勾股定理教学案例

课题:探索勾股定理

教材分析：勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角

形的一条非常重要的性质，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，是解直角三角形的主要根据之一，

在实际生活中用途很大。教材注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活

动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。

学情分析：八年级的学生思维比较活跃，在平时自主学习、合作探究能力训练的基础上，具有了一定

的归纳、总结能力及合作意识；他们有参与实际问题活动的积极性，但技能和方法有待提高。八年级

学生能独立思考，有强烈的探究愿望，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在交流意见的过程中

逐渐完善自己的观点。故本课设计遵循“建模”的学习理念，以学生为中心，强调学生对知识的主

动探索、主动发现和对所学知识的主动建构。

教学目标：

知识与技能：1.让学生在经历探索定理的过程中，理解并掌握勾股定理的容及存在条件;

2.使学生能对勾股定理进行简单计算和实际应用。

过程与方法经历动手操作——观察——猜想——归纳一验证等一系列过程，体会数学定理发展的过

程

在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果.

情感态度和价值观：

在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识的探索精神。

教学重点：应用勾股定理解决简单的数学问题

教学难点：勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证

教具学具：多媒体平台，学生自制全等直角三角形，教师用三角板

教学方法与教学手段：自主探究、合作交流

教学流程

创设情境

激发兴趣

教学过程：

(-)复习旧知

三角形和形的面积如何计算

那么在网格中图形的面积如何计算呢

（二）创设情境，激发兴趣

师：观察下列图片，它们都与什么图形有关？

生：（齐答）直角三角形，形！

师：这三幅图分别是一希腊为纪念一个重要数学定理而

发行的邮票、华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系

的图案、2002年国际数学家大会会标一弦图，它们都可以证明一个重要定理！大家想知道是哪个定理

吗？

生：想！

师：好！下面老师和大家一起来探索这个定理！

（设计意图：通过欣赏图片，了解历史，介绍与勾股定理有关的背景知识，激发学生学习兴趣，自然引出

本节课的课题。）

（三）自主学习，小组探究

师：相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他

的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块

块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。

师：同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？

生1:由等腰直角三角形、形

探究活动1

(2)你能求出图中三个形面积吗

生2:两个小形的面积之和等于大形的面积。

师：你能说说理由吗？

生2:如果一个小的等腰直角三角形的面积为1,那么两个小形的面积和大形的面积都等于4.

(设计意图：通过讲传说故事来步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态，通过

层层设问，引导学生发现新知。)

探究活动2

问题1：设每个小形的面积为1,分别计算下列图形中形A、B、C的面积，它们之间都有上述

关系吗？

生3:在算出面积之后，肯定地说有SA+SB=SC

问题2:你能用等腰直角三角形的边长表示形的面

积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？

生4:我发现每个形的面积都等于直角三角形边长的平方，若一个等腰直角三角形的两条直角边为

a,斜边为c,则有a2+a2=c2

教师板书：

等腰直角三角形।/2=2

师：在等腰直角三角形中，这个结论是成立的，那么这个结论对于一般的三角形是否成立呢？

生：（不加思索）成立！

师：比等腰直角三角形更一般的三角形是什么三角形？

生5:等腰三角形、直角三角形

生6:还有普通三角形

师：好！我们先来研究等腰三角形！

以等腰三角形三边为边长向外作形，三个形之间满

足刚才的关系吗？

生7:在网格中作出等腰三角形，并向外作形，很明显A、B、C三者之间没有任何关系！因此等

腰三角形的三边没有特殊关系！

师：很好！

生8:其实不在网格，也可以说明！等腰&ADB和等腰AACB有公共的底边AB,以AC、CB为边长

的形的面积之和与以AD、BD为边长的形的面积之和不相等。所以等腰三角形的三边没有特

殊关系！（学生报以热烈的掌声）

一般的等腰三角形中三边不具有特殊的关系!

当然普通三角形三边也不具有特殊的关系！

师：下面我们来研究直角三角形

探究活动3

做T故：问题3:请求图中形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？

师：在这里形A、B的面积很容易求出，形C的面积怎么求呢？

生9:可以用这样的方法：用大形的面积减去四个小直角三角形的面积，面积等于25。

生10:可以将其分割成四个全等的直角三角形和一个小形，面积等于25。

生11：还可以将其分割拼成如图所示的图形，面积等于25。

生12:还可以这样拼！

师:他们的做法都是正确的，一个用了"补"的方法，一个用了"割”的方法。在这个图形中有SA+SB=SC

问题4:下图中的形之间也有这个结论吗？

生13:有！

问题5:如果用a、b、c分别表示三个形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个形

所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？

生14:在直角三角形中，两直角边a、b与斜边c有a2+b2=c2

教师板书:

直角三角形।>a2+b2=c2

（设计意图：通过设计问题，让学生经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，发展学生的合情

推理能力和归纳概括能力。）

探究活动4

问题6:假如直角三角形的边长为“小数”呢？这个结论还成立吗？在网格纸上画出直角边长分

别为1.6个单位长度和2.4个单位长度的直角三角形，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的

理由。

生15:这个可能要借助计算机了!（大家笑）

生16:其实当直角边是“小数"的时候，可以转换成"整数"，可以细化网格，使网格的一个单位是两条

直角边的“公约数"！

师：你能跟大家讲讲你是怎么想到的吗？

生16:因为两条直角边是整数3、4时，我量了它也不是实际长度，只不够取了它们的比值而已！而网格

的单位长度是它们实际长度的"约数"。

生17:对！刚才3、4、5是一个直角三角形的三边，那它们长度的2倍也应该能画出直角三角形！

师：你们说的太好了！这可以我们后面要探索的问题！

（设计意图：通过上述探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边关系。设

计让学生动手画直角边是小数的情形，1锵究活动进一^深化从而扩展到更T殳的情况。使学

生体会数学探究由特殊到T殳,再到更TSH程。）

板书：勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。a2+b2=C2

a?+b2=c2

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（五）应用新知

1.求下列图中表示边的未知数X、V、Z的值。

2.求出下列直角三角形中未知边的长度。

3.有一个水池，水面是一边长为10尺的形，在水池正中央有一根新生

的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰

好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

（设计意图：由于学生对知识的理解程度有所差异，因此，习题的设