基本不等式求最值问题（解析版）-2023-2024学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

专题04基本不等式求最值问题

基本不等式求最值问题

基本不等式之直接求最值

4

1.（2022秋.广东佛山•图一统考期中）若无>0,则力+―的最小值为；

【答案】473

【分析】由基本不等式求出最小值.

4

【详角军】因为%>0,故3x>0,—>。，

x

所以3x+±Z2、&耳=4君，当且仅当3x=d,即了=2叵时，等号成立，

xVxx3

故3x+«的最小值为4g\

X

故答案为：4石

/J2-I-4

2.（2022秋・上海松江•高一校考期中）已知a>0,则----的最小值为

a

【答案】4

【分析】直接展开得=a+利用基本不等式即可求出最值.

aa

z72+44I

【详解】。>0,/.-------=a+->2ja-=4。=2时取等号，

aa\af

故答案为：4.

nh

3.（2022秋・天津和平・高一耀华中学校考期中）已知正实数a,b满足f+g=l则湖的最大值

45

为.

【答案】5

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.

【详解】因为正实数a,b满足l=：+gN2j1,当且仅当?即a=2,b=g时取等号,

解得ab<5,

则ab的最大值5.

故答案为：5.

327

4.（2022秋•贵州黔西.高一校考期中）已知〃>0,b>0,则（。+匕）—+——的最小值为（）

ab

A.42B.48C.49D.55

【答案】B

［分析】将代数式（"+与（（+£］展开后利用基本不等式可求得该代数式的最小值.

【详解】因为a>0,b>0,贝股4+6），』+41=30+改+%230+2、^^^=48,

\ab）abyab

当且仅当人=3a时，等号成立.

327

因此，（a+b）—+——的最小值为48.

ab

故选：B.

基本不等式之妙用“1”求最值

1.（2022秋•浙江绍兴•高一浙江省春晖中学校考期中）已知x>0,y>0,x+2y=3,则工+2的最

xy

小值为.

【答案】3

【分析】由x+2y=3可得：+2=1,巧用5+2=1,用基本不等式即可求出工+2的最小值.

3333xy

【详解】因为尤+2y=3,所以:+g=i,

所以乙1+*2二=3+生+包丁+2^=3,

%y33y3%3

当且仅当％=y=i时，等号成立,

12

所以一+一的最小值为3

犬y

故答案为：3.

b4

2.（2022秋.湖南衡阳.高一衡阳市一中校考期中）若正数。，人满足2。+人=1,则丁+丁的最小值为

2ab

)

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

h4

【分析】根据给定条件，变形式子二再利用“1”的妙用求解作答.

2ab

【详解】正数。满足2々+6=1,

b4l-2a414.14、1.b8a..

贝ni!lJ----1—=---------1—=-----1------1=(2a+/?7X)(Z-----1—)—1=4H-----1------>4+2=8，

2ab2ab2ab2ab2ab

当且仅当，=半，即6=44=3时取等号，

2ab3

所以白b+?4的最小值为8.

2ab

故选：C

91

3.（2。22秋・四川遂宁・高一校考期中）若,>。,>>°,且满足"1+不1=1,贝口+,的最小值是（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

91

【详解】x+y=%+l+y+l-2=(x+l+y+1)-----+-------2

x+1y+1

一8+9(1+1)+川>8+。9(>+1)x+1

-------------------149

x+1y+1x+1y+1

当且仅当号++时等号成立.

所以％+y的最小值是14.

故选：B

4.（2022秋.黑龙江哈尔滨.高一校考期中）已知a>0”>0,3a+〃=3ab,则的最小值为（）

A.2G+3B.4.73+3C.273+4D.空+3

33

【答案】D

【分析】根据3a+人=3仍得到9+3=1，然后利用基本不等式求最值即可.

b3a

【详解】因为3“+人=3"，所以：+上=1,贝IJ

b3a

i（11）।1a6、4clab42、当且仅当总=：,即a=1上1,

v\b3a）3b3a3\b3a32,b3a3

%=三走时等号成立.

3

故选：D.

19

5.（2022秋.江苏泰州・高一泰州中学校考期中）已知x>0,y>0,且x+y=2,则一+一的最小值

%y

为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】利用乘“1”法及及基本不等式计算可得.

【详解】解：因为x>0,，>。，且x+y=2,

所以B+tMlx+mt+BMl9+Y+ilNg+1。卜，

V9x1Q19

当且仅当2=一,即1=：,y==时，等号成立,即一+一的最小值为8.

%y22%y

故选：A

6.（2022秋•辽宁葫芦岛•高一校联考期中）若上-+/■=1,贝！J4a2+62的最小值为（）

a

A.16B.8C.20D.12

【答案】A

【分析】利用均值不等式求解即可.

。2221

【详解】由题意得4a2+〃=（4/+62）[：+\]16ab116abo

b-a2Vb2a2

当且仅当黑=《，即》2=41=8时等号成立

,所以4a2+）2的最小值为16,

ba

故选：A

12

7.（2022秋・浙江杭州•高一杭州四中校考期中）设x,y都是正数,且一+—=3,则2%+y的最小值

是（）

89

A.-B.3C.-D.2

32

【答案】A

【分析】变换2x+y=,展开利用均值不等式计算即可.

【详解】2x+y=1（2x+y）f-+-1=M—+^+4l>|f2+

3yj31y无J3（丫yxJ3

当一4x=y2，即尤=2：,y=4:时等号成立.

yX33

故选：A

8.（2022秋・浙江温州•高一乐清外国语学校校考期中）若无>0,y>0且x+y=孙，则一令的

x-\y-1

最小值为（）

A.3B.—+A/6C.3+^/6D.3+2A/2

【答案】D

【分析】先把》+>=孙转化为,+'=1,再将上v+W=2x+y,根据基本不等式即可求出.

xyx-1y-1

【详角军】%>0,y>0且%+'=孙，

111

—i——I,

%y

..X+2y

.-------1-------,

x-ly-l

_xy-x+2xy-2y

（x-l）（j-l）

2x+y

xy-x-y+l

=2x+y,

=3+目+43+2,户2=3+2后

yxxyx

当且仅当2=2,即工=1+巫，y=l+夜时取等号,

y%2

x2y

故一7+17的最小值为3+2女，

x-1y-1

故选：D.

基本不等式之拼凑求最值

4

1.(2022秋・浙江杭州•高一校考期中)若%>2,贝!|函数y=x+—^的最小值为()

x-2

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.

44

【详解】由题意可得：y=%+—-=(x-2)+--+2,

x-2x-2

*.*x>2,贝！］九一2>0,

4I4-4

故y=(%—2)+------+2>2J(x-2)x-------+2=6,当且仅当x-2=,即％=4时，等号成立.

x2Vx2x2

故选：D.

3

2.(2022秋.黑龙江七台河.高一勃利县高级中学校考期中)已知〃>2,则。+—^的最小值为(

a-2

r-11厂

A.6B.2,3+2C.—D.2j3

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用基本不等式中的配凑法即可求解.

【详解】因为。>2,即1一2>0,

所以°+二-=(1-2+-^-+2”/(a-2)./-+2=2石+2,

ci-2a-2yci-2

aQ

当且仅当。-2=—^时，即"2+6时，a+—^有最小值2«+2.

a-2a-2

3l

故。+--的最小值为2g+2.

a-2

故选：B.

4

3.(2022秋.湖北•高一校联考期中)函数/(%)=-+的最大值是()

x-3

A.-4B.1C.5D.-1

【答案】D

4

【分析】将函数等价变换为/(%)=-(3-%+^—)+3,再利用基本不等式求解即可.

3-x

【详解】解：x<3,.\3-x>0,

4/44

则/（x）=_（3—x+——）+3„-2J（3-x）-------+3--1（当且仅当3—%=^-,即％=1时，取等号）,

3-xV3-x3-x

即当％=1时，”%）取得最大值-1.

故选：D.

4.（2022秋•陕西商洛•高一校考期中）已知0<x<j则x（3-2x）取得最大值时》的值为（）

A.-B.；C.-D.-

3234

【答案】D

【分析】x（3-2x）分子分母乘以2,直接利用基本不等式即可.

3

【详解】。<%<万，3-2%>0

2x+3-2x

则由基本不等式得，兀（32兀）=2式3_2%）工（2）2-9,

（尸2-2-8

3

当且仅当2x=3—2x,即％=:时，等号成立，

4

故无（3-2%）取得最大值时x的值为

故选：D.

2

5.（2022秋.江苏苏州•高一校联考期中）若工<1,则函数/（幻=1+—；的最大值为（）

X-L

A.2&B.-272C.272+1D.-2^+1

【答案】D

22

【分析】由/（x）=x+:=—[（l-幻+^—]+1,利用基本不等式求解.

x—11-x

【详解】解：X<1,

/.x—IvO,贝ijl-%>。，

/（x）=x+—=-[（l-x）+^-]+l<-2J（l-x）--+1=-2A/2+1,

x-1l-xv1-x

当且仅当（l-x）=F，即X=1-应时等号成立，

1-x

2

故函数/。）=无+—7的最大值为-2日+1.

X-L

故选:D

6.（2022秋・江苏苏州•高一校联考期中）己知正实数。/满足。+5=:，则金+生的最小值是

2a+126+1

13

D.

【答案】B

【分析】由+2)+(26+1)］结合基本不等式化简即可求解.

【详解】(/+&=1，

;.2a+»=5两边平方得：4a2+4b2=2.5-Sab,

a+b=-,

2

2a+2+2b+1=8,

a22b22/2b2

----1------------1-----

〃+12b+12a+22b+1

1（2a22b-J［（2a+2）+（2Z?+l）］

--------1-----

812。+22b+1

1,2a2（2b+l）2b2（2a+2］,

2a2+—-------2+—-------+2b2

82a+22b+1

22

1-25+2a（2Z?+1）2b（2a+2）-

822a+226+1

4—4"+2,2/•

If25/7一、

=------^ab+Aab

8（2）

_25

一4

当且仅当2/（2"。=2/（2"+2）,等号成立，故金+乙匕的最小值为

2a+22b+la+12b+l16

故选：B

7.（2022秋•吉林通化•高一校考期中）已知工、》均为正实数，且‘7+二彳二:，则尤+＞的最小

x+2y+26

值为（）

A.24B.32C.20D.28

【答案】C

［分析］转化x+y=（x+2）+（y+2）-4=6（1+-）［（x+2）+（y+2）］—4,结合均值不等式，即可

x+2y+2

得解.

【详解】…均为正实数，且士+；/,则611

----------1---------=-1

x+2y+2

.，.％+y=(%+2)+(y+2)—4

1

=6(----------1----------)[(x+2)+(y+2)]-4

x+2y+2

,/cy+2%+2、彳、/小石

=6(2+-——+------)-4>6(2+2^^•^Z)-4=20

x+2y+2'x+2y+2

当且仅当X=y=10时取等号.

的最小值为20.

故选：C.

125

8.(2022秋•江苏泰州•高一统考期中)函数/(x)~+-^-(-l<x<J)的最小值是(

x+15-2x2

9「6

B-7C.

A.\85

【答案】B

211

【分析】由/(1)=系(2%+2)+(5-2初(.------------1------------)展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注

2%+25-2%

意取值条件.

【详解】由一1<无<9,可得1+l>0,5—2x>0,

2

1222211

/(%)=——+--------=---------+--------=-[(2x+2)+(5-2x)](------------1------------)

x+15-2%2x+25-2x72%+25—2%

25-2%2兀+2、、2小c5—2x2x+28

=—(2+-------+---------)>-(2+2.

72x+25-2x72%+25-2x7

<_9r7Y_I_7QQ

仅当本FW即x*时等号成立,故/⑺的最小值为7

故选:B

81

9-(2022秋青海海东.高一校考期中)设正实数尤，y满足2x+y=l,则)+]的最小值为()

A.9B-TC.8D.475

【答案】B

Q118

【分析】由2f=1,得2(x+I)+…，则二+『1[2(x+l)+y],化简后利用基本

3ix+1+

不等式可求出其最小值.

【详解】因为正实数无，y满足2x+y=l,

所以2(元+l)+y=3,

所以白+/

[2（x+l）+y]

117+上+迎生

3x+ly

耳7+2区

3|_\x+ly3

……8y2(x+1)13

当且仅当女丁即兀=丁'=1时取等号,

所以唳+;的最小值为汽，

故选：B.

41

1。.(2。22秋・江苏盐城•高一统考期中)已知正实数。、人满足力+而=1，则。+2"1的最小值

为()

A.6B.8C.10D.9

【答案】D

【分析】将代数式(a+3+S+l)与'y+上相乘，展开后利用基本不等式可求得。+%+1的最小

a+b。+1

值.

41

【详解】因为正实数，、匕满足--+—=1,

a+b。+1

贝I]〃+2Z7+1=「(〃+/?)+(/?+1)[[]=5+°

LV7vJ\a+bb+1)b+la+b

a+b4（Z?+1）

>5+2.------------------=9,

b+1a+b

a+b_4（Z?+1）

b+1a+b

41Q=4

当且仅当一=1时，即当八2时'等号成立,

a+bb+1

a>0,b>0

故a+2〃+l的最小值为9.

故选：D.

II

题型04基本不等式之商式分离或换元求最值

■।

1.（2022秋•重庆九龙坡•高一重庆市育才中学校考期中）若。>-3,则片+6。+13的最小值为（）

a+3

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】对'+64+13变形后,利用基本不等式进行求解最小值.

〃+3

4

【详解】因为，>—3,所以。+3>0,-->0,

4+3

由基本不等式得二+6。+13=（o>+4+—22■+3），=4，

a+3a+3a+3ya+3

4

当且仅当a+3=-即a=—1时，等号成立，

a+3

故“2+6+13的最小值为4.

4+3

故选：B

2.（2022秋•安徽马鞍山•高一马鞍山二中校考期中）设4>0">0,且。+力=1,则2"""（）

ab

A.有最小值为40+6B.有最小值为6

14

C.有最小值为可D.有最小值为7

【答案】D

【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值，注意使用“1”的代换.

2b+cr+ab

【详解】因为a>0,b>0,且a+%=l,=l+l+i,

abab

m22a2（a+2b）a4bqec[4b~a./

ababab\ab

当且仅当4竺b=；a,即a1=：1时等号成立.

ab24

所以2b+/+〃有最小值为7.

ab

故选：D.

3.（2022秋・浙江温州.高一乐清外国语学校校考期中）。涉均为正实数，则网乎+的最小值

为.

1+26

【答案】

3

【分析】利用换元法，设a+26=x,2a+6=y,x>O,y>0。代入所求式子整理后利用基本不等式即

可求解.

[a+2b=x

【详解】设a+2b=%，2a+b=y,依题意得，x>0,y>0,联合两式：。，

[2a+b7=y

解得a=[^，b=^fZ,所以

2a+ba+b_y+W-22斤+L且，

a+2b2a+bxyx3y3"y3y33

当且仅当》=2即X=石〉时取得等号.所以网乎+产匕的最小值为巨|3.

%3ya+2b2a+b3

故答案为：匕”.

题型05基本不等式证明不等式

1

1.（2022秋•黑龙江绥化•高一统考期中）己知。、6是正实数，且〃+廿=2,证明:

（l）fl+/><2；

⑵（4+分）,3+》）“.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式证明出（。+6）2W4,即可证得结论成立；

（2）利用配方法以及提公因式的方法可证得结论成立.

【详解】（1）证明：因为。、6是正实数，贝1]（。+6）2=。2+/+2。642（〃+匕2）=4,

当且仅当〃=人=1时，等号成立，故a+b<2.

（2）证明：++。）=/+〃5+〃3。3+人4=（〃2+。2『一2々282+〃。+〃3。3

=4+ab^a2b2-2ab+1）=4+^Z?（<7Z?-l）2>4,

当且仅当“=6=1时，等号成立，故（4+3）（/+」）".

2.（2022秋・浙江杭州•高一校考期中）（1）已知羽y,Z都是正数，求证：（%+y）（y+z）（z+x）N8孙Z；

(2)已知x,y为正实数，求,+2；?」的最小值.

【答案】(1)证明见解析；(2)6.

【分析】(1)利用基本不等式，得到x+yN2而，y+z22而和Z+X22JG,进而可证明

(X+y)(y+z)(z+x)>Sxyz成立；

(2)令r=2x+y,化简得上+]匚=上+匝-2,进而利用基本不等式，可求出上+甘哈的最小

x2x+yxt%2x+y

值.

【详解】⑴X,y,Z都是正数，故X+/2而，当且仅当x=y时，等号成立；

y+z>2^[yz,当且仅当V=z时，等号成立；

z+x22显,当且仅当％=z时，等号成立；

所以，(%+y)(y+z)(z+%)N8qz,当且仅当％=V=z时，等号成立.

(2)令，=2x+y,贝ljy=—2x,因为x,y为正实数，故，>0,

y16xt-2x16xt16x.八It16x3,

-+-----=-----+——=-+-----2>2J-------2=6,

x2x+yxtxtVxt

当且仅当工=匝，即t=4x,即当2x=y时，等号成立，

Xt

故上+丹的最小值为6.

x2x+y

3.(2022秋・安徽六安•高一六安一中校考期中)己知反cwR且〃>0,b>0,c>0.

114

(1)若。人=1,求；的最小值；

aba+b

(2)若〃+人+c=l,求证：ab+bc+ca<^.

【答案】(1)4

(2)证明见解析

114〃+〃44

【分析】(1)根据题意可得上+；+/7=—+—~=a+b+―然后利用基本不等式可求得结

果；

(2)利用分析法结合完全平方式可证得结论.

【详角军】(1)因为ab=l,a>0,b>0,

▼…114a+b474、/

所以一+—+----=----+----=a+b+---->4,

aba+baba+ba+b

ab=l

当且仅当,4，即。=b=l时取等号.

a+b=------

、a+b

114

所以上+；+」7的最小值为4；

aba+b

（2）证明：要证++,

又a+Z?+c=l,

故只要证"+历+04处”，

只要证"+be+C4<12+/+。2,

只要证(。一域+("_。)2+(c-tl)2>0

而上式显然成立，且当。=b=c=g取等号，

故原结论成立.

4.（2022秋•湖北黄冈•高一统考期中）（1）已知x,J>0,—+—=2\/2,求证：—+—>4.

xyxy

（2）已知％,y>0,若x+y=M,且不等式二十二24恒成立，求实数机的取值范围.

%y

【答案】（1）证明见解析；（2）（0,72]

【分析】（1）根据基本不等式的变形式产2（审）2,分析即可得证；

⑵根据基本不等式的变形?可得34,求解即可.

【详解】⑴由x,y>。，点,

11

--1--

贝।，22（工=2（0）2=4.

xy2

当且仅当％二y二也时，取

2

1Ivx

(2).(―+—)(x+y)=2+2+—24.

xyxy

114

又x+y=相，

xym

7

/.m2<2.x+y=m>0.:.O<m<

故实数m的取值范围为（0,JI].

5.（2022秋•甘肃兰州・高一兰州一中校考期中）已知。，b,。均为正实数.

（1）求证：a+b+c>y/ab+\[bc+\[ac;

14

⑵若a+b=l,求一+7的最小值.

ab

【答案】（1）证明见解析.

⑵9

【分析】（1）直接利用基本不等式即可证明.

（2）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式，即可得到结果.

【详解】（1）因为。，b,。均为正实数，

所以a+Z?+c=；[（a+b）+仅+c）+（a+c）]>^2\[ab+2s[bc+2>/acj=\fab+4bc+Vac当且仅当

a=Z?=c时，等号成立.

所以a+b+cNy[ab+y[bc+y[ac

(2)因为〃+/?=],则—H—=f—I•7](〃+b)=ld----F——+4>5+2./—•—=5+4=9

ab\abJab\ab

1

b_4aCl——

3

当且仅当<a。时,即<时,等号成立.

a+b=l

14

所以上+；的最小值为9

ab

6.（2022秋・湖南株洲•高一校考期中）已知无，z是正实数，证明:

111

------------------------------------------------------------------------\~/-------------------\~/------------------<—

x+2y+3z+3(x+l)(2y+l)(3z+l)12

【答案】证明见解析

【分析】由均值不等式即可证明.

【详解】证明：由均值不等式可知:

(x+l)+(2y+l)+(3z+l)>33/(x+l)(2y+l)(3z+l),

则心厂3)3Q+1)⑵+1)(3z+

127

所以一(x+l)(2y+l)(3z+l)(x+2y+32+3)3

]________________1_________<______1______________27

所以x+2y+3z+3（%+l）（2y+l）（3z+l）%+2y+3z+3（x+2^+3z+3）3

当且仅当x+l=2y+l=3z+l时取等，

又可利用均值不等式构造：

27I271~~F212

（x+2y+3z+3）N（%+2y+3z+3）,272727x+2y+3z+327

271?

当且仅当西瓦瓦可二万，即％+2y+3z+3=9时取等，即％=2,y=lfz=§时取等.

所以

111（12）21

--------------------------------W-------------------------------二—v—

%+2y+3z+3（x+l）（2y+l）（3z+l）x+2y+3z+3（x+2y+3z+327J2712

7.（2022秋•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨市第一中学校校考期中）（1）已知求证：

（片+/?2）（02+[2）之（ac+bd?；

（2）X/a,b,c>0,〃+b+c=3,求证：a*12+b2+c2>3.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用比较法证明即可，（2）利用基本不等式结合不等式的性质证明.

【详解】（1）因为（6+〃）（/+12）_团+〃）2

=a2d22c2_2acbd={ad-be）2>0,所以+d?）之（ac+bdj；

（2）因为对任意正实数〃，瓦。有。2+Z?2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca

三式相加得/+》2+02Nab+bc+ca,当且仅当a=Z?=c时取等，

又a+〃+c=3，故（a+Z?+c）2=9,所以〃/?+/?/+ca=9+"十°’

2

222

即a+b+c>9-（〃+〃+/）

2

整理得〃2+，23.当且仅当〃=6=。=1时取等.

2

8.（2022秋.重庆渝中.高一重庆巴蜀中学校考期中）（1）对于两个正数。，b,我们把丁口称为它

ab

们的调和平均数，而称为它们的几何平均数.求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平

均数；

91

（2）已知〃>0,b>0,且Q+Z?=1,求y=—的最小值及取最小值时a,Z?的值.

ab

31

【答案】（1）见解析；（2）16；a=-,b=-

44

2__

【分析】（1）利用完全平方公式得到2履W〃+再将其变形转化即可证得丁丁""区；

ab

（2）利用基本不等力”的妙用即可得解.

【详解】（1）因为a>0,b>0,所以6>0,扬>0,

所以-扬）>0,a+b-2y[ab>0>2y[ab<a+b

所以名画《],则系4而，即百石4族，故1万4疝，

a+ba+b—~—+~

abab

上述不等式当且仅当标=4b，即。=6时，等号成立，

所以匚i,疯.

ab

（2）因为4>0,b>0,〃+Z?=l,

mi、191/,9s9ba、〔A/19ba”

所1以y=—i—=（〃+b\—i—=10H----1—210+2J----=16，

ab<<7b）ab\ab

当且仅当9迫b=;a且a+b=l,即〃31时，等号成立，

ab44

9131

所以y=的最小值为16,此时

ab44

|题型06|利用基本不等式求参数范围

1.（2022秋・广西桂林.高一桂林市中山中学校考期中）若x>l时，不等式x+l+—匚>左恒成立，则

x-1

实数上的取值范围是（）

A.(-<»,4)B.(-8,4]C.[2,+oo)D.(2,+8)

【答案】A

【分析】将不等式等价转化为(X-1+工+2)而„>左，利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可

x-1

求解.

【详解】由题意可知：不等式X+1+一左恒成立等价转化为[(彳-1)+—二+2]*>%，

x-1x-1

因为所以％-1>0,

贝lJy=(x_l)+」-+222j(x_l).」