专题35分布列与期望及决策问题(原卷版+解析)

专题35分布列与期望及决策问题【高考真题】1．(2022·全国甲理)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．1．解析(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．(2)依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望2．(2022·北京)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）2．解析(1)由频率估计概率可得，甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，.∴X的分布列为X0123P∴(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．【知识总结】离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则，(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(4)D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi.(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．【题型突破】1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的．(1)求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率；(2)记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个)，求X的分布列与均值．2．有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立．(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率；(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求E(X)．3．某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2000元现金．其他不中奖，没有奖金．(1)求员工A中二等奖的概率；(2)设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；(3)员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望．4．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为eq\f(1,2)，m，eq\f(1,4)．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为eq\f(1,12)．(1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；(2)三个团队有X个在两年内出成果，求X的分布列和均值．5．随着社会的发展，一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并均已通过了资料初审环节．假设甲通过笔试、面试的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)；乙通过笔试、面试的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(1,2)；丙通过笔试、面试的概率与乙相同．(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：参与环节笔试面试补贴(元)100200记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和均值．6．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．7．下象棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛．现某班有12位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛(规则采用“中国数目法”，没有和棋)，即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下(每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3∶0，3∶1，3∶2三种赛式)．3∶0或3∶13∶2胜者积分3分2分负者积分0分1分9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分．第10轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为eq\f(2,3)，丙获胜的概率为eq\f(1,3)，各局比赛结果相互独立．(1)①在第10轮比赛中，甲所得积分为X，求X的分布列；②求第10轮结束后，甲的累计积分Y的均值；(2)已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛(“提前一轮”即比赛进行10轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．8．一款小游戏的规则如下：每轮游戏都要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个都是红球”出现3次，则获得200分；若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次，则获得20分；若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．(1)求一轮游戏中获得20分的概率；(2)很多玩过这款小游戏的人发现，很多轮游戏后，所得的分数与最初的分数相比，不是增加而是减少了，请运用概率统计的相关知识解释这种现象．9．“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为eq\f(2,3)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2)，每局比赛结果相互独立．(1)求4局比赛决出胜负的概率；(2)设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望．10．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？11．(2021·新高考全国Ⅱ)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3).(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)＞1时，p＜1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．12．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验．对于两组白鼠，当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8.①求证：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．13．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．14．已知某高中高三年级共有20个班，共1000人，其中男生600人，女生400人．现在从该校高三学生中抽取10%的学生进行玩游戏时间的调查．设置方案如下：一个罐子中放置了大小、质地相同的20个红球，20个白球，被抽查的同学首先从该罐子中随机抽取一个球，看过颜色后放回，若抽到红球回答问题1，若抽到白球回答问题2，学生只需要对一个问题回答“是”或者“否”即可．问题1：你的性别是否为男生？问题2：你周末打游戏的时长是否在3小时及以上？(1)应该抽取多少学生？若用分层抽样的抽样方法，如何抽取这10%的学生？(2)最终有40张答卷回答“是”，请估计该高中高三年级有多大占比的学生周末打游戏的时长在3小时及以上．15．某公司为了切实保障员工的健康安全，决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查，为此需要抽取全公司m人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血样分别化验，这时需要化验m次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血样混合在一起进行化验，如果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验eq\f(1,k)次)；否则，呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血样总共需要化验k＋1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的化验结果相互独立．(1)设方案②中，某组k个人中每个人的血样化验次数为X，求X的分布列；(2)设m＝1000，p＝0.1，试求方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(结果保留整数)16．某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格(元/件)使用寿命(月)甲10007或8乙4003或4已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为eq\f(1,2)，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为eq\f(1,2)．(1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；(2)现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用)．试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？17．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．18．某公司为了切实保障员工的健康安全，决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查，为此需要抽取全公司m人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血样分别化验，这时需要化验m次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血样混合在一起进行化验，如果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验eq\f(1,k)次)；否则，呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血样总共需要化验k＋1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的化验结果相互独立．(1)设方案②中，某组k个人中每个人的血样化验次数为X，求X的分布列；(2)设m＝1000，p＝0.1，试求方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(结果保留整数)19．某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有eq\f(1,4)的概率出现自动运行故障．此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该维护人员无法对其他设备进行维护．工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到维护人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立．(1)若安排1名维护人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；(2)设该工厂有甲、乙两个车间．甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2名维护人员，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2名维护人员共同负责维护．若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较甲、乙两个车间生产稳定性的高低．20．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度．为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r(0<r<1)，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)当r＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更换设备硬件的总费用为8万元；方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护的总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策．专题35分布列与期望及决策问题【高考真题】1．(2022·全国甲理)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．1．解析(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．(2)依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望2．(2022·北京)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）2．解析(1)由频率估计概率可得，甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，.∴X的分布列为X0123P∴(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．【知识总结】离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则，(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(4)D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi.(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．【题型突破】1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的．(1)求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率；(2)记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个)，求X的分布列与均值．1．解析(1)4个班每个班各选一首红歌基本事件总数为54，“恰有2个班选择《唱支山歌给党听》”的事件A有Ceq\o\al(2,4)·42个基本事件，从而“恰有2个班选择《唱支山歌给党听》”的概率为P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4)·42,54)＝eq\f(96,625)．(2)随机变量的所有可能值为1，2，3，4，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5),54)＝eq\f(1,125)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3)＋\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))))A\o\al(2,2),54)＝eq\f(28,125)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(2,4)A\o\al(3,3),54)＝eq\f(72,125)，P(X＝4)＝eq\f(A\o\al(4,5),54)＝eq\f(24,125)，故X的分布列为X1234Peq\f(1,125)eq\f(28,125)eq\f(72,125)eq\f(24,125)∴X的均值E(X)＝1×eq\f(1,125)＋2×eq\f(28,125)＋3×eq\f(72,125)＋4×eq\f(24,125)＝eq\f(369,125)．2．有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立．(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率；(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求E(X)．2．解析(1)记“三个小球恰在同一个盒子中”为事件A，则P(A)＝eq\f(4,43)＝eq\f(1,16)．(2)记“三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同”为事件B，其中，装有小球的三个盒子中不含4号盒子为事件B1，含4号盒子为事件B2，则P(B1)＝eq\f(2×1,43)＝eq\f(2,64)＝eq\f(1,32)，P(B2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)×（1＋2×1）,43)＝eq\f(9,64)．∵事件B1，B2互斥，∴P(B)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(11,64)．(3)X的所有可能取值为1，2，3，4，则P(X＝1)＝eq\f(43－33,43)＝eq\f(37,64)，P(X＝2)＝eq\f(33－23,43)＝eq\f(19,64)，P(X＝3)＝eq\f(23－13,43)＝eq\f(7,64)，P(X＝4)＝eq\f(1,43)＝eq\f(1,64)，∴随机变量X的分布列为X1234Peq\f(37,64)eq\f(19,64)eq\f(7,64)eq\f(1,64)∴E(X)＝1×eq\f(37,64)＋2×eq\f(19,64)＋3×eq\f(7,64)＋4×eq\f(1,64)＝eq\f(25,16)．3．某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2000元现金．其他不中奖，没有奖金．(1)求员工A中二等奖的概率；(2)设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；(3)员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望．3．解析(1)记事件“员工A中二等奖”为M，有放回依次取三个球的取法有103种．中二等奖取法有2Ceq\o\al(2,10)＝90种，则P(M)＝eq\f(90,103)＝0.09．(2)X的可能取值为0，2000，5000，10000．P(X＝2000)＝eq\f(Ceq\o\al(3,10),103)＝0.12；P(X＝5000)＝eq\f(90,103)＝0.09；P(X＝10000)＝eq\f(10,103)＝0.01；P(X＝0)＝1－P(X＝2000)－P(X＝5000)－P(X＝10000)＝0.78．则X的分布列为X10000500020000P0.010.090.120.78(3)由(2)知，员工A中奖奖金的期望E(X)＝10000×0.01＋5000×0.09＋2000×0.12＋0×0.78＝790(元)，员工B每次抽奖奖金与员工A一样为790元．∴员工B两次抽奖中奖奖金的期望为790×2＝1580(元)．4．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为eq\f(1,2)，m，eq\f(1,4)．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为eq\f(1,12)．(1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；(2)三个团队有X个在两年内出成果，求X的分布列和均值．4．解析(1)设吉利研究所出成果为事件A，北汽科研中心出成果为事件B，长城攻坚站出成果为事件C．若三个团队中只有长城攻坚站出成果，则P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(1,12)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))(1－m)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)，解得m＝eq\f(1,3)．吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率为P＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)．(2)X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝P(A)P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，P(X＝2)＝P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24)，所以X的分布列为X0123Peq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,24)＝eq\f(13,12)．5．随着社会的发展，一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并均已通过了资料初审环节．假设甲通过笔试、面试的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)；乙通过笔试、面试的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(1,2)；丙通过笔试、面试的概率与乙相同．(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：参与环节笔试面试补贴(元)100200记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和均值．5．解析(1)设事件A表示“甲被企业M正式录取”，事件B表示“乙被企业M正式录取”，事件C表示“丙被企业M正式录取”，则P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(B)＝P(C)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，设事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取”，则P(D)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(10,27)，所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率P＝1－P(D)＝1－eq\f(10,27)＝eq\f(17,27).(2)X的所有可能取值为300,500,700,900，P(X＝300)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18)，P(X＝500)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,18)，P(X＝700)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(X＝900)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).所以X的分布列为X300500700900Peq\f(1,18)eq\f(5,18)eq\f(4,9)eq\f(2,9)E(X)＝300×eq\f(1,18)＋500×eq\f(5,18)＋700×eq\f(4,9)＋900×eq\f(2,9)＝eq\f(2000,3).6．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．6．解析用Ai表示事件“设备在一天的运转中，部件i需要调整”，i＝1，2，3.(1)用A表示事件“设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整”，则A＝A1A2，且A1，A2相互独立．从而P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝(1－0.1)×(1－0.2)＝0.72，P(A)＝1－P(A)＝0.28.所以部件1，2中至少有1个需要调整的概率为0.28.(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，P(X＝1)＝P(A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，P(X＝2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝3)]＝1－(0.504＋0.398＋0.006)＝0.092.所以X的分布列为：X0123P0.5040.3980.0920.006所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6.7．下象棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛．现某班有12位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛(规则采用“中国数目法”，没有和棋)，即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下(每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3∶0，3∶1，3∶2三种赛式)．3∶0或3∶13∶2胜者积分3分2分负者积分0分1分9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分．第10轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为eq\f(2,3)，丙获胜的概率为eq\f(1,3)，各局比赛结果相互独立．(1)①在第10轮比赛中，甲所得积分为X，求X的分布列；②求第10轮结束后，甲的累计积分Y的均值；(2)已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛(“提前一轮”即比赛进行10轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．7．解析(1)①由题意得，随机变量X的可能取值为3，2，1，0，则P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(16,27)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(16,81)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(8,81)，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(1,9)，所以X的分布列为X3210Peq\f(16,27)eq\f(16,81)eq\f(8,81)eq\f(1,9)②随机变量Y的可能取值为29，28，27，26，则E(Y)＝eq\f(16,27)×29＋eq\f(16,81)×28＋eq\f(8,81)×27＋eq\f(1,9)×26＝eq\f(2290,81)．(2)若X＝3，则甲10轮后的总积分为29分，乙即便第10轮和第11轮都得3分，则11轮过后的总积分是28分，29>28，所以甲如果第10轮积3分，则可提前一轮结束比赛，其概率为P(X＝3)＝eq\f(16,27)．8．一款小游戏的规则如下：每轮游戏都要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个都是红球”出现3次，则获得200分；若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次，则获得20分；若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．(1)求一轮游戏中获得20分的概率；(2)很多玩过这款小游戏的人发现，很多轮游戏后，所得的分数与最初的分数相比，不是增加而是减少了，请运用概率统计的相关知识解释这种现象．8．解析(1)每轮游戏要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，所以每次游戏出现“摸出的两个都是红球”的概率为P＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)．设每轮游戏中出现“摸出的两个都是红球”的次数为X，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))2＝eq\f(243,1000)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))＝eq\f(27,1000)，所以一轮游戏中获得20分的概率P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(243,1000)＋eq\f(27,1000)＝eq\f(27,100)．(2)若“摸出的两个都是红球”出现3次获得200分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．设每轮游戏得分为Y，则Y的取值为－10，20，200，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))3＝eq\f(729,1000)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)．由(1)知，Y的分布列为Y－1020200Peq\f(729,1000)eq\f(27,100)eq\f(1,1000)E(Y)＝－10×eq\f(729,1000)＋20×eq\f(27,100)＋200×eq\f(1,1000)＝－1.69．这表明，获得分数Y的均值为负．因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了．9．“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为eq\f(2,3)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2)，每局比赛结果相互独立．(1)求4局比赛决出胜负的概率；(2)设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望．9．解析(1)设前24分钟比赛甲胜出分别为Ai(i＝1，2，3)，乙胜出分别为Bi(i＝1，2，3)，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为C，4局比赛决出胜负记为事件D.则P(D)＝P(A1A2CC＋A1A2A3C＋B1B2CC＋B1B2B3C)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,36).(2)X的可能取值为4，5，6，7.P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)；P(X＝5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋C32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)(eq\f(1,3))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋C31(eq\f(2,3))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)；P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋C32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)(eq\f(1,3))1C21eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋C31(eq\f(2,3))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋C32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)(eq\f(2,3))1C21eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋C31(eq\f(1,3))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,24)；P(X＝7)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋C32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)(eq\f(1,3))1C31eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋C31(eq\f(2,3))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)C32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋C32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)(eq\f(2,3))1C31eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋C31(eq\f(1,3))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)C32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(7,24)；所以，随机变量X的概率分布列为：X4567Peq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(7,24)eq\f(7,24)X的数学期望为E(X)＝4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,4)＋6×eq\f(7,24)＋7×eq\f(7,24)＝eq\f(137,24).10．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？10．解析(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，500，由表格数据知P(X＝200)＝eq\f(2＋16,90)＝0.2，P(X＝300)＝eq\f(36,90)＝0.4，P(X＝500)＝eq\f(25＋7＋4,90)＝0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．11．(2021·新高考全国Ⅱ)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3).(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)＞1时，p＜1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．11．解析(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)证明：法一：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0.令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，f″(x)＝2p2＋6p3x＞0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．①当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，当x∈(0，1]时，f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f(x)在(0，1]上单调递减，注意到f(1)＝0，∴f(x)在x∈(0，1]上有唯一零点x＝1，即p＝1.②当E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1时，注意到f′(0)＝p1－1＜0，f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴存在唯一x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0，当0＜x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∵f(0)＝p0＞0，f(1)＝0，∴f(x0)＜f(1)＝0.∴f(x)在(0，x0)上有唯一零点x1，∴p＝x1＜1.法二：由题意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3.p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x⇒p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0.∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0⇒p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0⇒(x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0.令f(x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，f(x)的对称轴为x＝－eq\f(p2＋p3,2p3)＜0.注意到f(0)＝－p0＜0，f(1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1.当E(X)≤1，f(1)≤0，f(x)的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1；当E(X)＞1，f(1)＞0，f(x)的正实根x0＜1，原方程的最小正实根p＝x0＜1.(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．12．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验．对于两组白鼠，当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8.①求证：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．12．解析(1)X的所有可能取值为－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．13．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．13．解析设Ai(i＝1，2，3，4，5)表示方案甲所需化验次数为i次；Bj(j＝2，3)表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立．(1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝eq\f(1,6)，P(A5)＝eq\f(1,3)，P(B2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)))＝eq\f(1,3)，P(B3)＝1－P(B2)＝eq\f(2,3)，用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，则P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)·P(B3)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6).(2)η的可能取值为1，2，3，4，5.ξ的可能取值为2，3.由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝eq\f(1,6)，P(η＝5)＝eq\f(1,3)，所以E(η)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(2,6)＝eq\f(10,3)，P(ξ＝2)＝P(B2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝P(B3)＝eq\f(2,3)，所以E(ξ)＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).因为E(ξ)<E(η)，所以从经济角度考虑方案乙最佳．14．已知某高中高三年级共有20个班，共1000人，其中男生600人，女生400人．现在从该校高三学生中抽取10%的学生进行玩游戏时间的调查．设置方案如下：一个罐子中放置了大小、质地相同的20个红球，20个白球，被抽查的同学首先从该罐子中随机抽取一个球，看过颜色后放回，若抽到红球回答问题1，若抽到白球回答问题2，学生只需要对一个问题回答“是”或者“否”即可．问题1：你的性别是否为男生？问题2：你周末打游戏的时长是否在3小时及以上？(1)应该抽取多少学生？若用分层抽样的抽样方法，如何抽取这10%的学生？(2)最终有40张答卷回答“是”，请估计该高中高三年级有多大占比的学生周末打游戏的时长在3小时及以上．14．解析(1)应该抽取1000×10%＝100(人).若采用分层抽样的抽样方法，从男生中应该随机抽取600×10%＝60(人)，从女生中应该随机抽取400×10%＝40(人).(2)法一：设“抽到白球”为事件A，“抽到红球”为事件B.由题意知，P(A)＝eq\f(20,40)＝0.5，P(B)＝eq\f(20,40)＝0.5.设被抽查的某位同学回答“是”为事件C，以频率代替概率，则P(C|B)＝0.6，易知P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)，所以P(C|A)＝eq\f(P（C）－P（B）P（C|B）,P（A）)＝eq\f(0.4－0.5×0.6,0.5)＝0.2.所以估计该高中高三年级有20%的学生周末打游戏时间在3小时及以上．法二：假设学生周末打游戏时间在3小时及以上的概率为P，易知抽到红球的概率为eq\f(1,2)，抽到白球的概率为eq\f(1,2)，则40＝100×eq\f(1,2)×0.6＋100×eq\f(1,2)×P，解得P＝0.2，所以估计该高中高三年级有20%的学生周末打游戏时间在3小时及以上．15．某公司为了切实保障员工的健康安全，决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查，为此需要抽取全公司m人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血样分别化验，这时需要化验m次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血样混合在一起进行化验，如果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验eq\f(1,k)次)；否则，呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血样总共需要化验k＋1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的化验结果相互独立．(1)设方案②中，某组k个人中每个人的血样化验次数为X，求X的分布列；(2)设m＝1000，p＝0.1，试求方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(结果保留整数)15．解析(1)设每个人的血样呈阴性的概率为q，则q＝1－p.所以k个人的血样混合后呈阴性的概率为qk，呈阳性的概率为1－qk.依题意可知X＝eq\f(1,k)，1＋eq\f(1,k)，所以X的分布列为Xeq\f(1,k)1＋eq\f(1,k)Pqk1－qk(2)方案②中，结合(1)知每个人的平均化验次数为E(X)＝eq\f(1,k)·qk＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k)))·(1－qk)＝eq\f(1,k)－qk＋1.当k＝2时，E(X)＝eq\f(1,2)－0.92＋1＝0.69，此时1000人需要化验的总次数为690，当k＝3时，E(X)＝eq\f(1,3)－0.93＋1≈0.6043，此时1000人需要化验的总次数为604，当k＝4时，E(X)＝eq\f(1,4)－0.94＋1＝0.5939，此时1000人需要化验的总次数为594.即k＝2时化验次数最多，k＝3时化验次数居中，k＝4时化验次数最少．而采用方案①则需要化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当k＝4时化验次数最多可以平均减少1000－594＝406(次).16．某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格(元/件)使用寿命(月)甲10007或8乙4003或4已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为eq\f(1,2)，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为eq\f(1,2)．(1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；(2)现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用)．试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？16．解析(1)电动机工作时间不少于4个月共有三种情况：①装入两件甲品牌，概率为eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)；②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为4个月，概率为eq\f(C\o\al(1,4)×C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))×eq\f(1,2)＝eq\f(4,15)；③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为4个月，概率为eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,60)．∴电动机可工作时间不少于4个月的概率为P＝eq\f(2,5)＋eq\f(4,15)＋eq\f(1,60)＝eq\f(41,60)．(2)若采用方案一，设电动机