甘肃省武威市凉州区武威第十六中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

2023-2024学年第一学期甘肃省武威市凉州区九年级数学期末试卷（二）一、选择题(共30分)1．中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．点关于原点对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（

）A． B．C． D．4．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（）A． B．C． D．5．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）A．1或－1 B．1 C．－1 D．06．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是（

）

A． B．C． D．8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，Q是优弧上一点，若∠APB＝40°，则∠AQB的度数是（）A．50° B．70° C．80° D．85°9．已知，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O的（）A．外部 B．内部 C．圆上 D．不能确定10．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（）A． B． C． D．二、填空题(共24分)11．任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为．12．设、是方程的两个根，则．13．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．14．抛物线与轴的交点坐标是．15．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是．16．二次函数的图象如图所示，则关于的方程的一根为，则另一根．17．扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于cm2．18．如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作于．已知，则的长为．三、解方程(共8分)19．解方程：(1)；(2)．四、作图题(共8分)20．如图，在斗面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形；

(1)与关于原点对称，画出，写出的坐标；(2)以为旋转中心将顺时针旋转得到，画出；(3)直接写出点旋转到所经过的路径的长度．五、解答题(共52分)21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程有一个根为2，求方程的另一根．22．已知抛物线的顶点坐标为，求抛物线与轴的交点坐标．23．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？24．如图，内接于半圆是直径，点是的中点，连接，，分别交于点．(1)求证：；(2)若，求的长．25．一个不透明的盒子中装有两个白色乒乓球和一个黄色乒乓球，它们只有颜色的不同，甲、乙两人玩摸球游戏，每次只能摸出一个球．规则如下：甲摸一次，摸到黄乒乓球，得1分，否则得0分；乙摸两次，先摸出1个球，放回后，再摸出1个球，如果两次摸到的都是白色乒乓球，则得1分，否则不得分，得分多者获胜，如果平分，则再来一次，问此游戏是否公平，并请通过计算说明理由．26．如图，在中，，，D是边上的一点，以为直径的交边于点E，若，求的长（结果保留π）．27．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值；(3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析

1．B【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B.是中心对称图形，故该选项符合题意；C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．2．B【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标之间的关系．根据关于原点的对称的两点，横、纵坐标都互为相反数即可求解．【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，故选：B．3．D【分析】将方程整理为一般式即可．【详解】解：，，即．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为是解题的关键．4．D【分析】本题考查了根与系数关系定理，根据定理逐一计算判断即可．【详解】A.的两根之和为，不符合题意；

B.的两根之和为0，不符合题意；

C.的两根之和为，不符合题意；

D.的两根之和为2，符合题意；

故选D．5．C【分析】将（0,0）代入求出a的值，因为二次函数二次项系数不能为0，排除一个a的值即可.【详解】将（0,0）代入y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1，得a=±1，∵a≠1，∴a=-1.【点睛】本题考查二次函数求常数项，解题的关键是将已知二次函数过的点代入，注意二次函数二次项系数不能为0.6．A【分析】由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．7．D【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．【详解】解：设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2），则y关于x的函数表达式是：，故选：D．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键．8．B【分析】连接OA，OB，由切线的性质可知，从而可求出，再根据圆周角定理即可求出．【详解】如图，连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴．∵，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查切线的性质，四边形的内角和以及圆周角定理．连接常用的辅助线是解题关键．9．B【分析】直接根据点与圆的位置关系判断方法判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，∴点P在圆内．故选B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．10．D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况，∴两次摸出红球的概率为.故答案为D.【点睛】本题考查列表法与树状图法．11．0.24【分析】先根据“频率=”分别计算出几次试验杯口朝上的频率；再根据“当试验次数足够大时，试验频率稳定于理论概率”用频率估计概率即可．【详解】∵任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次，∴这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为．故答案为：0.24．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．12．3【分析】利用根与系数的关系即可求解．【详解】解：在中，，，、是方程的两个根，，故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系：熟记、是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．13．且【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，，解得且．故答案为：且．14．【分析】利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标．【详解】解：当x=0时，y=x2+2=2，所以抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为（0，2）．故答案为（0，2）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．15．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程y＝x2+2x+m有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△>0可求出m的取值范围，此题得解．【详解】∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程y＝x2+2x+m有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=2−4m>0，∴m<1.∴m<1且m≠0.故答案为m＜1且m≠0【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键是利用根的判别式△>0求出m的取值范围.16．【分析】本题考查抛物线与轴的交点坐标，抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点为，则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，即可求解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点坐标为，则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，则关于的一元二次方程的解为或，故答案为：．17．18π【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式：S=计算即可.【详解】设扇形的半径为r，由题意：4π=，解得r=9（cm）．S===18π（cm）2故答案为18π．【点睛】本题考查弧长公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是记住公式，属于中考常考题型．18．##【分析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，勾股定理．根据直径所对的圆周角为90度可得，可证得，进而可得，求出，再根据勾股定理即可求出的长．【详解】解：为直径，点恰好在半圆上，，，，，，，，，，故答案为：．19．(1)，；(2)x1＝，．【分析】（）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（）利用因式分解法求解．【详解】（1）∵，∴，则，即，∴或，解得，；（2），，∴或，∴，．【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程常用的方法：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法及根据方程的特点灵活选择简便的方法．20．(1)(2)图形见解析(3)【分析】本题考查的是画中心对称图形，画旋转图形，求解弧长，掌握旋转的性质并进行画图是解本题的关键；（1）分别确定A，B，C关于O的对称点，再顺次连接即可，根据的位置可得其坐标；（2）分别确定A，B，C绕O顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可；（3）先求解的长度，再利用弧长公式进行计算即可．【详解】（1）解：如图，即为所求，

；（2）如图，即为所求（3）∵，∴点旋转到所经过的路径的长度．21．(1)k≥﹣1；(2)方程的另一根为﹣4．【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案；（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案．【详解】（1）解：（1）∵方程有两个实数根，∴，即∴；（2）解：方程有一个根为2，设方程的另一根所以可方程的另一根为【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．22．【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．根据抛物线的顶点坐标为，即可得到，令，求出y的值即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，，令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为．23．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【分析】设这种台灯应涨价x元，那么就少卖出10x个，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：设售价为x元，根据题意得：，∴当x＝65时，，答：这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式是解答本题的关键．24．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理得出，根据半圆所对的圆周角为直角得出，根据平行线的判定得出；（2）连接，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据是的中位线，即可求出结果．【详解】（1）证明：点为的中点，，是半圆的直径，，，；（2）解：连接，如图所示：是半圆的直径，，，，，设，则，根据勾股定理得：，即，解得：，∵点为的中点，∴，∵，∴是的中位线，．【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行线的判定，中位线的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．25．此游戏不公平，理由见解析．【分析】分别求出甲、乙得1分的概率，进而比较得出答案．【详解】解：此游戏不公平，理由如下：根据题意得：P（甲得1分）；∵乙摸两次，先摸出1个球，放回后，再摸出1个球，∴画出树状图，如下：

一共有9种等可能结果，其中两次摸到的都是白色乒乓球的有4种结果，∴P（乙得1分）；∴P（乙得