=FP(t)/m

特解可利用瞬时冲量作用下的振动导出。1、瞬时冲量的动力反应（1）、体系t=0时处于静止状态，突然有瞬时冲量作用S=FP·Δt，求任意时刻的动力反应。

S作用后，体系产生自由振动。由于冲量的作用，体系产生初速度。（初位移为零）

v0=S/m=FP·Δt/mFP(t)OtFPΔtS=FP·Δt利用自由振动公式：y(t)=y0cosωt+v0

/ω·sinωt

∴y=S/mω·sinωt(13-14)(2)、如在t=τ时作用瞬时冲量S，则在以后任一时刻t（t＞τ）时的位移为：y(t)=S/mω·sinω(t-τ)FP(t)OtFPt-ττdτtS=FP·dt2、一般动力荷载的动力反应

FP(t)的作用相当于连续冲量的作用。在t=τ

时，作用荷载为FP(τ)

在微分时段dτ

内产生的冲量为dS=FP(τ)dτ。

此微分冲量引起如下的动力反应，对于t＞τ:FP(t)Ott-ττdτtdI=FP·dtdy=·sinω(t-τ)mωFP(τ)dτ总反应为所有冲量引起的微分反应进行叠加。（13-15）上式称为杜哈梅（J.M.C.Duhamel）积分（零初始条件）。即：初始处于静止状态的单自由度体系在任意动荷载FP

(t)作用下的位移计算公式。如在初始条件中，初位移为y0，初速度为v0，则总位移：注：只要知道FP

(t)的表达式，便可使用上述公式求体系的动力反应。如荷载未作用在质点运动方向上（或地面运动），可用FP

(t)代替FP

(t)。（13-16）3、讨论几种动力荷载的动力反应（1）、突加荷载0FP(t)tFP0设：y0=v0=0(t=0时)FP(t)=0t<0FP0

t>0将FP

(t)的表达式代入（13-15）中,当t>0（13-17）

y(t)=yst(1-cosωt)FP0/mω2=

FPδ=yst

[y(t)]max=2yst=2FP/mω2

β=[y(t)]max/yst=2——动力系数yst0π2π3π4π5π6π7πωt静位移位置（2）、短期荷载

FP(t)=

0t<0

FP00<t<u0t>uFP(t)tFP0u解：阶段Ⅰ：（0≤t≤u

）y(t)=yst(1-cosωt)或y(t)=yst(1-cos2πt/T)阶段Ⅱ，有多种作法。①、直接利用杜哈梅积分②、利用自由振动公式（用突加荷载公式算出

t

=u时的位移和速度，作为t≥

u

时的初始条件）体系最大反应（分两种情况）：①、u>T/2（加载时间大于半个自振周期）最大动力反应发生在阶段Ⅰ，动力系数

β=[y(t)]max/yst=2。

②、u<T/2（加载持续时间小于半个自振周期）

最大动力反应发生在阶段Ⅱ，

[y(t)]max=yst•2•sin(ωu

/2)

动力系数：β=[y(t)]max/yst=2•sin(ωu/2)=2•sin(πu/T)∴动力系数β

=2sin(πu/T)u

/T<1/22u/T>1/2βu/T1/60.5112

β与

u

/T之间的关系曲线，称为“动力系数反应谱”。§13-4、阻尼对振动的影响

一、阻尼理论对振动起阻碍作用的因素称为阻尼。

阻尼可分为几种，统称为阻尼力。1、来自外部介质，如空气、液体的阻力，支承的摩擦等。2、来自物体内部的作用，材料分子之间的摩擦和粘着性等。

由于内外部阻尼的规律不同，且与各种建筑材料的性质有关，因而确切地估计阻尼的作用是一个非常复杂的问题。为此，提出了许多不同的建议，为使计算较简单，常用福格第（Voigt）假定：振动中物体所受阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力。

FC(t)=-cy(t)

c

—

阻尼系数，粘滞阻尼系数。（单位N·s/m）二、单自由度体系有阻尼振动微分方程由动平衡：FI(t)+FC(t)+Fe(t)+FP(t)=0

my(t)+cy(t)+ky(t)=FP(t)(13-22)my(t)+cy(t)+ky(t)=0y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=0ω=√k/mξ=c/2mω—阻尼比(13-24)mkcy(t)mFP(t)FI(t)Fe(t)FC(t)(一)、有阻尼的自由振动（13-23）（1）、运动微分方程的解设微分方程(15-26)的齐次解为

y(t)=Cert

r由特征方程确定

r2+2ξωr+ω2=0r1，2=ω(-ξ±ξ2–1)√一般解：y(t)=C1er1t+C2er2t

ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。ξ＞1

ξ=1

ξ＜1

大阻尼

临界阻尼

小（弱）阻尼①、小(低、弱）阻尼情况方程的一般解为：令：ωr=ω√1-ξ2ri=ωξ±iωr引入初始条件：（13-27）（13-28）②、阻尼对振动的影响a、频率：ωr≈ω,ωr≦ω(Tr=2π/ωr≈T)∵ωr=ω√1-ξ2如ξ很小，计算ω时可不考虑阻尼的影响。如ξ＜0.2，则0.96＜ωr/ω＜1,即：ω’

≈ω注:建筑结构物ξ一般很小，约在0.01—0.1之间。

b、振幅：a·e-ξωt

阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结构停止振动。tyykyk+1a·e-ξωt

tkTrtk+1T’=2π/ωr因此：如果ξ＜0.2，则：≈1ωrω而：也可用yk

和yk+n表示两个相隔n个周期的振幅，可得：(13-29)当≈1ωrω（2）、临界阻尼（ξ=1）时的情况

y(t)=[y0(1+ωt)+v0t]e-ωt（15-34）

体系受干扰后，偏离平衡位置所积蓄的初始能量，在恢复到平衡位置过程中，全部消耗于克服阻尼的影响，无多余能量引起振动。这时的阻尼称为“临界阻尼”。这时的阻尼常数称为临界阻尼常数cr。由

c=2mωξ而ξ=1cr

=2mω=2√km(13-30)∴ξ=c/2mω=c/cr临界阻尼（ξ=1）时的情况tyoyoθotanθo=vo例：图示刚架，水平力FP=9.8kN，实测柱顶侧移y0=0.5cm。突然卸载，使结构发生水平振动（自由振动）测得T=1.50s，y1=0.4cm，求体系阻尼比ξ和阻尼常数c。FP解：EIEI=∞EIy0=0.5cmω=2π/T=2π/1.5=4.189s-1

c=ξ•2mω=0.035×2×111695×4.189=33220N•s/mm=k/ω2=196×104/(4.189)2=111695kgk=mω2k=FP/y0=(9.8×103)/0.005=196×104N/m三、有阻尼强迫振动微分方程：my(t)+cy(t)+ky(t)=FP(t)y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=FP(t)/m1、简谐荷载：

FP(t)=Fsinθty(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=F/msinθt讨论平稳振动:

y(t)=yPsin(θt-α)(13-35a)(13-36)动力系数：(13-35b)y(t)=yPsin(θt-α)(13-35a)式中：振幅:相位差:与无阻尼强迫振动相比,

有阻尼强迫振动有以下特点：（1）、θ＜＜ω，θ/ω→0，β→1。

由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力都很小,动力荷载主要由结构恢复力平衡.此时α→00,位移基本上与荷载同步。(y与FP同步)（2）、θ＞＞ω，θ/ω→∞，β很小。

体系振动很快，质点近似于作振幅很小的颤动。由于振动很快，因此惯性力很大，动力荷载主要由惯性力平衡。此时α→1800，位移与荷载反向。

（y与FP反向）（3）、θ≈ω，θ/ω→1，β增加很快,动力反应即振幅很大。

此时

α→900，位移y(t)落后于荷载FP(t)大约900，即：FP(t)最大时，y(t)很小，所以FI(t)和Fe(t)都很小。

此时,FP(t)主要由阻尼力FC(t)来平衡。θ在ω附近时，阻尼力FC(t)将起重大作用。动力系数明显受阻尼大小的影响。在0.75＜θ/ω＜1.25之间，阻尼将大大减小简谐强迫振动的位移幅值。

00.51.01.52.0θ/ω4.03.02.01.0βξ=1ξ=0.5ξ=0.2ξ=02、有阻尼一般动力荷载作用有阻尼体系（ξ＜1）承受一般动力荷载的作用，其反应可由杜哈梅积分求出。推导方法与无阻尼体系一致。零初始条件，体系总反应：

(13-31)小结：1、干扰力是否作用在质点运动方向上，在动力微分方程中只影响右端项。2、强迫振动

简谐荷载：无阻尼：有阻尼：

一般动力荷载：无阻尼：有阻尼：（3）、动力反应（动位移，动内力）的计算。动力设计应避免在共振区。共振区外可按无阻尼计算。共振区内必须考虑阻尼的影响。EI,lEI,lmmFPFPFP0FP0习题课：单自由度体系振动要求：1、掌握建立动力微分方程的方法。2、掌握单自由度体系自振频率，自振周期的计算方法。3、会进行结构在动力荷载作用下的动力反应（动位移，动内力等）的计算。习题1、求出下图所示结构（a）、（b）的自振频率，并比较。（要求列运动微分方程）lFPsinθtllFPsinθt注意两结构的变形曲线FPsinθtFPsinθt习题2：

试求图示结构的自振频率和自振周期。

列出质点的运动微分方程。

求当θ2/ω2=1/2时的振幅和弯矩。FP

sintEI=常数l2l2l11m习题3：试比较图示两结构的自振频率。设f为左图所示简支梁的柔度系数。右图中k=4/f。若在质点处作用有Psinθt，求两个结构中点位移幅值，并进行比较。设θ2=2ω2,ω为简支梁(a)的自振频率，ω2=1/mf

。FP

sintFP

sint习题4:试求图示结构的自振频率和自振周期。

列出质点的运动微分方程。EI=常数ml/2l/2Msinθt习题5：图示体系各杆EA=24kN，m=1000kg，求水平振动时的自振频率ωH，竖向振动时的自振频率ωV

。（说明：当不考虑杆AB的转动时，本题为两个自由度体系。在此，水平位移与竖向位移相互之间不耦连，故可分成两个单自由度体系振动问题）。习题6:习题4结构,AB杆跨中作用垂直向下的突加荷载FP(t)=30kN,求Nmax。FP(t)=30kNFP+FI0=60kNmm§13-5、多自由度体系的自由振动一、两个自由度体系的自由振动1、建立运动微分方程（1）、列位移方程(柔度法)：

在运动的某一瞬时t,列出质量m1，m2所在位置y1(t),y2(t)。即质点m1，m2的位移。即：质点m1，m2的位移y1(t),y2(t)，是在惯性力FI1(t),FI2(t)共同作用下所产生的“静力”位移。EI1EI2

mm体系平衡位置y1(t)y2(t)自由振动的任一时刻t，质量m1，m2的位移y1(t)、y2(t)，应当等于体系在当时的惯性力FI1(t),FI2(t)作用下所产生的静力位移。FI1(t)FI2(t)

列位移方程：

y1(t)=-m1ÿ1(t)δ11-m2ÿ2(t)δ12y2(t)=-m1ÿ1(t)δ21–m2ÿ2(t)δ22

(13-47)EI1EI2

mm体系平衡位置y1(t)y2(t)m1ÿ1(t)δ11+m2ÿ2(t)δ12+y1(t)=0m1ÿ1(t)δ21+m2ÿ2(t)δ22+y2(t)=0δij——在自由度j方向加单位力，沿自由度i方向产生的位移系数。（柔度系数）写成矩阵形式：[δ][M]{ÿ}+{y}={0}1δ11δ211δ12δ22y1(t)=-m1ÿ1(t)δ11-m2ÿ2(t)δ12y2(t)=-m1ÿ1(t)δ21–m2ÿ2(t)δ22（1）、列动力平衡方程(刚度法)：在运动的某一瞬时t，取质量m1，m2作为隔离体直接列出运动微分方程。FI1(t)r1r2FI2(t)惯性力FI1(t)，FI2(t)分别与位移y1，y2方向相反。

弹性力r1，r2分别与位移y1，y2方向相反。r1，r2是质量m1、m2与结构之间相互作用力。

FI1(t)+r1=0

FI2(t)+r2=0ri

的大小取决于结构的刚度。FI1(t)r1r2FI2(t)r1r2

r1=k11y1+k12y2

r2=k21y1+k22y2

kij—结点j发生单独的单位位移⊿j=1时，在结点i所需施加的力。（刚度系数）m1ÿ1(t)+k11y1(t)+k12y2(t)=0m2ÿ2(t)+k21y1(t)+k22y2(t)=0（13-38）写成矩阵形式：

k11k21k22k12[M]{ÿ}+[K]{y}={0}(a)

mi

——沿yi

运动方向的（所有）质量。也可不将质点分离，按第八章所述的位移法来处理。R1=0R2=0-m1

ÿ1(t)-m2

ÿ2(t)k11k21k22k12R1=k11y1(t)+k12y2(t)+m1

ÿ1(t)=0R2=k21y1(t)+k22y2(t)+m2

ÿ2(t)=0注：（1）、两个自由度的各种体系，自由振动的运动微分方程的形式完全相同。只是系数的值不同。（2）、比较两式，若：

[δ]-1[δ][M]{ÿ}+[δ]-1{y}={0}则：[M]{ÿ}+[δ]-1{y}={0}可知：[δ]-1=[K]

刚度矩阵与柔度矩阵互逆。2、两个自由度体系自由振动

的频率（周期）方程设二阶线性齐次微分方程组的特解为：

y1(t)=Y1sin(ωt+α)

y2(t)=Y2sin(ωt+α)

(a)

即：设所有质点按同一频率，同一相位作同步简谐振动。但各质点的振幅各不相同。

Y1，Y2—质点m1，m2的振幅，与初始条件有关，Y1/Y2=常数。运动微分方程k11y1(t)+k12y2(t)+m1ÿ1(t)=0k21y1(t)+k22y2(t)+m2ÿ2(t)=0ω

—体系自振频率。α

—初相角。

将特解代入公式（13-38），消去公因子。（13-39）称为自由振动基本方程。是幅值Y1，Y2的齐次线性方程。当Y1=Y2=0，对应于静止状态。若要的非零解，则上式中的系数行列式为零。（13-39）称为特征方程，或频率特征方程。展开：上式为ω2的二次方程，可解出：其中：ω1

＜

ω2

不为负数。基本频率

第二圆频率第一圆频率相应的：

T1=2π/ω1;T2=2π/ω2

由于D=0，方程（13-38）是线性相关的。因此，只可确定Y1，Y2的比值。即只能确定多自由度体系的振动形式，不能确定各质点的振幅值。多自由度体系的振型，就是多自由度体系相应于各自振频率的振动形式。3、主振型将ω1代入自由振动基本方程第一式：

第一振型：

将ω2代入自由振动基本方程第一式：第二振型：（13-40a）（13-40b）频率的数目与振动自由度的数目相同。主振型特点：（1）、两质点按同一自振频率ωi

振动，只同步振动。（2）、位移比（振幅比）为常数，振型（振动形式）不变。Y11Y21Y12Y22主振型即为体系按某一频率所作的简谐振动。第一振型可视为由惯性力幅值ω21m1Y11和ω21m2Y21所产生的静力位移。第二振型可视为由惯性力幅值ω22m1Y12和ω22m2Y22所产生的静力位移。ω12m1Y11ω1

2m2Y21Y11Y21ω22m1Y12ω22m2Y22Y12Y22由上述两种静力平衡状态应用功的互等定理：(ω12m1Y11)Y12

+(ω12m2Y21)Y22

=(ω22m1Y12)Y11

+(ω22m2Y22)Y21移项后,可得：(ω12

-ω22)(m1Y11

Y12

-m2Y21Y22)=0

如果

ω12≠ω22，则有：m1Y11

Y12-m2Y21

Y22

=0或写为：∑miYi(1)Yi(2)

=0i=12两个主振型之间的正交关系。主振型即为质点位移

y1(i)(t)=Y1(i)sin(ωit+α

i)y2(i)(t)=Y2(i)sin(ωit+α

i)

多自由度体系如果按某个主振型自由振动,由于振型保持不变,因此，这个多自由度体系实际上是象一个单自由度体系那样振动。发生主振动的条件：初位移和初速度应与主振型相对应。4、运动方程的一般解y1

(t)=A1Y11

sin(ω1t+α1)+A2Y12

sin(ω2t+α2)y2(t)=A1Y21

sin(ω1t+α1)+A2Y22

sin(ω2t+α2)

即为一般情况任意初始条件下的解。A1

，α1，A2，α2由初始条件定。在一般情况下，体系的自由振动不再是一个单一的简谐振动，而是由不同频率的简谐振动叠加而成的。归纳如下：（1）、在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。（2）、多自由度体系自振频率不止一个，其个数与自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。（3）、每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。（4）、与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度（柔度）系数及其质量的分布情形有关，而与外部荷载无关。

例:

求图示刚架水平振动时的自振频率和相应的主振型。m1m2k1k2y1y2解：1、计算刚度系数注：将刚度系数代入（13-39）k11=k1+k2k21=-k2

11k12=-k2k22=k2

（1）、当m1=m2=m,k1=k2=k

时(2k-ω2m)(k-ω2m)-k2=0解出：第一主振型：将ω1代入（13-40a）：第二主振型：将ω2代入（13-40b）振型示意图第一主振型第二主振型11.6181-0.618(2)、当m1=nm2,k1=nk2

时[(n+1)k2-ω2

nm2](k2-ω2

nm2)-k22=0主振型：当n=90时：m1=nm2m2k1=nk2k2注意：上部结构的质量和刚度很小时，结构顶部位移很大。建筑结构中，由于刚度突变，导致反响巨大，这种现象称为“鞭稍效应”。二、n个自由度体系m1mimkmn1kik参照（13-38）可写出动平衡方程k11y1(t)+k12y2(t)+…+k1n

yn(t)+m1ÿ1(t)=0k21y1(t)+k22y2(t)+…+k2n

yn(t)+m2ÿ2(t)=0………kn1y1(t)+kn2y2(t)+…+knnyn(t)+mnÿn(t)=0写成矩阵形式：[M]{ÿ}+[K]{y}={0}(13-43b)(13-43a)可缩写为：（13-43）的解，设：

{y}

={Y}sin(ωt+α)代入（13-43），消去公因子后，得自由振动基本方程：([K]-ω2[M]){Y}={0}(13-44)欲使{Y}有非零解，则必有：[K]-ω2[M]=0（13-45a）解此频率方程，可以求得n个频率。然后，,即可确定体系的振型。令：{Y(i)}表示与频率ωi相应的主振型向量：

把频率ωi和{Y(i)}代入式(13-44)([K]-ωi2[M]){Y(i)}={0}(13-46)令i=1，2，······，n，可得出n个向量方程，由此求出n个主振型向量{Y(1)}，{Y(2)}，······，{Y(n)}。每一个向量方程([K]-ωi2[M]){Y(i)}={0}均代表n个联立代数方程，以Y1i，Y2i，······

Yni

，为未知数。这是一组齐次方程，如果

Y1i，Y2i，······

YnI是方程组的解，则：CY1i，CY2i，······

CYni也是方程组的解。由（13-46）可以唯一地确定主振型{Y(i)}的形状，但不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：规定主振型{Y(i)}中的某个元素为某个给定值。例如规定第一个元素Y1i等于1，或规定最大的元素等于1。作法2：规定主振型{Y(i)}满足下式：{Y(i)}T[M]{Y(i)}=1还有其他作法。作法1：例:

(书例13-5)求图示体系的自振频率和主振型。

k,k/3,k/5

分别为一、二、三层的层刚度。解：（1）、自振频率20-50[K]=k/15-58-30-33200[M]=m010001K11=4k/3K21=-k/3K31=0K22=8k/15K12=-k/3K32=-k/5K33=k/5K23=-k/5K13=0由自由振动基本方程：

([K]–ω2[M]){Y}={0}其中，频率方程：[K]–ω2[M]=0令η=15mω2/k

20-2η-50-58-η-3=00-33-η展开:

2η3-42η2+225η

–225=0由试算法:

η1

=1.293η2

=6.680η3

=13.0272、主振型在此，规定主振型中的第三个元素Y3i=1

将η1代入自由振动基本方程：

([K]–ω2[M]){Y（1）}={0}

20-2η1-50Y110k/15-58-η1-3Y21=

00-33-η1Y310

17.414-50Y11

0k/15-56.707-3

Y21=

00-31.707

Y310保留后两个方程

-5Y11

+6.707Y21

-3Y31

=0

-3Y21+1.707Y31

=0由Y31=1将η2代入自由振动基本方程：

Y12-0.924

{Y(2)}=Y22=-1.227Y321.000

Y110.163

{Y(1)}=Y21

=0.569

Y311.000将η3代入自由振动基本方程：

Y132.760

{Y(3)}=Y23=-3.342

Y331.000画出三个主振型的大致形状；三、柔度法1、柔度法方程：y1(t)=-m1ÿ1(t)δ11-m2ÿ2(t)δ12y2(t)=-m1ÿ1(t)δ21–m2ÿ2(t)δ22

(13-47)即：设所有质点按同一频率，同一相位作同步简谐振动。但各质点的振幅各不相同。2、设二阶线性齐次微分方程组的特解为：

y1(t)=Y1sin(ωt+α)

y2(t)=Y2sin(ωt+α)(a)两个质点的惯性力为：将（a），（b）代入（13-47）消去公因子后，得：或：为了得到Y1、

Y2不全为零的解，应使系数行列式等于零，即：称为特征方程，或频率特征方程。展开：令：λ=1/ω2

λ2-(δ11m1+δ22m2)λ+m1m2

(δ11δ22-δ12δ21)=0

解得：（13-49）可以求得频率的两个值为：λ1＞λ2ω1＜ω2其中最小频率ω1称为第一频率或基本频率，而ω2称为第二频率。将ω1代入（c）第一式，有：将ω2代入（b）第一式，有：

主振型例:求图示体系的频率和主振型。EI=常数。l/3l/3l/3mmFP1=1FP2=12l/92l/9δ11=δ22=4l3/243EIδ12=δ21=7l3/486EI解：（1）（2）代入（13-49）得：

λ2=（δ11-δ22）m=486EI1ml3

λ1=（δ11+δ22）m=486EI15ml3求得两个自振圆频率：（3）求主振型。由（13-50）振型图：11第一振型：11第二振型：

可利用对称性求解:利用对称性求解,须先估计大致振型。对于对称结构，振型必分为正对称和反对称两类。如上题：δ11=15l3/486EIml/6l/31l/3δ22=l3/486EIml/6l/31l/93、n个自由度体系运动微分方程在运动的任一时刻t,作用在质点上的惯性力为FIi=-mi

ÿi,可列出位移方程。m1mimkmn-m1ÿ1

-miÿi-mkÿk

-mn

ÿn

y1=-m1ÿ1

δ11–m2ÿ2

δ12-…–miÿiδ1i-…–mnÿn

δ1n

y2=-m1ÿ1

δ21–m2ÿ2

δ22-…–miÿiδ2i-…–mnÿn

δ2n

yi=-m1ÿ1

δi1–m2ÿ2

δi2-…–miÿiδii-…–mnÿn

δin

………………yn=-m1ÿ1

δn1–m2ÿ2

δn2-…–miÿiδni-…–mnÿn

δnn

(a)可写成矩阵形式：可缩写为：[δ][M]{ÿ}+{y}={0}[δ]——称为柔度矩阵。由位移互等定理δik

=δki可知是一个对称方阵。

[M]——质量矩阵。在集中质量体系中，是一个对角矩阵。2、运动微分方程的解设特解为：

{Y}

={Y}sin(ωt+α)其中：{Y}=[Y1Y2…Yi…Yn]T

称为

幅值列向量将上式代入微分方程-ω2[δ][M]{Y}+{Y}={0}令：λ=1/ω2,得自由振动的基本方程。

（[δ][M]–λ[I]）{Y}={0}（13-51）上式为一个齐次线形代数方程组,欲使{Y}有非零解,则系数行列式必为零，即：D=[δ][M]–λ[I]=0 （13-52）展开式为：………(m1δ11-λ)m2δ12…

mnδ1n(m2δ22-λ)…m1δ21

mnδ2n(mnδnn-λ)…m1δn1m2δn2=0(13-52)

展开(13-52)式：

可解出n个正的实根:λ1、

λ2、

λ3、…λn。

求出n个频率：ω1、ω2、