角动量关于对称课件

角动量•关于对称性§5.1质点的角动量§5.2质点系的角动量定理和角动量守恒定律§5.3质点系对质心的角动量定理和守恒定律§5.4对称性•

对称性与守恒定律§5.5经典动力学的适用范围1§5.1质点的角动量（angularmomentumofaparticle）描述质点运动状态的物理量：考虑到：也可用描述质点的运动状态。但仅有这些参量还是不能完全描述质点的运动状态的，还需要另一个物理量－－角动量，才能完整的描述质点的运动状态。角动量及角动量守恒定律是本章的重点内容。2

LmO

pr

·一.质点的角动量

质点m对固定点O的角动量定义为：方向由右手法则确定，大小由下式确定：式中θ为矢径与质点动量之间夹角。3LR

m·O在直角坐标系下，角动量的分量式为：思考：4二.力矩FM

r·OQ

r0如图所示，力作用于物体上的Q点处，物体绕过O点的轴线可以转动，定义力对定点

O的力矩(momentofforce)

为：方向由右手法则确定。α为矢径与力之间夹角。称为力臂大小为：5若作用于物体上有则合外力的力矩等于作用于物体上各个力所产生力矩的矢量和。三、质点对参考点O的角动量定理由牛顿第二定律可知：两边同时左叉乘6所以有：即：---质点角动量定理7积分称冲量矩——力矩对时间的积累作用。质点角动量定理（微分形式）质点角动量定理（积分形式）或力矩是改变质点转动状态的原因。8——质点角动量守恒定律四、角动量守恒定律

（lawofconservationofangularmomentum）9

Om

F·Lα（中心力）r思考：小球m用细绳系于过O

点的轴线上，在光滑的水平面上绕O点作圆周运动，问：向下拉绳子后，情况如何？利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律。任一行星的位置矢量在相同时间内扫过相等的面积。

mo10解：在Δt时间内行星在万有引力的作用下沿椭圆形轨道绕太阳运动，矢经r扫过的面积为：则单位时间扫过的面积（面积速度）为：11在近日点和远日点处有，由角动量守恒定律有：则：由于12§5.2质点系角动量原理及角动量守恒定律则质点系的角动量为：一.质点系对参考点的角动量原理如图所示，质点系由n个质点组成。质量为：速度为：相对O点位置矢量为：每个质点的角动量为：13—质点系角动量定理于是有:则有：14——质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒和动量守恒是否相互独立？思考二.质点系对参考点的角动量守恒定律2.观察（芭蕾舞）冰上运动员的转动，并解释之。15例1：滑轮两边重物质量相同而处于平衡，有质量m’、处于高度h处的泥灰自由落下而粘于盘中。求：泥灰粘在盘上时盘获得的初速度。解：由泥灰、盘、重物构成质点系。外力为重力以及绳子的拉力，开始处于平衡状态，对O点的合力矩为零，但泥灰的重力对O点产生力矩；当泥灰16与盘子发生完全非弹性碰撞时，冲击内力远大于泥灰重力，可忽略泥灰重力。对碰撞过程应用对O点的角动量守恒定律：碰撞前系统的角动量：碰撞后系统的角动量：由角动量守恒定律有：17故碰撞后盘子的初速度为：例2：质量相同的A、B两人，从同一高度开始爬绳，忽略绳子、滑轮的质量。问：哪个先达到顶点？18解法1：应用角动量定理求解。由人、绳子、滑轮组成质点系，O为参考点。由角动量定理有：由于19若：则：即：不论两个人用力如何，任何一个人相对地面的加速度是大小相同的，只要开始的运动状态相同，最后必定同时达到。20解法2：应用角动量守恒定律求解。由于与两个力对O点所形成合力矩,则角动量守恒。因此有：两个人初始时刻的角动量为：0两个人任意时刻的角动量为：即：所以：两个人同时到达顶点。21说明：若由n个质点组成的质点系中，每个质点都在二维平面内运动，令Z轴是过O点且垂直于该平面的坐标轴，则可得到质点系对轴的角动量定理以及角动量守恒定律。22即：角动量定理角动量守恒定律将质点系的角动量定理以及角动量守恒定律的矢量表达式在Z轴上进行投影－－得到质点系对轴角动量定理以及角动量守恒定律。具体的方法是：23§5.3质点系对质心的角动量定理和守恒定律前面学习的相对于参考点或是相对于某轴的角动量定理和角动量守恒定律都是相对于惯性系而言的，如果不是惯性系，情况如何？惯性系质心系24质心系惯性系相对于时，必须考虑到“惯性力”的作用。以加速度运动，在质心坐标系中研究问题即：每个质点都受惯性力：在质心坐标系中，每个质点相对于质心的位置矢量为,由对参考点的角动量定理有：25－－合外力对质心c的力矩矢量和－－质点系对质心c的角动量由于质心坐标满足：26故对质心坐标系而言，则有：即：质点系对质心的角动量定理与惯性系中的角动量定理具有完全相同的形式。——质点系对质心的角动量守恒定律－－对质心的角动量定理27在电影、戏剧、跳水等项目中，经常会看到演员在空中翻筋斗的动作。翻筋斗过程可分解为质心的抛物线运动和相对于质心的转动。质心抛物线运动可用质心运动定理来处理，而相对于质心的转动则需要角动量定理或角动量守恒定律来处理。28§5.4对称性•

对称性与守恒定律自19世纪迈耶、焦耳、亥姆霍兹确立能量守恒定律以来，人们不仅为微分方程的降阶而欢欣鼓舞，物理学家们更是由此而有了许多新发现．1894年皮埃尔．居里由因果律首先提出了对称性原理，德国大数学家魏尔便奠定了守恒律与对称性的密切关系．人们逐渐认识到，对称性与守恒律是等价的，一个对称性原理伴随着一个守恒律．这就大大地激发了人们自觉地运用29对称性法则和与之相应的守恒律，去寻求物质结构更深层次的奥秘．本节内容主要介绍有关对称性的知识，并就机械能守恒律谈谈对称性．1、对称的有关慨念对称是一种美，对称性的概念最初源于生活，在艺术、建筑等领域中，所谓’对称”通常是指左右对称．魏尔定义：若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射对称或30双向对称的．又说，若某一图形围绕l轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对l轴的转动的对称性．

平面镜中的像与镜子前的物；

二维空间中的圆形；

三维空间中的球形；31将对称性的概念应用于物理学中，研究的对象不仅是图形，还有物理量和物理规律.为此我们必须先明确几个概念：系统－－我们所研究的对象；状态－－同一系统可以处在不同的状态，不同的状态可以是“等价”的，也可以是“不等价”的．32变换－－系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做“变换”，或者说“操作”．一个操作产生“相同”或“等价”的效果，就是不变性，不变性就是对称性．用对称性的语言来说，上述等价原理可写成下列公式：对称的原因

对称的结果33因此，广义地说，如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变．我们就说这系统对于这一操作是“对称的”，而这个操作叫做这系统的一个“对称操作”．最常见的对称操作是时空操作．空间操作有平移，转动，镜象反射，空间反演，标度变换（R度放大或缩小）等，时间操作有时间平移，时间反演等，伽里略变换是时空联合变换，此外还有置换，34规范变换，正反粒子共轭变换等等.例如，质点加速度是一物理量，伽里略变换可视为一操作，因为经伽里略变换后加速度保持不变，故质点加速度对伽里略变换具有对称性．然后，动量作为物理量经过伽里略变换后发生变化，即从不同参考系上观测到的动量不同，故动量对子伽里略变换不具备对称性．35不变性即对称性，究竞与守恒律有何关系？众所周知，在保守场中，机械能是守恒．我们曾经说成保守力作功与路径无关，只与始未位置有关；或者说成力沿闭合回路的线积分为零；依对称性的术语，该力学系统经过作功这一“操作”，状态（机械能）在此操作下不变，即该系统对于这一操作是“对称的”．362、守恒律与对称性在力学中我们所学习的守恒律有：机械能守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律。下面我们讨论在保守力作用下的力学系统的守恒定律与对称性之间的关系：①机械能对时间平移对称性与机械能守恒设一质点静止于坐标原点，另一质量为m、速度为v的质点位于x处，两者以保守力作用，显然系统内势能只与质点坐标x有关，37②机械能对空间坐标平移对称性与动量守恒于是我们得出机械能是常量，由此亦知机械能对时间平移具有对称性．设质点系以保守力作用，沿x轴运动且动量各为P1x和P2x，坐标为x1和x2的两质点，不受其他外力作用，系统动能是速度的函数，显然总机械能，将此对时间平移，即38不因坐标平移而改变，系统势能与两质点位置有关，因此，如果要使总机械能保持不变，就势必要求势能对空间坐标平移保持不变，即是虚位移，可取任意值，故39用与表示质点1和2受到作用力，由势能的定义可知，有下式成立：和于是：即：－动量守恒定律40③机械能对空间坐标系转动对称性与角动量守恒设一质点位于坐标原点且保持静止，另一质点m处于运动状态，且不再受其他力作用，若空间坐标系转过无穷小角－δθ相当于力学系沿反方向转过无穷小角位移δθ

，由于无穷小角位移是矢量，故：41若机械能对坐标系旋转具有不变性，则考虑到：所以：即：坐标系旋转而势能不变，表明质点m受到有心力的作用，势能仅是r的函数。42有心力对力心的力矩等于0，于是质点的角动量守恒。说明：以上的讨论仅涉及比较简单的情况，但结论对多质点的体系同样成立。严格的理论推倒将在“分析力学”、“群论”中详细介绍。在自然科学中同样也存在不对称，不守恒的

物理量。－－弱相互作用中“宇称不守恒”43对称的世界是美妙的，而世界的丰富多彩又常在于它不那么对称。有时对称性的某种破坏，哪怕是及其微小的破坏，也会带来某种微妙的结果……艺术和科学，都是对称与不对称的巧妙的组合。－－－李政道只有对称而没有它的破坏，看上去虽然很有规则但同时显得单调和呆板。只有基本对称而又不完全对称才构成美的建筑和图案，大自然正是这样的建筑师。－－－周光召444546474849现在，我们先来讨论物理科学中的对称性以及由它产生的美学艺术性。1、几何对称自然界到处都可以看到几何对称的物体。例如六角对称的雪花。有位物理学家曾经拍摄过一千多幅雪花的照片，它们形状各异而整体仍显示六角对称性。又如五角对称的海星星，体现各种对称性的天然宝石、水晶体、花瓣、蝴蝶、蜻蜓、蜜蜂、大象、金钱豹、老虎……

一、朴素的对称性505152535455人体本身就具有显著的几何对称性。双眼和双耳的左右排布使人对视听有立体感，并且能够准确判断光源和声源的位置。双腿的对称排布则使人便于直线行走（例如时装模特的“猫步”），有趣的是科幻电影中的外星人也往往具有左右对称的形体。在许多建筑、雕塑、绘画、音乐、舞蹈、体操、以及文学诗歌的艺术创作中，都融进了对称的观念和灵感。例如北京的天安门、故宫、天坛，巴黎的埃菲尔铁塔等建筑。又如巴赫（J.S.Bach）的小提琴二重奏曲CarbCanon，其中第一小提琴的旋律是第二提琴旋律的时间反演。56

苏东波的的著名回文诗，正念和倒过来念都是朗朗上口的漂亮诗文：潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。桥对寺门松迳小，巷当泉眼石波清。迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。57严格的几何对称结构，会给人一种良好的心境，安宁、平静、踏实、稳定。然而，不太对称的物体反而表现出某些新奇的特征，使得物体有种动态的美。例如，现代服装的各种不对称的新奇创意，更展示出独特的魅力和诱人的风格。又如现代建筑的许多非对称性造型设计（北京即将建成的“中国大剧院”采用了法国大师的独特设计）。各种海螺、蜗牛都具有左旋性，人体的蛋白质氨基酸也具有左旋性等等。时装；海螺；58596061622、阴阳对称阴阳对称是我国古代在巫术占卜和中医理论中十分重要的一种哲学思想。古代的《周易》集中反映了关于天文气象，阴阳对称又交互变化的朴素观念。并用以比拟人间祸福，形成了原始的宇宙生成观和对立统一的观点。“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”中的太极就像现代宇宙学的大爆炸奇点。而两仪就是指阴阳或天地。

李政道教授曾对我国科技大“少年班”的同学说：“我们中国古代的数学是很进步的。”并以八卦的二进制和8×8矩阵为例，说：“易经既有文学价值，又有数学价值。”63阴阳天沢火雷风水山地天地自然之图

古太极图64黑白二色，

代表阴阳两方，天地两部；

黑白两方的的界限

就是划分天地阴阳界的人部。

白中黑点

表示阳中有阴，

黑方白点

表示阴中有阳。65此外，阴阳对称性与物理学中微观粒子的波粒二象性、正反粒子性、以及计算科学中的二进制等特征有着神秘的对应。《易经》由阴阳对称性演化出万物的思想与莱布尼兹首先提出的二进制相对应。莱布尼兹曾从传教士F.J.Bouvet那里得到64卦次序图，他研究了二进制及其间的关系。1937年春，量子力学的创始人之一，著名丹麦物理学家玻尔（N.Bohr）到中国访问。他欣喜地发现，他当时的得意之作——互补原理（波粒二象互补），竟然在中国古代文明中找到了哲学思想的根基，这就是阴阳太极图。玻尔为自己设计了一枚独特的纹章，在椭圆形图案中心是绝妙的太极图。周易；玻尔663、五行对称五行最早的提法是《尚书·洪范》中箕子的话：“五行，一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土”。土为本，居中，四方为水、火、木、金，对称和谐。五行对称很有特征。五行与五方、五色、五气、五谷、五官、五脏、五味等等有着神秘的对应：67五行：水火木金土五方：北南东西中五色：黑赤青白黄五气：寒热风燥湿五谷：豆粳麦黍稻五官：耳舌目鼻口五脏：肾心肝肺脾五味之宜：辛酸甘咸苦68五味之禁：甘咸辛苦酸五料：姜醋蜜盐酒五情：恐喜怒忧思五性：智礼仁义信五音：羽征

角商宫五牲：猪羊犬鸡牛五星：辰星荧惑岁星太白镇星日干：壬癸丙丁甲乙庚辛戊己69更有趣的是，五个数，由下述方法可得自我循环的“五行系统”：按此方法，若第五数加1除以第四数应得第六数，但它正好等于第一数

a：形成循环。70所谓相除，就是相克，相除而得另一数，就是相生。正说明五行相克相生的规律。水克火，火克金，金克木，木克土，土克水。木生火，火生土，土生金，金生水，水生木。71二、科学的对称性

哪个图形更使人愉悦，更完美呢？圆.为什么这样呢？一个内含的原因就是：圆具有更高的对称性，因而更完美。观察平面上三个图形：72对称性的科学定义是：如果一个系统（几何图形、物理规律、物理量等）在某个“操作”（又称“变换”）下保持不变，就说这个系统相对该操作（变换）具有对称性。保持系统不变的变换，称为“对称变换”。对称变换越多，系统的对称性就越高。例如：圆形在绕其中心垂直轴旋转变换下是不变的，旋转任何角度都不变。而存在无穷多个角度，所以存在无穷多个对称变换。因此，圆的对称性最高。系统的对称性质由对称变换的集合来描述。对称变换的集合构成数学上的“对称变换群（Group）”。群的研究成为数学上的一个分支——群论。物理学中，常见的群大多是线性算符群、矩阵群等等。73如果我们把圆剪掉一个扇形角（如图），则其对称性就突然明显降低。如果物理学家面对两个理论，往往会觉得对称性更高的那一个理论更美些。当观察者是物理学家时，在360°范围内，从无穷多个对称变换，突然锐减为一个对称变换了。这就称为:对称性破缺

美意味着“对称”74物理规律的对称性与守恒律有紧密的关系。1918年德国伟大的数学家爱米·诺特女士提出了一个划时代的极其重要的定理——诺特定理：物理规律的每一种连续对称性一定对应着一个守恒定律.空间平移对称性对应于动量守恒；例如：物理规律的空间转动对称性导致角动量守恒；

时间平移对称性对应于能量守恒。三、对称性与守恒律75现代物理学前沿领域的许多研究课题都与对称性紧密相关。例如：正反物质的对称性问题；重子数不对称问题；统一场论；超对称性；超弦理论等。

杨振宁取得的三大重要成就都与对称性有关：（1）杨-米尔斯规范场理论；（2）弱作用中宇称不守恒理论；（3）杨-巴克斯特方程。世纪辉煌杨-李四、前沿物理学与对称性研究为什么在弱作用中，C、P、T的对称性都破缺了呢？对称性破缺的本质是什么？这仍然是个难解之谜。杨振宁说：“这恐怕不是10到20年之间可以解决的。”76从规范场论的发展，我们更看出对称性在物理学中的重要意义和物理学大师美妙的对称性思想：（1）爱因斯坦根据与能量守恒相联系的时空坐标变换的对称性，推出爱因斯坦引力场方程；（2）韦尔根据与电荷守恒相联系的阿贝尔规范对称性，推出麦克斯韦电磁场方程；（3）杨振宁根据与同位旋守恒相联系的非阿贝尔对称性，推出杨-米尔斯规范场方程。

物理学规律显现出多么优美、统一、和谐、对称的形式，实在是太妙了！77著名物理学家温伯格说：破缺的对称性更加美妙！最奇妙的是，可能还存在着许多更深层次的隐藏的对称性，强烈吸引我的是，仍然有新的对称性等待我们去发现。“对称性观念是一个非常重要的主题，它占据了当今理论物理学的中心舞台。”杨振宁说：78物理学是最质朴最实在的科学，又是最神秘最深奥的科学。物理学是最严谨最脚踏实地的学问，又是最神奇最高深莫测的艺术。它像一幅山水画，一首抒情诗，一曲交响乐，一尊维纳斯雕像。有时，他像达·芬奇的“蒙娜丽莎”那样神秘典雅，有时又像罗丹的“思想者”那样冷峻深沉。物理学魅力无穷，物理学处处都显示出美。五、由对称性产生的美学艺术性美术63；美学封面杨振宁在北京大学作的“美与物理学”演讲中说：“牛顿的运动方程、麦克斯韦方程、爱因斯坦的狭义和广义相对论方程、狄拉克方程、海森伯方程是造物者的诗篇。它们的极度浓缩性和它们的包罗万象的特点也许可以用W.Blake

的不朽名句来描述：79

Toseeaworldinagrainofsand,Andaheaveninaworldflower,Holdinfinityinthepalmofyourhand,Andeternityinanhour.他们的巨大影响也许可以用A.Pope的名句来描述：

Natureandnature’slawlayhidinnight:Godsaid,letNewtonbe!Andallwaslight.可是这些都不够，都不能全面地道出学物理的人面对这些方程的美的感受。缺少的似乎是一种庄严美，一种神圣感，一种初窥宇宙奥秘的畏惧感。80我想缺少的恐怕正是筹建歌德式教堂的建筑师们所要歌颂的崇高美、灵魂美、宗教美、最终极的美。”除了杨振宁所说的各种方程外，又例如惯性和惯性定律、开普勒行星运动三定律、万有引力定律、费马原理、最小作用量原理、哈密顿原理、最小能量原理、光速不变原理、广义相对性原理、拉普拉斯方程、杨-巴克斯特方程、杨-米尔斯规范场理论、弱电统一理论、热大爆炸宇宙模型、超对称理论、超引力理论、超弦理论、超膜理论、反物质和暗物质理论、霍金的黑洞辐射理论和无边界量子宇宙理论等等