沪教版 八年级数学 二元一次方程组解法及其应用

生二元一次方程组解法及其应用涕

s课前测试

【题目】课前测试

如图所示，用8块相同的长方形地砖，拼成一个长方形图案（地砖间的缝隙不计），若长

方形的图案周长为3米，求每块地砖的长和宽分别是多少？

【答案】0.45米、0.15米

【解析】试题分析由于长方形图案周长是3米，我们可以设长方形地砖的长和宽分别是X、

V,那么第一个方程就是2x+（x+y）=1.5,现在就要想办法再找一个关于x和y的方程就

可以解决问题。我们观察图案可以发现：图案的长可以用2x来表示，也可以用x+3y来表

示，因此就有2x=x+3y,两个构成二元一次方程组求解即可。

解:「长方形的周长为3米，

二1殳每块长方形地废的长:为x,变为y.

'"）、♦=丫-31

依题营得<_，

=

k2>—.T-T1.5

_Bf.v=0.45

1.1=045

言：长方形地语的长为0,45m,宽为0.15m

故答案为：0.45米，0」5米.

总结：本题考查了二元一次方程组的应用，主要通过观察图形得到关于x和y的两个等量关

系建立方程组求解。

【难度】3

【题目】课前测试

车间里有90名工人,每人每天能生产螺母24个或螺栓15个,若一个螺栓配两个螺母，那

么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？

【答案】40人生产螺栓、50人生产螺母

【解析】试题分析:可以设x人生产螺栓,y人生产螺母，根据总人数可以列方程:x+y=90;

根据一个螺栓配两个螺母可以知道螺母的数量是螺栓数量的2倍，可以列方程2xl5x=24y,

然后联立解这个二元一次方程组即可。

解：设应分配x人生一提桂，y人生户播学.根据题字鬲：

Jx-1=90

12xl5.v=24r，

(>=40

y=50

答：应分配40人生产摆桂.50人生户援写才能使捷桂和矮写正好配齐.

总结：本题考查了二元一次方程组的应用，首先要读懂题目的意思，根据已知的条件分析找

到2个等量关系，列出方程组求解。

o知识定位

适用范围沪教版，六年级，成绩中等以及中等以下

知识点才既述二元一次方程组是在一元一次方程的基础上展开进行的，通过本节课的学习

同学们要掌握二元一次方程组的解法以及解应用题，充分将数学上所学的知识结合生活实践,

从中让学生体会到数学知识来源于生活、服务于生活，培养学生对数学的热爰，培养学生运

用数学的意识。

适用对象成绩中等以及中等以下

;主意事项大部分学生试听这个内容主要想听二元一次方程组的两种解法代入消元法

和加减消元法。

重点选讲：

r----------------------------

①二元一次方程

i

②二元一次方程组及其解法

③二元一次方程组的应用

念知识梳理

念知识梳理1:二元一次方程

回顾：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程。

根据以上定义，你能快速的给二元一次方程下个定义吗？

［曾：工园义;含有两个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做二元一次方程。

二元一次

nsw娟祖盥：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二

元一次方程的解。

&nsT^幅迪触：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体

叫做这个二元一次方程的解集。

⑥知识梳理2:二元一次方程组及其解法

1、由几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含

未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做一史就出

［曾：2、在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一狼忌逛恤鼠

解题常用方法—代△消元法、加减消元法

通过“代入”消去一个未知通过将两个方程相加(或相

数，将方程式转化为一元一减)消去一个未知数，将方

次方程，这种方法简称“代程式转化为一元一次方程，

入消元法”这种方法简称“加减消元法”

解法总结

(1)当方程组的两个方程中某一方程的未知数系数是绝对值为1的数时，则优先选择

代入消元法来做；

(2)当方程组中两介方程的某个未知数的系数相等或互为相反数时，则选择加减消元

法；

(3)当方程组中同一个未知数系数的绝对值均不相等时，可以把两介方程的两边各自

乘以一个适当的数，使某个未知数的系数的绝对值相等，选择加减消元法求解。

⑥知识梳理3:二元一次方程组的应用

籀用二元一次方程组解决实际问题的步骤如下：

数学的题

实际同趣

解

方

程

(

组

)

数学网题的解

实际例题的答案

念例题精讲

【题目】

题型1:二元一次方程

若关于X、y的方程2x"T+=1是二元一次方程，则m=,n=.

【答案】m=3、n=2

【解析】试题分析：二元一次方程一定满足有2个未知数，且未知数的次数都是1次，该

题有x、v两个未知数满足，所以要满足次数都是1次。令n-l=l,m-2=l，求出m和n

的值。

解：.■方程2xn"+ym-2=i是关于人y的二元一次方程，

.■.n-l=l,m-2=l,解得n=2,m=3.

故答室为：3;2.

总结：本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键。

【难度】3

题型1变式训练1:二元一次方程

已知（a-2）x+a2-3+y=l是关于x,y的二元一次方程，则a是值为.

【答案】a/2

【解析】试题分析：二元一次方程一定满足有2个未知数，且未知数的次数都是1次，该

题y已满足，X的次数是一次，要使X存在，那么它的系数不能为0即可。

解:依题号1导：a-2=0.

解得aw2.

故答室是：a=2.

总结：本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键。

【难度】3

【题目】

题型1变式训练2:二元一次方

x=a

若，是方程2x+y=0的一组解，求6a+3b+2的值。

[y=b

【答案】2

【解析】试题分析：把方程的解代入到方程里面，可以得到一个含有a、b的二元一次方程

2a+b=0,到这一步可以观察与最后所求代数式的关系，把6a+3b可以适当变形，从而求

出结果。

解：把卜.'代入方程2x+y=0.i®2a+b=0,

=b

.-.6a+3b+2=3(2a+b)+2=2.

故答室为：2.

总结：本题解题的关键是把方程的解代入原方程，运用整体代入的方法进行求解。

【难度】3

【题目】

题型2:二元一次方程组及其解法

已知x、y满足方程组;一?二:，求代数式(r)L

【答案】-8

【解析】试题分析：方程组利用代入消元法求出x和y的值，再代入代数式求解。

v-2,1=--l(D

解：方程坦

2x-3j=13②

由①得:x=2y-4③

把③代入②得：4y-8+3y=13,即y=3

把丫=3代入③得:x=2,

则耳式=-8.

总结：本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键。

【难度】3

【题目】

题型2变式训练1:二元一次方程组及其解法

231

—X——y=—

342

解方程组：中

4(x-y)-3(2x+y)=y

JQ----3-

【答案】8

y=-1

【解析】试题分析：先将分式方程转化为整式方程再求解。

JS.Y-9I=6(D

t-S.v-2Sr=310

①+②得，37y=37,

解得y=_],

把y=-l代入①得,8x-9x(-1)=6,

解得x=《，

所以，方程组的解是J-.

y=-l

总结：本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键。

【题目】

题型2变式训练2:二元一次方程组及其解法

2%+v=]+3/71

已知方程组<:,的解x、y满足x+y<l,且m为正数，求m的取值范围.

x+2y=l-m

【答案】0<m<|

【解析】试题分析：首先要明白这是关于x、y的二元一次方程组，所以要把方程里面的m

看作已知量，解出X和y都是含有m的式子，再根据x+y<l,m为正数，求出m的取值范

围。

解：①乂2■②,i®3x=l+7m

1一7加

x=­；——，

n

把x=代入①得"匚也+y=i+3m,

33

1-5Hl

y=F-，

.x+y<1,

——;——~——；——J1

33

-1

丁.

,/m>0,

总结：本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出m的取值范

围。

【难度】4

【题目】题型3:二元一次方程组的应用

在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，试求图中阴影

部分的总面积。

【答案】44cm2

【解析】试题分析：由于长方形的长和宽都是未知，所以设长为x,宽为y。观察图形利用

图中已给的数据列关于x和y的方程，整体来看矩形ABCD发现它的长可以用x+3y来表

示，它的宽可以用2y+6=x+y来表示，联立解二元一次方程组求解。

解：设小板:方形的长为x变为y,如图可却,

x+3y=14,①

x+y-2y=6,即x-y=6,②

①-②得4y=8,y=2，代入②得x=8.

因此,大更形ABCD的宽AD=6+2y=6+2x2=10.

迈形ABCD面积=14x10=140（平方星来：），

阴矍部分与面积=140-6x2x8=44（平方屋米）.

总结：本题考查了二元一次方程的应用以及学生对图表的阅读能力，根据题目的意思找到两

个等量关系列出方程组。

【难度】3

【题目】题型3变式练习1:二元一次方程组的应用

某市热带植物园的门票价格规定如下表所列，某校七年级（1）、（2）两个班学生共103

人去该园参观，其中七（1）班人数不少于30人且不多于50人，经预算，若两班都以班为

单位分别购票，则总共付1950元。

购袈人数1-50A51~100A100人以上

每人门票价20元18元15元

（1）若两班学生合在一起作为一个团体购票，则最多可以节省门票多少元？

（2）求两班各有多少名学生？

【答案】（1）405元；（2）七（1）班48名、七（2）班55名

【解析】试题分析：七（1）班人数不少于30人且不多于50人，单价是20元；因此也可

以推算出七（2）班人数在51—100人之间，单价为18元。

解：(1)最多可以节省：1950-103x15=405(元)

(2)设七年级(1)比有x名学生,七年级(2)比有y名字主，

因为下氏人数不少于30人且不多于50人，

所以依题号，得，.，

[20.V-181=1950

、•=4S

_.

(1=55

香：七年级(1)比有48名学生，七年级(2)JE有55名学生.

总结：本题考查了二元一次方程的应用，注意理解各段票价的意义，这是解题的关键。

【难度】3

【题目】题型3变式练习2:二元一次方程组的应用

一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管，当打开4个

进水管时，需要5小时注满水池；当打开2个进水管时，需要15个小时才能注满水池，现

需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个小进水管？

【答案】9

【解析】试题分析：先求出每个进水管1小时的注水量，排水管1小时的排水量。

解：设每个进水管1小时的注水量力a.排水管1小时的排水量为b,若唱两小时三善水池萼二-x个进水菖

'(4a-b)x5=(2a-j))xi5①

、(GT)X2=(447-6)*5②

由①得到4a-b=6a-3b,

即a=b③,

把③代入②得：2(ax-a)=5(4a-a),

即2ax=17a,好得:x=8.5,

由于水置不可能半个，所以至少聂9个进水管才能它两个小时内注尚水池.

答：至少开9个进水管.

总结：本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于要设进水量和出水量为未知常量。

【难度】3

【题目】兴趣篇1

小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤。

妈妈："今天买这两样菜一共花45元，上月买同重量的这两样菜只要36元"；

爸爸："报纸上说了萝卜的单价上涨50%,排骨单价上涨20%";

小明："爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？"

请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤).

【答案】萝卜3元/斤，排骨18元/斤

【解析】试题分析：设上月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤，表示出今天这两

种菜的单价，然后根据等量关系列方程。

解：役上月蕈卜的单价是x元/尸.排管的单价y元/尸.根据题字得:

3.V-2.1=36

\3(1-50°O)A-2(1-20°O)I=45'

解得：J'-2.

v=15

这天萝卜的单价是(1+50%)x=(1+50%)x2=3(元/斤),

这天排售的单价是(1+20%)y=(1+20%)xl5=18(元/斤),

有这天萝卜的聿价是3元/F,排等白聿斤'是18元/尸.

总结：本题考查了二元一次方程的应用，学会利用图中的已知条件、等量关系列方程。

【难度】3

【题目】兴趣篇2

辽南素以“苹果之乡”著称，某汽车公司计划装运A、B、C三种苹果去外地销售，按规定

每辆汽车只能装同一种苹果，且必须装满，下表所示为装运A、B、C三种苹果的重量及利

润。

苹昙品种ABC

每辆汽车运转量(吨)211.5

每吨羊臭可获利润(万元)574

(1)用10量汽车装运B、C两种苹果13吨到甲地销售，问装运B、C两种苹果的汽车各

多少量？

(2)公司计划用20辆汽车装运A、B两种苹果36吨到乙地销售(每种苹果不少于1车)，

则利润是多少？

【答案】(1)装运B苹果的汽车4辆，装运C苹果的汽车6辆

(2)188万元

【解析】试题分析：利润=售价-进价，理解表格数据，找出等量关系列方程。

解：(1)设装B苹果的三x里,装(:苹果的主y衰，

则x+y=10,x+1.5y=13,

解1屋x=4,y=6,

装运B苹果的汽车4辆,C苹果的汽车6辆:

(2)设装A苹果的主a璃，装B苹果的三b病.

则a+b=20,2a+b=36,

解得a=16,b=4,

则利润为10x16+7x4=188.

故利润为188万元.

爸：(1)装运B苹果的汽主4里,C苹果的汽主6班(2)利涓为188万元.

总结：本题考查了二元一次方程组的应用、利润的计算。难度不大，关键在于分析和理解。

【难度】3

【题目】备选试题1

乂+-1

解方程组：23

%+y=4：

x=-1

【答案】

y=5

【解析】试题分析：先将分式方程转化为整式方程再求解。

解：

3A-2.T=7(D

受理信

2.Y-2,T=S®

②-①得:-x=l,

x=-l,

把x=-l代入①中得:y=5

二方程组的解为：｛"二T

总结：本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键。

【难度】3

【题目】

备选试题2

x+y=3

如果关于x、y的方程组。的解是负数，求a的取值范围是（）

x-Zy=a-Z

A.-4<a<5B.a>5C.a<-4D.无角军

【答案】D

【解析】试题分析：用a的代数式分别表示x和y,然后根据x和y都是负数求解a的取值

范围。

解:将x=3-y代入第二个方程用a表示y得:y=-=^由于y<0;则a>5:

将y=3-x代入第二个方程用a表示x得:x=■由于x<0；则a<-4;综台以上a无解.

故选：D.

总结：本题考查了解二元一次方程组，根据x和y的取值范围确定a的取值范围。

【难度】3

【题目】备选试题3

x-y=k+2

方程组\,的解适合方程x+y=2,求k的值。

x+6y=k.

【答案】1

【解析】试题分析：这是关于x、y的二元一次方程组，所以把k看作是常量，常规的方法

是把x、y解出来分别用k表示，然后代入方程x+y=2求出k的值。但是细心观察一下，

两个方程做一个加法，可以直接得至”+y=k+l,所以k+l=2,这样更方便。

"卜一if-2①

解：4，，

.V-31»=2②

①+②得，x+y=k+l,

由题意得,k+1=2,

解答.k=l,

总结：本题考查了二元一次方程组的解，掌握加减消元法是解本题的关键。

【难度】3

【题目】

备选试题4

在某浓度的盐水中加入一杯水后，得到新盐水，它的浓度为20%,又在新盐水中加入与前

述一杯水的重量相等的纯盐合，盐水浓度变为33；%,那么原来盐水的浓度是.

【答案】25%

【解析】试