高中数学热点题型增分练专题20数列递推公式与通项公式教师版新人教A版选择性必修第二册

专题20数列递推公式与通项公式【题型一】累加法【典例分析】已知数列{}满意，，，则数列{}的第2024项为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出，通过条件得到，再利用累加法即可求解.【详解】由，，可得由得，又，可得，所以，，将上式相加得.故选：C.【提分秘籍】基本规律累加法：形如an＝an－1＋f(n)或an－an－1＝f(n)，用累加法求an【变式训练】1.在数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，，则，…，，由累加法得，，即，则，所以，故选：D2.、在数列中，，，则该数列的通项公式________；数列中最小的项的值为________．【答案】【详解】由题意知，.当时，当时，也满意该式，故该数列的通项公式；由，结合反比例函数的单调性可知当时，数列为单调递增数列，故数列中最小的项的值为.故答案为：；3.已知数列满意，则___________.【答案】5050【分析】【详解】因为，所以，左右分别相加得：，，，.故答案为：5050【题型二】累积法【典例分析】已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.【答案】【详解】由，可得当时，，则，即，故，所以.当满意.故数列的通项公式为.故答案为：【提分秘籍】基本规律)累乘法：形如an＝an－1·f(n)或eq\f(an,an－1)＝f(n)，用累加法求an【变式训练】1.已知数列满意，则__________．【答案】【解析】，得，则。2.已知数列满意，且，则____．【答案】.【解析】依据题中条件可以得到，将以上式子累乘可得，当时上式也成立，故.3.已知数列满意，，则数列的通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案.【详解】由题意得，即所以数列是以首项为的常数列，则，得.故选：A【题型三】周期数列【典例分析】在数列中，，则的值为A．-2 B． C． D．【答案】B【解析】由，得.所以.即数列以3为周期的周期数列.所以.故选B.【提分秘籍】基本规律周期数列1.若数列{an}满意2.若数列{an}满意3.若数列{an}满意4.若数列{an}满意5.若数列{an}满意6.【变式训练】1..已知数列的前项和为，，，，则______．【答案】4【分析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.【详解】由题得，，，,,,所以数列的周期为6，，，所以.故答案为：42.若数列满意，，（且），则等于（）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】先由题设求得数列的前几项，然后得到数列的周期，进而求得结果.【详解】因为，，（且），所以，，，，，，，所以数列是周期为的周期数列，3.已知数列满意，，则（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由递推公式求出数列的前几项，即可得数列的周期为3，从而可求得．【详解】解：因为，，所以，，，，，所以数列的周期为3，因为，所以．故选：．【题型四】Sn型【典例分析】已知数列的前n项和为，则通项公式为_________．【答案】【分析】由计算，由当时由求出，即可得．【详解】∵数列的前n项和为，∴当时，，当时，，而，不适合上式，所以，故答案为：．【提分秘籍】基本规律通项an与前n项和Sn的关系：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【变式训练】1.已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n B．an＝C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1【答案】B【详解】由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝故选:B.2.已知数列的前n项和，则的通项公式为A． B． C． D．【答案】C【分析】首先依据求出首项的值，然后利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最终写出的式子即可.【详解】因为，所以，当时，，当时，，上式也成立，所以，故选C.3.已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，由求出；当时，由求出；即可求解.【详解】当时，，；当时，，不符合，则.故选：B.【题型五】视察猜想归纳型【典例分析】依据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.（1）

__________

1

6

11

16

()（2）

__________

1

4

7

10

()（3）

__________

3

8

15

24

()【答案】

21

13

35【分析】结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值.【详解】（1）设第个图形的点数为，第个图形有5个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算5次，则，；（2）设第个图形的点数为，第个图形有3个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算3次，则，；（3）设第个图形的点数为，由图可知，第个图形横方向上有个点，竖方向上有个点，则，.2.（2024·江苏·高二专题练习）数列的一个通项公式为________.【答案】【分析】依据数列各项所满意的规律可写出结果.【详解】，，，，一个通项公式为：.故答案为：.【提分秘籍】基本规律先通过计算数列的前几项，再视察数列中的项与系数，依据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最终再证明.一般这类题，选择题很少，因为可以代特别值求解。【变式训练】1.数列3，8，15，24，35，…的一个通项公式等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用解除法对选项逐一分析即可.【详解】本题为选择题，可用解除法，对选项逐一分析，对于A答案，绽开可得数列为3,6,11……，不符合题意，故A错误，对于B答案，绽开可得数列为3,5,9……，不符合题意，故B错误，对于D答案，绽开可得数列为3,10,21……，不符合题意，故D错误，对于C答案，绽开可得数列为3,8,15,24……，符合题意，故C正确，故选：C2.依据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式__________．【答案】【分析】视察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。【详解】第一图点数是1；其次图点数;第三图是；第四图是则第个图点数故答案为：3.数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．故选：C．【题型六】二阶等比数列【典例分析】已知数列满意，，则通项公式_______.【答案】【分析】先取倒数可得,即,由等比数列的定义可得时,,即,再检验时是否符合即可【详解】由题,因为,所以,所以,当时,,所以,所以当时,,则,即,当时,,符合,所以,故答案为:【提分秘籍】基本规律构造法：依据已知构造等差等比数列求通项.形容为常数）,构造等比数列。特别状况下，当q为2时，=p，，变形为，也可以变形为.【变式训练】1.已知数列中，且，则数列的通项公式为A． B． C． D．【答案】C【详解】由，可得.即是以为首项，以3为公比的等比数列..即.故选C.2.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，则数列{an}的通项公式an等于()A．(－2)n－1＋1 B．2n－1＋1C．(－2)n－1 D．(－2)n＋1－1【答案】A【详解】an＋1＝－2an＋3，即为an＋1－1＝－2(an－1)，又a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an－1＝(－2)n－1，即an＝(－2)n－1＋1.故选:A.3.已知数列中，若，则该数列的通项公式A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：由a1=2，an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出．详解：∵a1=2，an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），∴数列{an+1}是等比数列，公比为3，∴an+1=3×3n﹣1，即an=．故答案为B.【题型七】分式倒数等差型【典例分析】已知数列中，，则可归纳猜想的通项公式为A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴a2=,a3=，归纳猜想{an}的通项公式为，故选B.【提分秘籍】基本规律，取倒数变形为；【变式训练】1.已知数列满意：，（N+），由、、归纳出数列的通项公式是__________.【答案】【分析】由递推公式求出、、，归纳出数列的通项公式，可利用对变形求得数列是等比数列，再求通项公式.【详解】，，，，由此归纳出数列的通项公式，以下证明：由，得，所以，又，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以数列的通项公式．故答案为：.2.已知在数列中，，，则数列的通项公式为______.【答案】【分析】把已知数列递推式取倒数，然后变为，可得数列是等比数列，求其通项公式后可得数列的通项公式.【详解】由题意，，取倒数得，即，又，所以，数列是公比为的等比数列，故，所以.故答案为：.3.若数列满意，，则数列的通项公式______．【答案】【分析】在等式两边取倒数，可得出，然后利用等差数列的通项公式求出的通项公式，即可求出.【详解】，等式两边同时取倒数得，.所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.因此，.故答案为：.【题型八】高次取对数型【典例分析】数列中，若，()，则数列的通项公式_____.【答案】【分析】把递推关系两边同时取常用对数得，从而确定数列是等比数列，求出它的通项公式后可得．【详解】因为，等式两边同时取对数有，则，又因为则数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，，故答案为：.【提分秘籍】基本规律形如，可以通过取对数构造等比数列求通项公式【变式训练】1.数列中，若，，则的通项公式为________.【答案】【分析】两边取对数，化简整理得，得到数列是以为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由，两边取对数，可得，即，又由，则，所以数列是以为首项，公比为3等比数列，则，所以.故答案为：2.已知数列，，，则数列的通项公式为______.【答案】【分析】取对数，化简运算可得，利用累乘法求出，即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，，…，，所以，所以，又，所以，所以，也符合，所以.故答案为：3.设正项数列满意，，则数列的通项公式是______．【答案】【分析】将等式两边同时取对数后，转化为的形式，再利用构造法求通项公式．【详解】原式两边同时取对数，得，即．设，则，又，所以是以2为公比，1为首项的等比数列，所以，所以，所以．故答案为：.【题型九】二阶等差等比函数型【典例分析】在数列中，，，则数列的通项公式为______．【答案】【分析】方法1：设，解出，可构造出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，可求出；方法2：在等式两边同时除以得，利用待定系数法得出，可知数列为等比数列，求出该数列的通项公式，可求出.【详解】方法1：令，即，与比较得，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即；方法2：由，两边同时除以得，设，化简得，与比较得.，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，故答案为.【提分秘籍】基本规律形如，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，假如配凑不简洁视察，可以待定系数来构造形如，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，假如配凑不简洁视察，可以待定系数来构造【变式训练】1.已知，，则的通项公式为________【答案】【分析】首先求得的值，然后整理递推关系式，结合等差数列的通项公式即可确定其通项公式.【详解】由递推关系式可得：，即，且由可得，故数列是以为首项，以1为公差的等差数列，则，，故数列的通项公式为：.故答案为．2.已知数列中，，，求数列的通项公式___________【答案】【分析】由已知条件可得，从而可得数列是等差数列，求出其通项公式后化简即可得到.【详解】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，∴，∴.故答案为：.3.在正项数列中，，，则数列的通项公式为________．【答案】【分析】推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式.【详解】因为，设，可得，所以，，可得，所以，，且，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，故对随意的，.故答案为：.【题型十】因式分解型【典例分析】设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.【答案】【分析】由条件有，由数列为正项数列，即得，然后利用累乘法可求出数列的通项公式.【详解】由，则又数列为正项数列，即，所以，即所以。故答案为：【提分秘籍】基本规律涉及到二阶数列含有二次型一次型时，可以视察是否能因式分解达到构造的目的【变式训练】1.设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________【答案】【分析】由已知条件化简可得，再由递推累乘法可得，最终检验是否符合即可.【详解】依题意，，所以，又因为，所以，所以，，所以，经检验，也符合上式.所以.综上所述，.故答案为：.2.设是首项为1的正项数列，且，求通项公式=___________【答案】【分析】由条件可得，化简得，再由递推即可得到所求通项.【详解】由，得，∵，∴，∴，∴，∴，又满意上式，∴.故答案为：.【题型十一】复合数列型【典例分析】已知数列中，，且，数列满意，则的通项公式是_____.【答案】【分析】依据已知，利用作差法求易推断为等差数列，写出通项公式即可.【详解】∵，∴，又，则，∴数列是首项为，公差为1的等差数列，∴.故答案为：.【提分秘籍】基本规律复合型构造法有两种方法：1.形如为常数）,构造等比数列。特别状况下，当q为2时，=p，2.形如，变形为，新数列累加法即可【变式训练】1.已知数列满意，，若，则数列的通项公式是______.【答案】【分析】利用数列的递推关系式和等差数列的定义，得到数列是以为首项，1为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，得到答案.【详解】由题意，数列满意，，又由，则，可得常数，又由，故数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以，由于数列的首项符合通项，所以数列的通项公式为.故答案为：.2.已知数列an,bn满意a1=1，求出数列an【答案】（Ⅰ）an=n+12n;（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）证明：∵bn+1-=4an2an-1故∴2n=23.已知数列满意，，.求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【详解】：（1）∵，∴.又∵，∴.又∵，∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.，，∴，【题型十二】二阶“和”型数列【典例分析】已知数列满意：，且，则数列的通项公式______．【答案】【分析】由数列递推式可得，由此知数列的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列，探讨n为奇数以及n为偶数，求得答案.【详解】由，得，两式相减得,由等差数列的定义可知，数列的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列．由及，知，当n为奇数时，设，，则，，即；当n为偶数时，设，，则，，，即,综上，数列的通项公式为,故答案为：【提分秘籍】基本规律对于相邻两项和的类型，须要对其分奇偶探讨.【变式训练】已知数列满意，，则数列的通项公式为______．【答案】.【分析】先由，得，进一步得到，再分奇偶项来求通项公式即可．【详解】因为，所以，得．所以当为奇数时，，当为偶数时，．又，，所以，所以，，，…，，…构成以2为首项，2为公差的等差数列，，，，…，，…构成以为首项，为公差的等差数列．所以当是奇数时，；当是偶数时，．故数列的通项公式为．故答案为：.【题型十三】综合构造型【典例分析】已知数列满意，且，则的通项公式_______________________.【答案】【分析】由已知条件可得，从而有是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，最终利用累加法及等差数列的前n项和公式即可求解.【详解】解：由,得，则，由得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，所以，当时，也适合上式，所以，故答案为：.【变式训练】1.已知数列满意，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________.【答案】【分析】化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用叠加法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列满意（），两侧同除，可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以（），当时，适合上式，所以，所以数列的通项公式.故答案为：2.已知数列满意，，则数列的通项公式为______.【答案】【分析】将已知递推关系式变形为，令，接受倒数法可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得后，整理可得所求通项公式.【详解】由得：，设，则有，即，又，数列是以，为公差的等差数列，，，即，.故答案为：.3.已知数列{an}满意（n∈N*），且a2=6，则{an}的通项公式为_____.【答案】【分析】由题意令n=1可得a1，当时，转化条件可得，进而可得，即可得解.【详解】因为数列{an}满意（n∈N*），所以，①当n=1时，即a1=1，②当时，由可得，∴数列从其次项起先是常数列，又，∴，∴，又满意上式，∴.故答案为：.分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方，从1起先箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则（

）A．361 B．374 C．385 D．395【答案】B【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】依据杨辉三角的特征可以将数列接着写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以故选：B2．若数列满意，则称为“幻想数列”，已知正项数列为“幻想数列”，且，则（

）A．=2 B．=2C．=2+1 D．=2+1【答案】B【分析】将作为整体代入，即可求解.【详解】依题意，，即是首项为2，公比为3的等比数列，；故选：B.3．已知数列的首项，若向量，向量，且满意，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据题目所给的条件，求出数列的递推关系，再依据递推关系求出通项公式.【详解】由题意，，即，数列是首项为1，公差d=1的等差数列，；故选：D.4．已知等比数列满意，则A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】由等比中项性质知，而，即有进而可得的通项，即可求【详解】等比中项的性质得：∴，其中舍去∴故选：B【点睛】本题考查了等比数列，利用等比数列的中项性质列等式求通项，进而求项的值5．数列2，22，222，2222，的一个通项公式an是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据所给的这个数列的特点，先写出数列{cn}:9，99，999，9999的通项是10n﹣1，而要求数列的每一项均是数列{cn}的，即可得答案．【详解】依据题意，数列{cn}：9，99，999，9999的通项是10n﹣1，数列2，22，222，2222，…的每一项均是数列{cn}的，则数列2，22，222，2222，的一个通项公式是an；故选D．【点睛】本题考查数列通项的求法，求解的关键是从数列的前几项中发觉数列各项变更的规律，利用此规律去找寻通项公式，属于基础题．6．已知{an}是等差数列，满意：对∀n∈N*，an+an+1＝2n，则数列{an}的通项公式an＝（）A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+【答案】C【分析】由得，两式相减得，可得d的值，可得答案.【详解】解：由得，两式相减得，故.故选.【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出是解题的关键.7．设数列满意，（），若数列是常数列，则(

)A．-2 B．-1 C．0 D．【答案】A【分析】因为数列是常数列，所以，再由递推公式可得，联立求解即可.【详解】解：因为数列是常数列，所以，即，解得.故选：A.8．在数列中，，，则的值为A． B．5 C． D．【答案】C【分析】利用数列的周期性即可求解.【详解】解：由题意，可得，，，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：C．9．在数列中，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据题干条件构造等比数列，进行求解.【详解】令，则，又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，所以，得．故选：C．10．已知数列满意，其中，则数列（

）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求得数列的通项公式，再分析数列的单调性即可【详解】依题意，因为，其中，当时，，当时，，，两式相除有，易得随着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为故选：A培优其次阶——实力提升练1．已知数列满意，且，则的最小值是（

）A．-15 B．-14 C．-11 D．-6【答案】A【分析】依据已知条件得出最小项为，利用迭代的思想即可求得.【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，明显的最小值是.又，∴，即的最小值是.故选：A2．若数列和满意，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再依据，得到，即可得到的通项公式，最终代入即可；【详解】解：因为，，所以，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，又，即，所以所以；故选：C3．已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，再依据题意可得,化简为，由此求得答案.【详解】当时，，当时，，即，故数列为首项为，公差为的等差数列，故，故选：D4．已知数列{}满意（n∈N*），则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据已知条件，应用作差法可得，进而求得数列{}的通项公式，留意验证是否满意通项公式.【详解】由题设，①，则②，①-②得：，所以，由①知也满意上式，故（n∈N*）.故选：C.5．已知数列满意，（），（），则数列第2024项为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通过条件得到，再利用累加法即可求解.【详解】由得，又，可得，所以，，将上式相加得.故选：A.6．已知数列满意：①先单调递减后单调递增：②当时取得最小值．写出一个满意条件的数列的通项公式_________．【答案】【分析】利用数列单调性的定义进行推断，从而得到数列的最值.【详解】设，则，，当，数列单调递减，当，数列单调递增，即，可得当时数列取得最小值，故答案为：7．记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．【答案】【分析】当时，，所以两式相减得，所以化简有，又因为，可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.【详解】因为，，所以当时，，当时，，所以两式相减得：，则，所以，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.所以当时，.所以数列的通项公式为：故答案为：.8．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满意，则其通项______．【答案】【分析】设出首项和公差，依据和得到方程组，变形后得到，从而求出公差，进一步求出首项，求出通项公式.【详解】设等差数列的首项为，公差为，令得：，即，令得：则，由，两式相减得：，即，因为等差数列的各项均为正数，所以，解得：，代入中，解得：，所以.故答案为：9．已知首项为1的数列的前项和为，且，则数列的通项公式为___________.【答案】【分析】利用与的关系，得到，再利用待定系数法，进行构造数列，得到为等比数列，进而利用等比通项公式即可求解.【详解】由题意得，，设，故，则，故，则，即，则数列是首项为，公比为12的等比数列，故，故.故答案为：10．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.【答案】n【分析】先利用累乘法将的通项公式求出，再利用与的关系，求出的通项公式即可.【详解】解：∵，∴当时，，当时，成立，∴，当时，，当时，满意上式，∴.故答案为：n培优第三阶——培优拔尖练1．设数列的前n项和为，且满意①恒成立，②，③是一个递减数列，写出一个满意以上条件的数列：___________.【答案】（答案不唯一）【分析】由已知可知数列每一项均非负，且为递减数列，前n项和大于等于1且小于等于2，所以对于逐个验证即可【详解】易知恒成立，满意条件①；，则.又，所以，满意条件②；由易知是递减数列，满意条件③.故答案为：（答案不唯一）2．在数列中，，，且满意，则___________.【答案】【分析】由递推公式两边同除得到，即可得到，即可得到是以为首项、为公比的等比数列，则，再利用累加法求出，即可得到数列的通项公式；【详解】解：因为，，，明显，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以所以故答案为：3．设数列的前n项和为，对随意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式________．【答案】【分析】依据偶函数的对称性可以判定函数为唯一零点的横坐标必定为0，进而得到数列的和与项的关系式，利用作差法消和得到项的递推关系，结合首项的求解结果，可以判定此数列是等比数列，然后写出通项公式即可.【详解】函数在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，为偶函数，其图象关于轴对称可知这个公共点的横坐标确定是0，（否则公共点则成对出现），即,取得,s所以,当时得到,,即,∴数列为首项为1，公比为2的等比数列，∴,故答案为：.【点睛】本题考查偶函数的判定与性质，依据和与项的递推关系求数列的通项公式，属小综合题，关键是依据函数的图像的对称性，得到唯一零点的值为0，进而得到数列的和与项的关系.4．已知数列满意，.若从四个条件：①；②；③；④中，选择