圆锥曲线的方程（九）讲义 高三数学一轮复习

高中数学高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时九知识点一根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中三角形（四边形）的面积典例1、已知椭圆，分别为的右顶点、下顶点．（1）过作直线的垂线，分别交椭圆于点，若，求椭圆离心率；（2）设，，直线过点的两条相互垂直的直线，直线与圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值．

随堂练习：已知椭圆的左焦点为F，上顶点为B，M为的中点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）直线，l与椭圆有唯一公共点N，与y轴的正半轴相交．若点P满足，且四边形的面积为，求椭圆的方程．典例2、已知A､B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k1､k2､k3､k4.（1）求证：点P､Q､O三点共线；（2）当a=2，b=时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；（3）若F1､F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.

随堂练习：已知椭圆：，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，，是椭圆上的两动点，设直线，的斜率分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）若，，三点共线，求的值.典例3、已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程．

随堂练习：设椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，分别过点，作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，已知，的面积为，求直线的方程．知识点二根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆中的参数及范围,根据韦达定理求参数典例4、已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

随堂练习：已知椭圆过两点．（1）求椭圆C的方程；（2）F为椭圆C的右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1，，，若，求△FPQ的周长．典例5、已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

随堂练习：设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.典例6、已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．（1）求C的方程；（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．

随堂练习：已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．（1）求动点的轨迹的方程.（2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时九答案典例1、答案：（1）；（2）.解：（1）由题意得：，，故可设直线的方程为，联立方程组，解得，同理：直线的方程为，联立方程组，解得：，因为，可得，即，整理得：，即，故椭圆离心率（2）由，，可得椭圆的方程为：，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相切于点，不合题意；当直线的斜率为0时，此时可得，当直线的斜率存在且不为0时，设直线方程为：，则点到直线的距离，根据圆的弦长公式，可得因为，所以直线的方程为，联立方程组，解得，即，可得，所以设，则，则，因为，当且仅当，即时取等号，所以，由于，故面积的最大值为.随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）为直角三角形，M为的中点，所以，，又，所以，，所以，所以椭圆离心率为.（2）由题意可设直线方程为：，联立，得，又l与椭圆有唯一公共点N，故，即，即，又所在直线方程为：，所以直线与l的距离为，四边形的面积为：，解得：，故椭圆的方程为：典例2、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）8.解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B动点，又因为，所以，即所以点P，Q，O三点共线.（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为联立，解得x=±，y=±，所以P(，)，同理，解得x=±，y=±，解得Q(，)，则|PQ|=3﹣，又因为a=2，b=，联立，解得B(±2，0)，所以点B到直线PQ的距离d=，则.（3）因为，设，，所以，因为，所以又，⇒，因为QF1PF2，所以|OF1|=λ|OF2|，所以λ2=，所以=•=，所以：同理(k3+k4)2=4，而k1k2=，又x12=a2+y12，所以k1k2=，同理k3k4=﹣，所以k12+k22+k32+k42=8.典例3、答案：（1）（2），或，解：（1）根据题意可得解得椭圆的标准方程（2）圆设，则设，，，则，同理可得：，，∵的面积是面积的倍，则代入整理得：联立方程，得或，即，同理联立方程，得或，即，同理代入可得：，解得或当时，直线，；当时，直线，随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以．①又椭圆经过点，所以．②结合，③由①②③，解得．故椭圆的标准方程是．（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设，根据对称性知两平行线的交点在轴上，又交点刚好在椭圆上，所以交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是．此时点或；直线的斜率不存在不成立②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．将直线代入椭圆方程得，则，，．不妨设两平行线的交点为点，则，故点的坐标为．因为点刚好在椭圆上，所以，即．此时，则．设点到直线的距离为，则．所以，即，解之得：或，当时，，当时，（舍），所以，直线的方程典例4、答案：（1）（2）证明见解析，定值为解：（1）由已知设椭圆方程为：，代入，得，故椭圆方程为.（2）设直线，由得：，，又，故，由，得，故或，①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，此时，符合题意.所以的周长为定值.随堂练习：答案：（1）（2）8解：（1）将，B（，）代入椭圆C：中，，解得，故椭圆C方程为；（2）设直线，由，得，又，故由k，得，得，故或．①当时，直线l，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线l，过定点，即直线l过左焦点，此时，符合题意．所以△FPO的周长为．典例5、答案：（1）（2）不存在，理由见解析解：（1）由题意可得，解得，.故椭圆C的标准方程为.（2）设，，.联立，整理得，则，解得，从而，.因为M是线段PQ的中点，所以，则，故.直线的方程为，即.令，得，则，所以因为，所以，解得.因为，所以不存在满足条件的.随堂练习：答案：（1）；（2）.解：（1）由题意可得，，当时，，所以得：，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，，，，过点且斜率为的直线方程为，联立方程，可得，设，，则，，故，又，，，，所以，整理可得，解得.典例6、答案：（1）（2）过定点；证明过程见详解解：（1）设点，其中，则，因为椭圆过点，则，将点的坐标代入椭圆的方程得，所以，解得，因此椭圆的标准方程为；（2）设点，则，所以直线的垂线的斜率为，由题可知，故直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，所以直线的方程为，即，因为，所以，所以，所以，所以直线过定点．随堂练习：答案：（