序言;§11 随机试验与随机事件教材

概率论与数理统计

ProbabilityandStatistics主讲教师：李其琛教材：《概率论与数理统计》

李其琛曹伟平主编，南京大学出版社2009参考书：[1]《概率论与数理统计》第四版浙大盛骤等编,高等教育出版社2008[2]《概率论与数理统计附册》学习辅导与习题选解

浙大盛骤等编,高等教育出版社2008课程要求及考试方式平时成绩：30%

(包括作业情况、课堂答题、课堂考勤等)

期末考试:70%

笔试、闭卷序言?随机现象：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学概率论是研究什么的？概率论的发展在十七世纪，正当研究现实世界中的必微分方程，积分方程和函数论的数学分支然现象及其规律的必然数学，如微积分学获得巨大发展的时候，一个研究偶然事件的数学分支也开始出现了，这就是所谓的或然数学，也称随机数学。十分有趣的是，这样一门重要的数学分支竟起源于一个赌徒在赌博众所遇到的问题。赌徒的难题然而，历史事实确是如此。1653年夏天，法国著名数学家、物理学家帕斯卡（BlaisePascal1623—1662）前往普埃托镇度假，旅途中，他遇到了骑士梅累，此公每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个六点，或其赌友先掷出三个4点，便是经常出没于赌场的“赌坛老手”。为了消除旅途的寂寞，梅累便吹嘘其他的赌博经，并向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样的：一次，梅累与赌友赌掷骰子，算是赢家（每人掷一次），遗憾的是，这场不按照已有的成绩分取这64个金币，这下可把他难住了，赌友说，虽然梅累只须再掷出一次算小的赌博并未能顺利结束，当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好6点就赢了，但他再掷出两次4点，也就赢了。知，要他马上陪国王接见外宾。君命难违，他还有一半的希望得6点，这样又可分得16个金币，所以他至少应得64个金币的四分之三所以他分得的金币应是梅累的一半，即64个赌金的二分之一，即32个金币；再加上下次即使下次赌友掷出一个4点，他还可以分得金币的三分之一，梅累不同意这样分，他说谁是谁非，争论不休，由于梅累没有时间与其1623年6月19日，布拉瑟—帕斯卡出生于法国奥弗涅省的克勒忙一个富裕的省议员之家。争执下去，最后就按其赌友的意思分配，不众所周知，帕斯卡是以为著名的“数学神童”大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他求教。过梅累对此一直耿耿于怀，所以，他一碰到三岁那年，母亲不幸去世，8岁时，父亲为了别是参加梅森学院的活动，使小帕斯卡的天资很快得到开发，帕斯卡从小就醉心于数学研究专心培育三个子女，辞去省议员的职务，移他经常带领儿子参加各种科学家的集会，特发现“帕斯卡蜗牛线”等闻名于巴黎科学界，居巴黎，老帕斯卡是一位数学爱好者，曾以16岁时，他发现了“帕斯卡六边形定理”：论文《论圆锥曲线》，竟使笛卡尔怀疑是其父亲的作品。成年以后，帕斯卡的数学研究更是“任何内接于圆锥曲线的六边形，三组对边大地丰富了圆锥曲线的理论。他以此写成的并从这个定理出发，导出了400多条推论，极的交点共线，”硕果累累，他的名气也响彻法国及整个欧洲。梅累的分法是正确的，并用组合的知识解决了这一问题。1655年，荷兰数学家惠更斯（1629然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住和他展开讨论，在与费尔马的通信中认为，1654年帕斯卡不得不写信给他的好友费尔马了他。经过很长时间的探索，还是不得要领，——1695）恰好在巴黎，也参与了他们的工作概率论的重要而迷人的主题开始于17世纪，通过费马和帕斯卡等数学家的努力，回答了涉及赌博机遇的问题。学科发展背景直到20世纪，它仍未有建立在公理、定义上的严格的数学理论。随着时间的迁移，人们发现概率论有许多应用，不仅在工程、科学和数学方面，而且在保险统计、农业、商业、医药和心理学等范围，有许多例子说明应用自身贡献了理论的进一步发展。概率论的诞生统计比概率起源更早，它主要是处理收集、组织和用表或图表表示资料。随着概率论的出现，人们明白了统计能够提取有用的结论，在资料分析的基础上做出有道理的决策，比如抽样理论和预测或预报。数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用。但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系。

概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如：保险精算、金融工程、随机控制、博弈论1.气象、水文、地震预报、人口控制、预测、信号与图像处理等都与概率论紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均需要用到假设检验；本学科的应用3.寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理；

4.电子系统的设计,火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计;

探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用;6.研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述；在生物学中研究群体的增长问题时了提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论.“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”

——拉普拉斯（法国数学家）“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行、无所作为。”

——杰文斯（英国逻辑学家和经济学家）目前,概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用概率统计方法.

随机试验与随机事件

频率与概率

古典概型与几何概型

条件概率

事件的独立性第1章概率论的基础概念随机现象与随机试验样本空间与随机事件事件之间的关系和运算事件的运算规律小结练习§1.1随机试验与随机事件

在一定条件下必然发生现象称为确定性现象.1.确定性现象

自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象1.1.1随机现象与随机试验实例

“太阳不会从西边升起”,“水从高处流向低处”,“函数在间断点处不存在导数”等.确定性现象的特征条件完全决定结果在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.2.随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.实例2

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.结果有可能为:1,2,3,4,5或6.实例4

从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:

正品

、次品.实例5

过马路交叉口时,能遇上各种颜色的交通指挥灯.实例3

用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.结果:弹落点会各不相同.实例6

出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例7

明天的天气可能是晴

,也可能是多云或雨.随机现象的特征条件不能完全决定结果2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.

1.可以在相同的条件下重复地进行;（可重复性）

2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;（全部结果已知性）

3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

（试验前结果未定性）

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.定义3.随机试验(简称“试验”)随机试验的例E2:将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况;E1:抛一枚硬币,分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E3:将一枚硬币连抛三次,考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子,考虑可能出现的点数;E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数;E6:在一批灯泡中任取一只,测试其寿命;E7:记录某地一昼夜的最高温度与最低温度.1.1.2样本空间与随机事件3、基本事件：由一个样本点组成的单点集.EX给出E1-E7的样本空间.1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S；2、样本点:样本空间的元素即试验的每一个结果称为一个样本点.4、随机事件：

试验中可能出现的情况叫随机事件,简称事件.

事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.必然事件S

、不可能事件

.5、两个特殊事件:任何事件均可表示为样本空间的某个子集.记作A、B、C等.

将下列事件均表示为样本空间的子集.(1)

试验E2

中(将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况),随机事件:A=“至少出现一个正面”B=“三次出现同一面”

C=“恰好出现一次正面”S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}；B={HHH,TTT}C={HTT,THT,TTH}答：例1D={x:x>1000(小时)}(2)试验

E6

中(在一批灯泡中任取一只，测试其寿命),D=“灯泡寿命超过1000小时”答：可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率.还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2

，当试验的结果是HHH时，可以说事件A(至少出现一个正面)和B(三次出现同一面)同时发生了；但事件B和C(恰好出现一次正面)在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。

1.1.3事件之间的关系和运算1.包含关系：“A发生必导致B发生”记为A

BA＝B

A

B且B

A.2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作A

B2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作3.积事件:“A与B同时发生”，记作

A

B或AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生,记作4.差事件：A－B称为A与B的差事件，表示事件A发生而B不发生思考：何时A-B=?何时A-B=A？5.互不相容（互斥）事件：AB＝

6.

互逆的事件（对立事件）：

A

B＝S且AB＝

1.1.4事件的运算律1、交换律：A

B＝B

A，AB＝BA2、结合律：(A

B)

C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，

(AB)

C＝(AC)(B

C)4、对偶(DeMorgan)律：例2

甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件1.随机试验、样本空间与随机事件的关系小结2.概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间，必然事件空间不可能事件空集基本事件元素随机事件子集A的对立事件A的补集A出现必然导致B出现A是B的子集事件A