等差数列的概念课件第2课时 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第4章数列人教A版2019选修第二册4.2.1等差数列的概念（第2课时）学习目标1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.1.等差数列的定义：2.通项公式：an-an-1=d

（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)

由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.3.等差中项：这三个数满足关系式：

知识回顾1.等差数列实际问题

例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.

分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}.由题意可知，10年之内(含10年)，这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公式列不等式求解.

例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备.经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.

解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.所以，d的求值范围为19<d≤20.9.解得19<d≤20.9，解决等差数列实际问题的基本步骤(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；(3)利用通项公式解决等差数列问题；(4)将所求出的结果回归为实际问题.2.等差数列的性质

例4.

已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}

的通项公式.(2)b29是不是数列{an}

的项？若是，它是{an}的第几项？若不是

，请说明理由.

分析:(1)

{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式；

(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.

例4.

已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}

的通项公式.解:(1)设数列{bn}的公差为d′,由题意可知b1=

a1=2,b5=

a2=10∴

bn=

b1+(n-1)d′=

2+(n-1)×2=2n

例4.

已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(2)b29是不是数列{an}

的项？若是，它是{an}的第几项？若不是

，请说明理由.

bn=2n.(2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13,∙∙∙项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，

所以，b29是数列的第8项.

对于第(2)小题，你还有其他解法吗？

例4.

已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(2)b29是不是数列{an}

的项？若是，它是{an}的第几项？若不是

，请说明理由.

bn=2n.(2)由已知，an=

a1+(n-1)d=2+(n-1)×8=8n-6,b29=58令8n-6=58,解得

n=8,所以，

b29是数列{an}的第8项.

例5.已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t.

求证:ap+aq=as+at.

分析:只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at

，再利用已知条件即可得证.证明：设数列{an}的公差为d,则ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d，as=a1+(s-1)d，at=a1+(t-1)d，所以ap+q=2a1+(p+q-2)d，as+t=2a1+(s+t-2)d，因为p+q=s+t.所以

ap+aq=as+at.

思考？例5是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？●●●●spqtn(s,as)(p,ap)(q,aq)(t,at)asapaqatan

∵p+q=s+t，∴p−s=t−q，∴ap−as=at−aq∴ap+aq=as+at

例6.(1)在等差数列{an}中，a6＝19,a15=46，求a4+a17的值；解:(1)

a4+a17=a6+a15=19+46=65

(2)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝30，

求a3－2a5的值.(2)根据等差数列性质，可得a4＋a10＝2a7,而a4＋a7＋a10＝30＝3a7

即a7

=10,∴a3－2a5＝a3－(a3+a7)=－a7=－10.

解:

∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,

(2)在等差数列{an}中，a3−a6+a10=20

，则a11−2a9

=_____.解:因为{an}是等差数列，由a3−a6+a10=20

得a7=20，所以a11−2a9=a11−(a7+a11)=−a7=−20.

例7.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.解：设这三个数分别为a-d，a，a+d,

则(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12,又∵

(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12∴

a=4∴

当d=2时，这三个数分别为2，4，6;

解得d=±2当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.练习:已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数所成的等差数列.解:设这四个数依次为a−3d，a−d，a+d，a+3d.

∴这四个数所成的等差数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的性质设{an}是公差为d的等差数列，那么性质1an

=a1+(n-1)d

性质3

an

=am+(n-m)d

性质5

m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq性质6

m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.课本练习1.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用an表示第n排的座位数吗?第10排有多少个座位?nanO•1569121518•2••••34633.在等差数列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.4.已知数列{an},{bn}都是等差数列,公差分别为d1,d2,数列{cn}满足cn=

an

+2bn.

(1)数列{cn}是否是等差数列?若是,证明你的结论;若不是,请说明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求数列{cn}的通项公式.5.已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d.(1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的