新课标高中数学必修二第四章圆与方程-经典例题-【含答案】

精选新课标高中数学必修二第

四章圆与方程-经典例题-【含答

案】

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习题精选精讲圆标准方程

圆心C(a,b)和半径r,即得圆的标准方程(X—。)2+(y—/?)2=r2；圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,即得圆心。(a,b)

和半径r,进而可解得与圆有关的任何问题.

一、求圆的方程

例1(06重庆卷文)以点(2,—1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为()

(A)(x—2)~+(y+1)~=3(B)(x+2)~+(y—1)_=3

(C)(尤一2)2+0+1)2=9(D)(X+2)2+(y-l)2=9

|6+4+5|,,

解圆心为(2,—1),且由题意知线心距等于圆半径，即“=!•,'=3=厂，.•.所求的圆方程为(龙一+(旷+1)-=9,应

A/32+42

选(C).

点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程(x-a)?+(y一与2=/即得圆的方程.

二、位置关系问题

例2(06安徽卷文)直线x+y=1与圆+y2—2a>=0(a>())没有公共点，那么a的取值范围是()

(A)(0,V2—1)(B)(V2—1,5/2+1)

(C)(―V2—1,A/2+1)(D)(0,V2+1)

解化为标准方程—+(>—a)2=。2,即得圆心C(0,q)和半径r=4.

•.•直线x+y=1与圆没有公共点，.•.线心距a>r=a,平方去分母得a之-2a+1>2<?,解得一行一1<a<A/2—1,

注意到a>0,...OvacJE-l,应选(A).

点评：一般通过比拟线心距，/与圆半径r的大小来处理直线与圆的位置关系：”>ro线圆相离；"=厂=线圆相切；d<ro线

圆相交.

三'切线问题

例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆x?-4%+2丁+：=0相切的直线方程为()

(A)y=_3x或y=§x(B)y=3x或y=一§x

(c)y=-3%或y=-;x(D),=3%或>=；》

解化为标准方程(x-2)2+(y+l)2=3，即得圆心以2,-1)和半径r=祗.

\2k+11fs

设过坐标原点的切线方程为y=即=二线心距d=乙..』=r=、一，平方去分母得(3左一1)(4+3)=0,解得

扬+i)2

左=-3或g,.•.所求的切线方程为y=—3x或y=；x,应选(A).

点评：一般通过线心距”与圆半径r相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.

四、弦长问题

例4(06天津卷理)设直线ax-y+3=0与圆(x—+(>-2尸=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2月，那么a=—.

解由圆(龙一1产+(y—2)2=4,即得圆心。(1,2)和半径厂=2.

•.•线心距d=?+”,且”2+(竺了=户,(?+]>+(V3)2=22,即(a+=/+1,解得=o.

J/+i2加+i

2

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点评：一般在线心距1、弦长A8的一半和圆半径r所组成的直角三角形中处理弦长问题：J2+(——)2=/.

2

五、夹角问题

例5(06全国卷一文)从圆x2-2x+y2-2y+l=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，那么两切线夹角的余弦值为()

13V3

(A)-(B)-(C)—(D)0

252

解圆化为。一1)2+(y-l)2=1,即得圆心C(l,l)和半径r=l.

Q2

设由P(3,2)向这个圆作的两条切线的夹角为8,那么在切线长半径r和|pq构成的直角三角形中，cos—=〒，

2-75

903

cos6=2cos—1=—,应选（B）.

25

点评：处理两切线夹角。问题的方法是：先在切线长、半径，•和|尸。所构成的直角三角形中求得5的三角函数值，再用二倍角公式解决

夹角。问题.

六、圆心角问题

例6(06全国卷二)过点(1,J5)的直线/将圆(》-2)2+:/=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线/的斜率左=_.

解由圆(X-2尸+/=4,即得圆心。(2,0)和半径尸=2.

设p(i,正)，那么上比=-Vi；...pc,直线/时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，，直线/的斜率左=一一—.

kpc2

点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，假设圆心角最小那么其所对的弧长与弦长也最短，假设弧长

与弦长最短那么所对的圆心角也最小.

七、最值问题

例7(06湖南卷文)圆+y2—4x—4y—10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()

(A)30(B)18(C)6A/2(D)5A/2

解圆化为(x—2)2+(y—2)2=18,即得圆心C(2,2)和半径/•=3JL

设线心距为d,那么圆上的点到直线x+y—14=0的最大距离为d+r,最小距离为d—r,...(d+r)-m-r)=2r=6j5,

应选(C).

点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距”与圆半径/•的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为d+r,最小距离

为d-r.

八、综合问题

例8(06湖南卷理)假设圆工2+丁2—4x—410=0上至少有三个不同的点到直线/:ar+勿=()的距离为2近，那么直线/的

倾斜角的取值范围是()

(A)春勺/吟，黑(。£,刍(D)[0，g]

1241212o32

解圆化为(x-2)2+(y-2)2=18,即得圆心C(2,2)和半径r=3JL

•.•圆上至少有三个不同的点到直线I:ax+by=0的距离为2J5，:.d=<r-2V2=V2,即。2+4。8+匕24o,

a2+b2

由直线/的斜率左=一@代入得Z2—4左+140,解得2—+石，又tan±=2-J5,tan?=2+.•.直线/的

b1212

乃5TT

倾斜角的取值范围是[五,，应选(B).

点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距〃的七字歌得到正确而迅速地解决.

3

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圆的方程

1.确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.

(1)圆的标准方程：(X—a)2+(y—b)2==2,其中(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径；

DE^D2+E2-4F

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx4-Ey4-F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为(—,——),半径为r=

222

2.直线与圆的位置关系的判定方法.

(1)法一：直线：Ax+By+C=O;圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

%>00相交

::+y^Dx+EyF=0甄-元二次方程

+A=0O相切

△<0O相离

d<rO相交

\A.u+Bb+c\

(2)法二：直线：Ax+By+C=0；0|：(x—a)2+(y—6)2=1^,圆心(a,b)到直线的距离为d=----.-—f■d=rU>相切.

^IA2+B2

d>r=相离

3.两圆的位置关系的判定方法.

设两圆圆心分别为O1、02,半径分别为ri、rz,IO1O2I为圆心距，那么两圆位置关系如下：

I0102I>门+=2=两圆外离；

I0102I=门+门=两圆外切；

IFl—F2I<IO1O2|<门+[2=两圆相交；

IO1O1I=In—F2I=两圆内切；

0<IO1O2I<Iri—F2I。两圆内含.

・点击双基

L方程好+/一2(什3)x+2(1-4产)产16心9=0(f£R)表示圆方程，那么f的取值范围是

111

A.-l</<-DA<t<2

727

解析：由O2+0-4QO,得，2_6LkO,即一！《1.答案：C

7

2.点尸(5«+b12a)在圆(x-1)2+y=1的内部，那么。的取值范围是

A・IaIV1B.aV—C.IaIV—DIaIV—

13513

解析：点尸在圆(X—1)2+y=l内部。(5fl+l-l)2+(12a)2<1<=>laiV-U答案：D

13

2

3.圆的方程为(x-a)+(y-b)2=/(r>0),以下结论错误的选项是

A.当标+从=3时，圆必过原点B.当。=r时，圆与y轴相切

C.当力=/•时，圆与x轴相切D.当》vr时，圆与x轴相交

解析：圆的圆心坐标为(a,b),半径为心当•时，圆心到x轴的距离为网，只有当步|"时，才有圆与工轴相交，而板:，不能保证族|vr,

故。是错误的.应选0.答案：D

•典例剖析

【例2】一圆与)，轴相切，圆心在直线x-3y=。上，且直线产x截圆所得弦长为2J7,求此圆的方程.

剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.

解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x—3y=0上，故设圆方程为(x—3。)2+(y—))2=9b2,

又因为直线产X截圆得弦长为2J7,那么有(2(77)2="2,解得方=土1.故所求圆方程为

“y+

(X—3)2+(j—1)2=9或(x+3)2+(j+1)2=9.

夯实根底

L方程/+丁2+5+3+尸=。(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，那么

A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.。+£+户=0

解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A

4

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2.（2023年全国II,8）在坐标平面内，与点4（1,2）距离为1,且与点8（3,1）距离为2的直线共有

A.1条B.2条C.3条0.4条

解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B

3.（2023年黄冈市调研题）圆6y+3=0上两点P、。关于直线Ax—y+4=0对称，那么％=___________.

解析：圆心（-'g,3）在直线上，代入*x—y+4=0,得*=2.答案：2

4.（2023年全国卷0,16）设P为圆F+y2=i上的动点，那么点P到直线”一4y~10=0的距离的最小值为.

解析：圆心（0,0）到直线3x—4y—10=0的距离~=2.再由d—『2-1=1,知最小距离为1.答案：1

5.（2023年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线X2+/+2X-6J+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称，又满足而•OQ=0.

（1）求，”的值；（2）求直线PQ的方程.

解：（1）曲线方程为（*+1）2+3）2=9表示圆心为（一1,3）,半径为3的圆.

•.■点P、Q在圆上且关于直线x+/ny+4=0对称，二圆心（一1,3）在直线上.代入得，”=-1.

（2）..,直线PQ与直线y=x+4垂直，

；・设尸（xi,yi）、Q（X2,J2）,尸。方程为产一x+b.将直线产一x+6代入圆方程，得2f+2（4—/＞）x+b2-6b+l=0.

4=4（4—b）2—4X2X（b2—6b+l）＞0,得2—3幼＜2+3.由韦达定理得xi+X2=—（4—5）,x\,X2=——竺±1.

ji•yi=b2—b(X1+X2)+x1•X2------------------OP•OQ=0,/.xiX2+jij2=0,即/—6b+l+48=0.

2一

解得b=l£(2—3^2,2+3V2).二所求的直线方程为y=-x+L

培养能力

7.实数x、y满足方程好+产―4x+l=0.求（1））的最大值和最小值；（2）y—x的最小值;

X

（3）/+产的最大值和最小值.

解：（1）如图，方程/+/2—以+1=0表示以点（2,0）为圆心，以百为半径的圆.

设上=公即严床，由圆心（2,0）到户A*的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由隼』=百，

X—2+1

解得左2=3.所以Armax=V3,kmin=—^3.

（2）设丫一产瓦那么产x+瓦仅当直线产x+8与圆切于第四象限时，纵轴截距，，取最小值.由点到直线的距离公式，得|2一”丝当,

V2

即b=—2±V6,故（y—x）min=-2—y[6.

（3）F+必是圆上点与原点距离之平方，故连结OC,与圆交于B点，并延长交圆于C',那么（x"y2）mas=|oCI=2+百，（*z+y2）min=|

OBI=2一技

8.（文）求过两点4（1,4）、B（3,2）,且圆心在直线），=0上的圆的标准方程.并判断点Mt（2,3）,Mi（2,4）与圆的位置关系.

解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.

4-2

因为圆过4、8两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由心片-----=-1,AB的中点为（2,3）,

1-3

故AB的垂直平分线的方程为y—3=x—2,即x—y+l=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组

户一y+l=0,

r°」的解目n[MI心巫踪

瘁径—1）2+（0-4）2=而，所以得所求圆的标准方程为（X+1）2+产=20.

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因为Mi到圆心C(-1,0)的距离为J(2+l)2+(3-00,附c|<r,所以M在圆C内；而点Mi到圆心C的距离

\MzC\=7(2+1)2+(4-0)2=后>病，所以粉在圆C外.

“求经过两圆x2+y2+6x—4=0和》2+>2+6旷-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=()上的圆的方程。"同学们普遍使用

下面两种方法求解：

方法一：先求出两圆交点4(一1,3),42(—6,—2),再设圆心坐标为3s+4])，根据总理=同2却=l，可求出圆心坐标及半径r,

于是可得所求圆方程。

方法二：先求出两圆交点A(—1,3),人2(—6,—2),再设所求圆的方程为：X2+/+女+4+/=0,其圆心为(一?,一亨)，代入

X-y-4=0,再将Al,A?两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方

程。

但是如果我们利用“过两圆交点的圆系"的方法求解，可以更加方便。

经过两圆的交点的圆系

22

设圆Cl与C2的方程为：Cl：x+y+D[x+Eiy+Ft=0

C2：x~+y~+D,x+E、y+F2—0.

并且两圆相交于两点。引进一个参数九，并令：

x~+y~+D]X+gy+4+2(x~++D-,x+E、y+F2)=0----0其中4工-1。

引进两个参数4和九2,并令：

4(厂+y~+£)|X+gy+片)+4(x~++D->x+E2y+乃)=0---②其中4+4工0

不管参数取何值，方程①与②中的；2项和y2项的系数相等，%程没看xy项，而且两圆的两个企点的坐标适合方程①与②，所以①与②都

是经过两圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同：

(1)当；1=0时，方程①的曲线就是圆C1；不管4为何值，方程①的曲线都不会是圆C2.所以方程①表示经过两圆的交点的一切圆，包括

圆G在内，但不包括圆C2。

(2)当4=0时，方程②的曲线就是圆Cz;当4=0时，方程②的曲线就是圆

Cu所以方程②表示经过两圆的交点的一切圆，包括圆G和圆Cz在内。

下面应用圆系来解本文前面的问题：

设经过两圆的交点的圆的方程为：

33A

x~+y~+6x—4+A(x~+y+6y—28)=0.(A-1)那么其圆心坐标为(------,--------)

1+21+2

33/1

•:所求圆的圆心在直线x-y—4=0上；.------+-------4=0,解得/1=-7

1+21+A

所求圆的方程为：x~+y~+6x—4—7(x~+y~+6y—28)=0即：x~+y~—x+7y—32=0

下面再举两例说明圆系的应用

例1.求经过两圆：X2+'2-4》一6=0和》2+丫2-4>一6=0的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。

解：设经过两圆交点的圆系的方程为：

x2+y2-4x-6+A(x2+/-4y-6)=0(2*-1)

221

其圆心的横坐标为：x=——，令------3得2=一一

1+21+A3

/.所求圆的方程为：X2x2+y2-6x+2y-6=0

例2.设圆方程为:

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(A+4)x2+(2+4)y2+(22+4)x+(122+4O)y-48A-164=0其中力工一4

求证：不管尤为何值，所给圆必经过两个定点。

证明：把所给方程写为：4(x2+y2+x+10y-41)+2(x2+/+2x+12y-48)=0

这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：

x2+y2+Jc+10v-41=0.

,,所以，不管；I为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点

x2+y2+2x+12y-48=0

直线与圆的位置关系

二、例题选析

例1：求由以下条件所决定圆+；/=4的圆的切线方程；

⑴经过点尸(万1),(2)经过点Q(3,0),(3)斜率为一1

解：⑴•••(内产+产=4.•.点P(、反1)在圆上，故所求切线方程为J3x+y=4。

(2)v32+02>4.•.点Q在圆外。

设切线方程为y=k(x-3)即kx-y—3Z=()

|一3左|2r

1

•.,直线与圆相切，.•.圆心到直线的距离等于半径，/--I--=2,.•.4=±—，5

\+k25

...所求切线方程为y=±2百(X—3)。

(3)设圆的切线方程为y=-x+Z?,代入圆的方程。整理得，—2法+匕2-4=0,•.•直线与圆相切

A=(-2b)2—4x2(6?-4)=0,解得b—±2^/2.

...所求切线方程为x+y±272=0.

小结：利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。

例2：点P(xo，y())在圆”?+y2+。丫+或+尸=0的外部，过P作圆的切线，切点为M,求证

1PM="4+y；+DXq+£>o+F.

£)E

证明：如图7-53T,圆心C(---,---)»

22

7

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半径|。河|=（，£>2+后2-4万,

\CP\=J（X0+/）2+（M）+

由勾股定理得

\PM\=yl\CP\2-\CM\2

E、22

Y（/+万D）2+（,>。+万E）.D+E4-4F

=4x；+y：+£>/+E%+F

8

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小结：（1）此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。

⑵以|CP|为直径的圆与圆C相交于A/、N两点,那么M、N为切点。假设圆C的方程为X?+y2=产，那么两切点连线所在的直线

方程为XoX+y（）y=r.

例3：从圆外一点P（。力）向圆X?+y2=厂2引割线，交该圆于A、B两点，求弦的中点轨迹方程。

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解：如图7-53-2,设A8的中点,

连接OA7,OM=(x,y),PM=(x-a,y-b),

:.OM~PM=Ot

即(%,y)(x-a,y-b)=O

:.x(x-a)+y(y-h)=O

Ax2+y2-ax-by=0,(-r<x<r)

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小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联立方程组，由韦达定理建立中点

坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。

备选例题：

例4•:对于圆+（了-1）2=1上任意一点p（x,y）,不等式x+y+m2（）恒成立，求实数团的取值范围。

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解一：作直线/：y=-x,

如图：7-53-3

向下平移与圆相切和相离时有

x+y+，"2O恒成立，

由点到直线的距离公式

l1+mkj

得<Q-=>722>V2-1«

m>0

轴对称

轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题,而且还可以解决诸如最值、光线反射、

角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。

例1、点A(4,1),B(0,4),在直线L：y=3x-l上找一点P,求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。

分析：此题的常规方法是：(1)设点(2)列出相应的函数关系式(3)求解.

但此题假设这样做，那么就会走入死胡同。假设巧妙利用轴对称的知识那么可以轻松解决。

解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，那么

直线BC的方程为：y=--x+4,将其与直线y=3x-l联立，解得：D，其中D为BC

3

中点，利用中点坐标公式，得C(3,3)。

显然：|PAHPB|=|PAHPC|W|AC|,当且仅当A、c、p三点共线时，IPAHPBI最大。可求得：

直线AC方程为：2x+y-9=0,与L方程联立解得P的坐标为(2,5)。

例2、光线由点C(3,3)出发射到直线L：y=3x-l上，其被直线L反射后经过点A(4,1),求反

射光线方程。

解：设点B是点C关于L的对称点，那么由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，

故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。

由例1知点C关于L的对称点为B(0,4),

3

故直线AB的方程易求得为：y=一—X+4。它即为反射光线方程■

4

例3、AABC的顶点A的坐标为(1,4),NB、NC的平分线的分别方程为x-2y=0和

x+y-l=Q,求BC所在的直线方程。

分析：此题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，假设能注意到角平

分线的有关性质，那么可简捷求解。

解：设NB、NC的平分线分别为L、k,那么由角平分线的知识可知：AB与CB关于L对称，AC

与BC关于L2对称，故点A关于L、L的对称点Al、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A人所在的直线方程。

198

利用对称性可求得：A(二,一小,4(-3,0)(过程略)

于是BC方程可求得为：4x+17y+12=0

直线和圆

1.自点(-3,3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆X?+：/一4%-4)，+7=0相切，求光线L所在直

线方程.

解:圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)?=L它关于x轴的对称圆的方程是(x-2>+(y+2)2=l。

设光线L所在直线方程是：y-3=k(x+3)。

由题设知对称圆的圆心C'(2,-2)到这条直线的距离等于1,即d=单受J=1.

整理得I2k~+25^+12=0,解得k―――或左———.故所求的直线方程是y—3=—+3),或y—3=—+3),

即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.

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2.圆c：x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点，假设存在求出直

线L的方程，假设不存在说明理由.（14分）

.解：圆（：化成标准方程为:。-1）2+（丫+2）2=32假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为（a,b）

由于CM_LL,.*.kcM-kL=-'1kc“=4+2=〔，即a+b+l=0,得b=—a—1①

a-\

〃以

直线L的方程为y-b=x——，即x-y+b-«=0CM=-a+3|•.♦AB为直径的圆M过原点，|肠4|=|加4=|。加|

~JT

\MB\2=\CB\2-\CM\2=9_（1；+3）-,削/=/+/

：t9_（b--a+yf=a2+b2②把①代入②得2/-“-3=0,3=3或a=_]

22

当4=3时人=_9此时直线L的方程为：X—y—4=0；当。=一1,时/?=0此时直线L的方程为：X—y+l=0

2'2

故这样的直线L是存在的，方程为x—y—4=0或x—y+l=0.

3.（12分）求过点P（6,-4）且被圆/+=2。截得长为6a的弦所在的直线方程.

解：设弦所在的直线方程为y+4=A（x-6）,即依一y-6左一4=0①

那么圆心（0,0）到此直线的距离为〃=回土”.

\Jl+k2

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rta,

所以（君为+（3夜）2=20.

Jl+产

由此解得k=----或k——1.

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代入①得切线方程_2_X_、,_6乂（_工）_4=0或

1717

-%—y—6x（—1）—4=0,即7x+17y+26=0或x+y—2=0.

4.（12分）圆C：（x—1）2+（y—2『=25及直线/:（2根+l）x+（〃?+l）y=7m+4.（〃？eR）

（1）证明:不管机取什么实数，直线/与圆C恒相交；

（2）求直线/与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线/的方程.

.解:⑴直线方程/:（2机+1卜+（m+l）y=7m+4,可以改写为M2x+y-7）+x+y-4=0,所以直线必经过直线

2x+y-7=0和x+y-4=0的交点.由方程组2'+解得尸土即两直线的交点为A（3,1）又因为点A（3,1）与圆心C（l,2）

+y-4=0[y=1

的距离J=V5<5，所以该点在C内,故不管m取什么实数，直线/与圆C恒相交.

（2）连接AC,过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D.BD为直线被圆所截得的最短弦长.此

时,|AC|=V5,|BC|=5,所以忸。|=2,25-5=475.即最短弦长为475.

又直线AC的斜率kAC=-p所以直线BD的斜率为2.此时直线方程为：y-1=2（x-3）即2x-y-5=0.

5（12分）圆f+V+x—6y+帆=0和直线工+2y—3=0交于尸、。两点，且以P。为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值.

2M+%=4

4-y+x-6y+/72=0.2”八

解：由,

=5)—20y+12+m=012+

x+2y-3=0y%二^—

又OPJ_OQ,Ax/X2+j/j2=0,MX1X2=9—6(y/+j2)+4j/j2=427

5

.4771-2712+m钮殂

，・------------+-----------=0解得"片3・

55

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6.圆C：6+4尸+尸=4和点人（-26，0）,圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N.ZMAN是否为定值?

假设为定值，求出NMAN的弧度数；假设不为定值，说明理由.

【解】设圆D的方程为，+（y一份2=/（厂>0）,那么M（0,b+r）,N（0,0-r）.

因为圆D与圆c外切，所以2+r=J16+/2=*_户=4r-12.

b+r_b-r

又直线MAN4的斜率分别为k

MA而‘2而.

b+rb-r

.-.tanNMAN=2=收=誓=百=/如吟为定值

.b+rb-r12+/?--r

2732V3

7.（14分）圆F+y2+x-6y+加=0和直线x+2y-3=O交于P、。两点，且OP^OQ（0为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径

长.

解：将x=3—2y代入方程f+y2+x-6y+加=0,得5y?-20y+12+m=0.

设p（玉，yj,（?（%,%），那么X，为满足条件：X+%=4,.%=.

vOP_LOQ,；.%也+X%=°，而玉=3-2）］,x2=3-2y2,玉/=9—6（y+必）+4yly

Am=3,此时A>0,圆心坐标为（一［，3）,半径厂=*.

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8.（14分）求圆心在直线x+y=0上，且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x?+y2+21+2