2024年中考数学压轴题型（全国）专题14 几何综合六种模型（教师版）

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。模型1-4.定边对定角（或直角）模型1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。题型一：两垂一圆构造直角三角形模型1．（2023•安溪县二模）如图，是半圆的直径，，与半圆相切于点，连接并延长，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若的半径为5，，求的长．【分析】（1）连接，，，根据相切等推出，，进而证明，（2）先证明，进而求出的长，根据第一问，求出．【解答】（1）证明：连接，，，与半圆相切于点，，在与中，，，，，，在中，，点为的中点，；（2），，，，，，，故的长为．【点评】本题考查圆相切，相似三角形的判定等知识，解题的关键是三角形相似推出线段成比例．2．（2023•平房区二模）如图1，内接于中，为直径，点在弧上，连接，．（1）求证：；（2）如图2，连接交于点，若，求证：；（3）在（2）的条件下，如图3，点在线段上，连接，交于点，若，，，求线段的长．【分析】（1）利直径所对的圆周角是直角求得，再利用同弧所对的圆周角相等即可证明；（2）根据圆周角定理及直角三角形的性质可证明，进而得出；（3）连接，，证出，由圆周角定理得出，设，则，，过点作交的延长线于点，求出，过点作于点，证出，得出，则，解方程求出，由勾股定理可得出答案．【解答】（1）证明：内接于中，为直径，，，，，．（2）证明：，，在中，，，，，，，．（3）解：连接，，垂直平分，，，，，，，为直径，，设，，，过点作交的延长线于点，，，，，，，，过点作于点，，设，，，，，，解得（舍去），，，，，．【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，正确添加辅助线是解决该问题的关键．3．（2022•蔡甸区校级模拟）如图，点是正方形边上一点（点不与、重合），连接交对角线于点，的外接圆交边于点，连接、．（1）求的度数；（2）若，求．【分析】（1）由正方形的性质得出，由圆周角定理可得出答案；（2）延长至点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】解：（1）四边形是正方形，，，；（2）延长至点，使，连接，，，四边形是正方形，，，，又，，，，，，，又，，，，．【点评】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2023•怀化）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．（1）求证：为的切线；（2）延长与的延长线交于点，求证：；（3）若，，求阴影部分的面积．【分析】（1）先由切线的性质得，然后依据“”判定和全等，从而得，据此即可得出结论；（2）由，可判定和相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；（3）连接，过点作于点，先证为等边三角形，再设，则，，在和在中，由勾股定理得，由此可求出的值，进而得的半径为4，然后根据即可得出答案．【解答】（1）证明：为的直径，为的切线，，即：，点在上，，在和中，，，，即：，又为的半径，为的切线．（2）证明：由（1）可知：，，又，，，即：．（3）解：连接，过点作于点，，，又，为等边三角形，，，设，显然，则，在中，，，由勾股定理得：，，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，，整理得：，，，，，，又，．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答（3）时，设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径．5．（2023•广陵区二模）如图，顶点为的二次函数图象经过原点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接，．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点的坐标是，求的面积；（3）当点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：；②若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．【分析】（1）根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再根据二次函数图象经过原点，求出的值，即可得出二次函数的关系式；（2）设直线的解析式为，将点代入，求出直线的解析式，再把代入，求出的坐标，根据点、关于点对称，求出的坐标，从而得出的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案．（3）①设对称轴交轴于点，作于点，由在二次函数图象上，设，再由的坐标，表示出直线的解析式，进而表示出，及的坐标，设对称轴交轴于点，作于点，构建相似三角形：．由相似三角形的对应角相等证得结论；②能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若为直角，由①得到，可得出三角形为等腰直角三角形，得到，将表示出的及代入，得到关于的方程，求出方程的解得到的值为0或，进而得到此时与重合，不合题意，故不能为直角；若为直角，利用勾股定理得到，由的坐标，利用勾股定理表示出，由及，利用勾股定理表示出，由及，利用勾股定理表示出，代入，得到关于的方程，求出方程的解得到的值为或0，然后判断是否为直角；若为直角，则有，由相似得比例，将各自的值代入得到关于的方程，求出方程的解得到的值为4，此时与重合，故不能为直角，综上，点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，不能为直角三角形．【解答】（1）解：设二次函数的表达式为，把点代入表达式，解得．二次函数的表达式为，即；（2）解：设直线为，将代入，解得，．当时，．．点、关于点对称，．．；（3）①证明：设点的坐标为，其中，设直线为，将代入，解得．．当时，．．．设对称轴交轴于点，作于点，则，．，，，．则，．．又，．．②能为直角三角形，理由如下：解：分三种情况考虑：若为直角，由①得：，为等腰直角三角形，，即，整理得：，即，解得：，此时点与点重合，故不存在点使为直角三角形；若为直角，根据勾股定理得：，，，，，整理得：，解得：或或（舍去），当时，点与原点重合，故不能为直角，当，即，时，为第四象限点，成立，故能为直角；若为直角，可得，且，，又，且，，，，即，整理得：，解得：，此时与重合，故不能为直角，综上，点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，能为直角三角形，当，即时，为第四象限的点成立．【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题（3）中的第②小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不成立．6．（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图．【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．1号轿厢测量情况4号轿厢测量情况10号轿厢测量情况【任务一】初步探究，获取基础数据（1）如图3，请连接、，则45；（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号）【任务二】推理分析，估算实际高度（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，【分析】（1）由题可知，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢，因此；（2）过点作于点，由题可知，点此时的高度为最高为128米，半径为60米，因此点高度为68米，根据，，可得，即可；（3）连接，，，由素材1，素材3可得，，则，过点作于点，令，由素材2，3得：，，可得，即，因此点的高度为：（米，即可．【解答】解：任务一：（1）连接、，如下图所示：“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢，，故答案为：45．（2）过点作于点，点此时的高度为最高为128米，半径为60米，点高度为68米，，，，点的高度为米，答：点的高度为米．任务二：（3）连接，，，由素材1，素材3可得，，则，过点作于点，令，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：，，，即，点的高度为：（米，答：写字楼的实际高度约为82米．【点评】本题考查的是三角形的综合体，熟练掌握勾股定理和余弦定理的运用是解题的关键．7．（2022•江北区一模）如图1，四边形是的内接四边形，其中，对角线、相交于点，在上取一点，使得，过点作交于点、．（1）证明：．（2）如图2，若，且恰好经过圆心，求的值．（3）若，，设的长为．①如图3，用含有的代数式表示的周长．②如图4，恰好经过圆心，求内切圆半径与外接圆半径的比值．【分析】（1）利用等腰三角形的性质与圆周角定理解得即可；（2）利用垂径定理和（1）的结论求得，的长，通过证明，利用相似三角形的性质即可得出结论；（3）①利用垂径定理和（1）的结论求得，的长，再通过证明和，利用相似三角形的性质求得，，的关系式，利用三角形周长的意义解答即可；②利用勾股定理求得，则的外接圆半径可得，设内切圆半径为，利用①中的结论求得，和的周长，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可求得内切圆半径．【解答】（1）证明：，．．，．（2）解：，．为的直径，，．，，，．．，．，．．，．．，．．．（3）解：①，，．，．．．，，．．．，．，，．．．．的周长．②为的直径，．．外接圆半径为．在中，．由①的结论可得：，，的周长，．设内切圆半径为，的周长．．．内切圆半径与外接圆半径的比值．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆半径和内切圆半径，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的性质是解题的关键题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型1．（2022•开州区模拟）如图，在等腰中，，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，点恰好是的中点，连接，求证：；（3）如图3，若，连接，当取得最小值时．请直接写出的值．【分析】（1）过点作于点，得，在等腰直角三角形中，求出，，再证明也是等腰直角三角形，最后在中，求出即可；（2）过点作于交点，过点作交于，得出为等腰直角三角形，再证明，，最后在等腰中，求出与关系；（3）如图中，取的中点，连接，，则是等腰直角三角形．首先证明点在直线上运动，如图中，取的中点，连接，作于点，于点，交于点．再证明当点与重合时，的值最小，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点作于点，，在等腰直角三角形中，，，，为中点，，，，，也是等腰直角三角形，，，在中，．（2）如图，过点作于交点，过点作交于，为等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，在．和中，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是的中点，，，又在等腰中，，．（3）如图中，取的中点，连接，，则是等腰直角三角形．，，，，，，，，，共线，点在直线上运动，如图中，取的中点，连接，作于点，于点，交于点．，，，当点与重合时，的值最小，，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了几何变换的综合应用，解题关键是正确作出辅助线，能判定出全等三角形，解直角等腰三角形．2．（2023春•璧山区校级期中）如图，直线经过点和两点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点与交于点，点的纵坐标为2，连接．（1）求直线的解析式；（2）若点在轴的负半轴上，且的面积为10，求的周长；（3）已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标．【分析】（1）根据给出的、两点坐标，代入表达式，即可求出的解析式；（2）根据可以得出的面积和的面积相等，然后过作轴，可以求出的长，然后得到的长，通过勾股定理，可以得到的长，即可得到的周长；（3）根据题意，当时，可得到两个点，通过点的纵坐标长可以得到对应的点坐标，当，可以得到一个点坐标，通过等腰三角形，可以得到点坐标，当，可知点在的垂直平分线上，通过等腰三角形，导边可以得出点的坐标．【解答】解：（1）将点和代入中，得：，解得：，故的解析式为：；（2）将沿直线对折使点和点重合，，设，则，在中，，，，，点的纵坐标为2，过作轴交轴于点，，，，，，，；（3）以点为圆心，长为半径作圆，交轴于、两点，以点为圆心，长为半径作圆，交轴于点，在轴上找一点，使，，，，，，，，，，在中，，，，设，则，在中，，，，，故点坐标为，，，．【点评】本题考查了求一次函数解析式的方法，考查了一次函数的应用，考查了两元一线的模型应用，通过折叠求出对应边相等，然后通过勾股定理来求对应的边长．题型三：胡不归模型1．（2023•湘潭县校级三模）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为轴上一个动点，连接，求的最小值；（3）连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式；（2）对条件提取系数10，再利用胡不归模型；（3）构造和相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．【解答】解：（1）抛物线与轴相交于点，，，解得，抛物线的解析式为；（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，令，则，，在中，，，，，在中，，，，，，的最小值为．（3）如图，，，，是等腰直角三角形，，，过点作，垂足为，，，设，则，，又，，，，．由对称性得，，也满足题意，，或，．【点评】本题考查了二次函数用待定系数法求表达式，胡不归模型等．第（3）问关键是构造和相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．2．（2023•徐州二模）抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．（1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；（2）如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值；（3）如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）证明是等腰直角三角形，则，进而求解；（3）证明，得到故当、、共线时，为最小，进而求解．【解答】解：（1）与轴交于点．将代入得，点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：．故抛物线的函数表达式为：①，即顶点的坐标为；（2）设直线与轴交于点，令，得，故点的坐标为，，为等腰直角三角形，如图1，过点作轴，交直线于点，则，是等腰直角三角形，，设点，则点，，的最大值为；（3）如图2，设抛物线与轴的另外一个交点为，抛物线和轴的交点为，连接，则，则，过点作于点，延长交抛物线于点，则此时，，故当、、共线时，为最小，，，，即，则，故直线的表达式为：②，联立①②得：，解得：（舍去）或，则点的坐标为：，，由点、的坐标得，．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、胡不归问题等，有一定的综合性，难度适中．3．（2023•丘北县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上方抛物线上一动点，点是轴上的动点，连接、，当的面积最大时，求的最小值．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过点作轴交于于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值4，此时，过点作，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，则为等腰直角三角形，可知，求出的长即为所求．【解答】解：（1）将、代入，，解得，抛物线的解析式为；（2）当时，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，过点作轴交于于点，设，则，，，当时，的面积有最大值4，此时，过点作，过点作交于点，交轴于点，，，，，过点作交于点，为等腰直角三角形，，，设与交于点，直线与轴交于点，过点作交于点，的面积为4，，解得，与平行，直线的解析式为，，，，，，的最小值为．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，利用胡不归求最短距离是解题的关键．4．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．（1）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定点的位置，可设点，则点，可得，根据二次函数的性质得时，取到最大值，此时取到最大值，此时，此时，在轴上找一点，，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点，，直线的解析式为：，从而得到直线的解析式为：联立解出点，得的最小值即为的长，且最后得出；（2）由题意可得出点，，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取的中点，连接，则，此时，，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点，则用，分四种情况求解．【解答】解：（1）如图1抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点令解得：，，令，解得：，，，点为抛物线的顶点，且，点的坐标为直线的解析式为：，由题意，可设点，则点当时，取到最大值，此时取到最大值，此时，此时，，，在轴上找一点，，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点，，直线的解析式为：，且点，，直线的解析式为：点，的最小值即为的长，且；（2）由（1）知，点，把点向上平移个单位得到点点在中，，，取的中点，连接，则，此时，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点①如图2点落在轴的负半轴，则，过点作轴交轴于点，且则，，解得：在中根据勾股定理可得点的坐标为，；②如图3，当点落在轴的正半轴上时，同理可得，③如图4当点落在轴的正半轴上时，同理可得，④如图5当点落在轴的负半轴上时，同理可得，．综上所述，所有满足条件的点的坐标为：，，，，，，，．【点评】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能力的培养及直角三角形的中线性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5．（2023•江城区三模）如图，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，直线经过点、，点是线段上的一动点（不与点，重合）．（1）求，两点的坐标；（2）当点，关于抛物线的对称轴对称时，求的最小值及此时点的坐标；（3）连接，当与相似时，求出点的坐标．【分析】（1）在中，令，解得或，即得，；（2）过作轴于，交于，抛物线的对称轴为直线，在中，得，，可得，在中，，故最小，即是最小，的最小值即为的长，根据点，，关于抛物线的对称轴直线对称，即得，即的最小值为，由，，得直线解析式为，可求出；（3）过作轴于，过作轴于，与相似，分两种情况：①当时，，可得，由，即得，，②当时，，得，同理可得，．【解答】解：（1）在中，令得：，解得或，，；（2）过作轴于，交于，如图：抛物线的对称轴为直线，在中，令得，，，，，在中，，最小，即是最小，由垂线段最短可知的最小值即为的长，点，，关于抛物线的对称轴直线对称，与关于抛物线的对称轴直线对称，，，，即的最小值为，由，，得直线解析式为，在中，令得，；（3）过作轴于，过作轴于，如图：，，，，，，，与相似，分两种情况：①当时，，，，轴，，，，即，，，，，，②当时，，即，，同理可得，，，，，，，综上所述，当与相似时，坐标为，或，．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及抛物线与坐标轴交点坐标，“胡不归”模型，相似三角形的判定与性质等知识，解题得关键是画出图形，由相似三角形对应边成比例，求出相关线段的长度．6．（2024•宿迁模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．（1）填空：，点的坐标是；（2）连接，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；（3）在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入，求得，再令，解方程即可得出答案；（2）将（1）中所得的解析式写成顶点式，则可得点的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，设点，，利用等角的三角函数值相等得出，利用二次函数的性质求出使的周长取得最大值时的值，在轴上取点，，则，过作的垂线段交轴于点，可得，连接，，设交轴于点，利用的面积计算出即可；（3）由（2）求出点的坐标，取的中点，△在旋转过程中，只需使的中点在坐标轴上即可使得，分四种情况计算即可．【解答】解：（1）将点代入，得，解得，，，当时，，解得，，，点的坐标是；故答案为：，；（2），点，点，设直线的解析式为，将，代入得：，解得，，，设点，，由图形可知，，，，，，当时，最大，此时，，在轴上取点，，则，过作的垂线段交轴于点，此时，，当点，，三点共线时，有最小值为，而此时点不在线段上，故不符合题意，的最小值为的长度，点，点，，当的周长取得最大值时，的最小值为；（3）存在．由（2）可知，点，将点向下平移个单位得到点，点，在中，，，则，取的中点，则有，△在旋转过程中，只需使的中点在坐标轴上即可使得，如图所示，当点在轴正半轴上时，过点作轴，垂足为，，，，，设，则有：，，则点，，同理可知，当点在轴正半轴上时，点，；当点在轴负半轴上时，点，；当点在轴负半轴上时，点，．综上，点的坐标为，，，，，，，．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、直角三角形的性质与解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2023•南山区三模）如图，在中，，，经过点，且圆的直径在线段上．（1）试说明是的切线；（2）若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；（3）设点是线段上任意一点（不含端点），连接，当的最小值为6时，求的直径的长．【分析】（1）连接，如图1，要证是的切线，只需证到即可；（2）过点作于，连接，如图2，在中运用三角函数即可解决问题；（3）作平分，交于，连接、、，如图3，易证四边形是菱形，根据对称性可得．过点作于，易得，从而有．根据垂线段最短可得：当、、三点共线时，（即最小，然后在中运用三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）连接，如图1，，，，，，是的切线；（2）过点作于，连接，如图2，由题可得．在中，，，，；（3）作平分，交于，连接、、，如图3，则．，、是等边三角形，，四边形是菱形，根据对称性可得．过点作于，，，，．根据垂线段最短可得：当、、三点共线时，（即最小，此时，则，．当的最小值为6时，的直径的长为．【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把转化为是解决第（3）小题的关键．题型四：阿氏圆模型1．（2024•长沙模拟）阅读材料，回答下列小题．阅读材料调和是射影几何重要不变量交比的一种特殊形式，早在古希腊，数学家们便发现了一组具有特殊比例关系的点列：调和点列．我们定义：若一直线上依次存在四点，，，，满足，则称，，，为调和点列．从直线外一点引射线，，，，则称，，，为调和线束．（1）如图1，过圆外一点作圆的切线，，并引圆的割线，设与交于点．①求证：，，，是调和点列．②求证：．阅读材料2：阿波罗尼斯圆：对于平面上的两定点，和平面上一动点，若到和的距离之比为定值，则点的轨迹是一个圆，我们称该圆是点关于的“阿氏圆”．（2）根据阅读材料1，2，回答①②小题．（本题图未给出）①证明阿波罗尼斯圆，并确定该圆圆心的位置．②若点关于的“阿氏圆”交于，，求证：，，，为调和点列．（3）如图2，是平行四边形，是三角形的重心，点，在直线上，满足与垂直，与垂直．求证：平分．【分析】（1）根据题目变成分式，转化成三角形面积之比，利用正弦定理转化得出面积之比即为所求；（2）①建立平面直角坐标系，计算出动点的轨迹方程，易证明阿氏圆并求得圆心位置；②利用角平分线性质逆定理，利用反证法证明；（3）利用阿氏圆结论证明是的角平分线．【解答】解：（1）为解答过程简洁，记，，，，如图，①证明：，是圆的切线，由切线长定理，得，由弦切角定理，得，，在中，，，在和中，，，，在和中，，，，，即，，由正弦定理，，，即，，，，即，，，，是调和点列；②证明：由①知：，；（2）①以为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设，，，，，则由题意，得，化简，得，即，显然，故点的轨迹是以，为圆心，为半径的圆，其中且，②证明：如图，（反证法）不妨设，由三角形内、外角平分线定理的逆定理，得，分别为，的角平分线，，即点轨迹是以为直径的圆，故在“阿氏圆”中，，，，为调和点列；（3）连接交于点，是平行四边形，是，的中点，是三角形的重心，点在上，与垂直，与垂直，，，，，四点共圆，且外接圆以为直径，由相交弦定理，得，①取的中点，由，，，关于点对称，，②由①②得：，，，，四点共圆，又，，即平分．【点评】巧妙利用三角形中边角关系变换关系求得题目已知条件，即可证明调和点列；阿氏圆的证明需要学生有敏感的数形结合思维，熟练掌握角平分线性质等，掌握反证法往往可以使得证明更加简便．题目条件较复杂，需要学生能看出题中的隐圆．题目具有挑战性，属于难题．2．（2024•莱芜区校级模拟）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得△，连接、，当最小时，求．【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设，利用中位线定理，解直角三角形，用的代数式表示和，即可得与的数量关系；（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定（4）的位置，继而求得相关三角形的面积．【解答】解：（1）过作，垂足是，如图将绕点顺时针旋转得到，，，，，，在直角中有，，，在直角中，，，；（2）线段与线段的数量关系为：，证明：延长，过作垂直于的延长线，垂足是，连接，，过作于，如图：，由旋转可知，，，，，四点共圆，，，，，，在和中，，，，，在等腰中，由三线合一可知是的中线，，，是的中点，是的中点，是的中点，是的中位线，，，，，，，，，设，则，在中，，，，，，是等腰三角形，，在中，，，，，在中，，，，又，，；（3）设，则，取的中点，连接，，，连接，如图3，由旋转可知，，，，又，△，，，根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是最小，此时、、共线，即在线段上，设此时落在处，过作于，连接，如图4，，分别是，的中点，是的中位线，，，，，四边形是矩形，，，又，设，在直角三角形中，，，解得．此时．【点评】此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．3．（2023•万州区模拟）如图，在等腰直角三角形中，，过点作交过点的直线于点，，直线交于．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，过点作交于点，交的延长线于，取线段的中点，连接，求证：．（3）在（2）的条件下，过点作交于点，若点是线段上任一点，连接，将沿折叠，折叠后的三角形记为△，当取得最小时，直接写出的值．【分析】（1）过点作于点，过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形性质可得，再证得四边形是矩形，可得，利用直角三角形性质：角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案；（2）利用解直角三角形可得，，利用同角的余角相等可得，，得出，再证得，得出，由，即可证得结论；（3）由旋转可得，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，以为圆心，为半径作，连接，过点作于，连接，，利用解直角三角形可得出，又，证得△，得出，根据，可得当且仅当、、在同一条直线上时，取得最小值，再运用解直角三角形即可求得答案．【解答】（1）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图1，则，，，，是等腰直角三角形，，，，，，四边形是矩形，，；（2）证明：如图2，，，，，，，，，，，，，，，，点是的中点，，，，在和中，，，，，．（3）解：将沿折叠，折叠后的三角形记为△，，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，以为圆心，为半径作，连接，过点作于，连接，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，点是斜边的中点，，，，，，，又，△，，，，当且仅当、、在同一条直线上时，取得最小值，，，，，在中，，．【点评】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，矩形的判定和性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．4．（2022•从化区一模）已知，是的直径，，．（1）求弦的长；（2）若点是下方上的动点（不与点，重合），以为边，作正方形，如图1所示，若是的中点，是的中点，求证：线段的长为定值；（3）如图2，点是动点，且，连接，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间的最小值．【分析】（1）是的直径，可得到是等腰直角三角形，从而得道答案；（2）连接、、、，首先利用，，证明、、共线，再证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；（3）“阿氏圆”的应用问题，以为圆心，为半径作圆，在上取点，使，连接，过作于，连接交于，先证明，最小，即是最小，此时、、共线，再计算的长度即可．【解答】解：（1）是的直径，，，是等腰直角三角形，，，；（2）连接、、、，如图：是等腰直角三角形，四边形是正方形，，，，又，，，，而是的直径，，，，、、共线，四边形是正方形，是等腰直角三角形，是的中点，，即是直角三角形，是的中点，，即为定值；（3）以为圆心，为半径作圆，在上取点，使，连接，过作于，连接交于，如图：一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，运动时间，，，，，又，，，，最小，即是最小，此时、、共线，即与重合，最小值即是的长度，在中，，，，，，中，，点的运动时间的最小值为5．【点评】本题考查圆、等腰直角三角形、正方形等综合知识，解题的关键是构造，把求最小的问题转化为求的长度．5．（2022•市中区校级模拟）如图，在与中，，，，点在上．（1）如图1，若点在的延长线上，连接，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点与点重合，且，，将绕点旋转，连接，点为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值；（3）如图3，若点为的中点，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．【分析】（1）过作于，过作于，结合字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案；（2）第二问考查隐圆问题与阿氏圆，取的中点，连接，在上取，连接，构建相似，转化线段即可得到答案；（3）过点作平行线，点作平行线交于点；过点作于点，过点作，证明，设，则，，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算．【解答】解：（1）线段、、之间的数量关系：，证明如下：过作于，过作于，如图：，，，，，且，，，，，，，点、、、四点共圆，，，，，，和为等腰直角三角形，，，；（2）取的中点，连接，在上取，连接，如图：为的中点，为中点，是的中位线，，，，，，而，，又，，，，，要使的最小，需最小，当、、三点共线时，的最小，的最小值是，如图：，，，的最小值是．（3）过点作平行线，点作平行线交于点；过点作于点，连接，连接交于点，过点作；如图：，，即，且，，，，，，，，由，设，则，；，，，四边形为平行四边形，，，为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，，，，，，，；中，，，，设，，，中，，，，，，．【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，中间穿插了不同的模型，对模型的运用与转化能力要求很高，难度较大，属于压轴题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形．题型五：瓜豆原理模型（点在直线上）1．（2022•沈阳）【特例感知】（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．①若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是；②若以为斜边作，，三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）利用旋转性质可证得，再证明，即可得出结论；（3）①过点作，使，连接，，，，先证得，得出，即点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，最大值为；②如图4，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，可证得，得出，再求出、，即可求得；如图5，在下方作，过点作于点，连接，可证得，得出，再由勾股定理即可求得．【解答】解：（1）．理由如下：如图1，和是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，故答案为：；（2）仍然成立证明：如图2，，，即，在和中，，，；（3）①过点作，使，连接，，，，和都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，最大值为，故答案为：；②如图4，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，，，，，，在中，，，，，，，在中，，；如图5，在上方作，过点作于点，连接，则，，，，，，，，；综上所述，的值为或．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，瓜豆原理等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．2．（2021•武进区模拟）如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式．（2）当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标．（3）如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由．【分析】（1）将，点坐标代入即可求出二次函数的表达式，（2）分类讨论：当在轴上方和在轴下方，运用高相等的两个三角形的面积比等于底边比这一概念进行求解，（3）找出点的运动轨迹为平行于轴的一条直线即可．【解答】解：（1）二次函数经过，，代入得，解得，所以二次函数的表达式为．（2）①如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可得，，，，，设点，，，，，，，点的坐标可表示为，，，为二次函数与轴交点，，可得的解析式为，在上，，解得或．②如图所示，当在轴下方时，同理①可求出点的横坐标为或（舍去），，当点横坐标为时，在抛物线的段，综上所述，点的横坐标为或或．（3）如图所示，以为底在轴上方作等腰直角三角形，连接，过点作轴于点，和均为等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，两条平行线之间的距离相等，在运动时，到的距离保持不变，其距离都等于的长，在等腰直角三角形中，，，．综上所述，的面积不变，为4．【点评】本题是二次函数综合题，第一问考查了二次函数的解析式的求法，第二问是二次函数和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而表示出点的坐标，第三问则是利用了瓜豆原理的思想进行求解．题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）1．（2023•崖州区一模）若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．①点的轨迹是圆（填“线段”或者“圆”；②的最小值是；（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为．【分析】（1）①连接、，证明，得出，即点到点的距离等于定长，即可得出答案；②由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上时，得出最小；（2）以为边长作等边，连接，证明，得出，当、、三点共线时，有最大值；（3）点的轨迹是一个圆，求出和圆的半径，即可解决问题．【解答】解：（1）①连接、，如图1所示：是等腰直角三角形，，，由旋转的性质得：，，，在和中，，，，即点到点的距离等于定长，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；②是等腰直角三角形，，，当点在线段上时，最小；故答案为：；（2）以为边长作等边，连接、，如图2所示：和是等边三角形，，，，，在和中，，，，当、、三点共线时，有最大值；（3）如图3所示：点的轨迹是以为直径的一个圆，则，，则是梯形的中位线，，连接，则，，，，△是等腰直角三角形，，，；故答案为：．【点评】本题是圆的综合题目，考查了轨迹、圆的定义、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最值问题；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2024•昆山市一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．（1）求抛物线解析式；（2）若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点的坐标；（3）如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于、两点在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使、、三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围．【分析】（1）将点，代入，即可求解；（2）设，先求，则，再由题意可得，即可求或；（3）将点绕点顺时针旋转到，连接，，，可证明，则可得在以为圆心，2为半径的圆上运动，又由，，则，所以的最大值为，的最小值为，即可求．【解答】解：（1）令，则，，令，则，，将点，代入，得，，；（2）设，令，则，解得或，，，，的面积等于面积的，，解得或，或；（3）将点绕点顺时针旋转到，连接，，，，，，，，，，，，在以为圆心，2为半径的圆上运动，，，，，，，的最大值为，的最小值为，．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用瓜豆原理是解题的关键．3．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．已知点，，．