高中数学热点题型增分练专题02空间向量基本定理及范围最值学生版新人教A版选择性必修第一册

专题2空间向量基本定理及空间范围与最值【题型一】空间向量基底【典例分析】（2024·全国·高二课时练习）已知是空间的一组基底，则下列向量中能与，构成一组基底的是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】1.基本零向量能否作为基向量？不能.零向量与随意两个向量a，b都共面2.基底的推断思路(1)推断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是推断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)推断基底时，经常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点动身的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的推断．【变式训练】1.（2024·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，确定可以与向量，构成空间另一个基底的是（

）A． B． C． D．2.（2024·全国·高二课时练习）若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（

）A． B．C． D．3.（2024·上海市松江二中高二期中）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【题型二】基底表示向量【典例分析】（2024·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（

）A． B．C．- D．【提分秘籍】基本规律用基底表示向量的步骤(1)定基底：依据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，须要依据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最终求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间全部向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．【变式训练】1.（2024·全国·高二课时练习）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B．C． D．2.（2024·全国·高二专题练习）如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，则x+y+z＝（）A． B． C． D．3.（2024·全国·高二课时练习）在四面体中，，，，点满意，为的中点，且，则（

）A． B． C． D．【题型三】共面【典例分析】（2024·全国·高二课时练习）已知空间中四个点，，，，为空间的一组基底，则下列说法正确的是（

）A．，，，四点共线B．，，，四点共面，但不共线C．，，，四点不共面D．【提分秘籍】基本规律证明平行、共线、共面问题(1)对于空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)假如两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.【变式训练】1.（2024·全国·高二课时练习）已知空间四点，，，共面，则的值为（

）A． B． C． D．2.（2024·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C确定共面的是A． B．C． D．3.（2024·全国·高二期末）已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C确定共面的是A． B．C． D．【题型四】空间向量概念综合【典例分析】（2024·全国·高二）下列命题中正确的个数是（

）．①若与共线，与共线，则与共线．②向量，，共面，即它们所在的直线共面．③假如三个向量，，不共面，那么对于空间随意一个向量，存在有序实数组，使得．④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．A．0 B．1 C．2 D．3【变式训练】1.（2024·广东·顺德市李兆基中学高二期中）以下命题①是共线的充要条件；②若是空间的一组基底，则是空间的另一组基底；③．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2.（2024·安徽·阜阳市第三中学高二期末（理））以下四个命题中正确的是（

）A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底C．为直角三角形的充要条件是D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底3.（2024·全国·高二课时练习）在以下命题中，不正确的个数为()①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间随意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤|(·)·|＝||·||·||.A．2 B．3 C．4 D．5【题型五】空间向量数量积【典例分析】（2024·辽宁试验中学高二期中）已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（

）A． B．1 C． D．2【提分秘籍】基本规律1.空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．2.空间向量数量积的性质：①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交换律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律)．【变式训练】1.（2024·江苏·泗阳县试验高级中学高二阶段练习）设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（）A． B． C．a2 D．a22.（2024·全国·高二课时练习）四面体OABC的全部棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.3.如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（

）A． B． C． D．【题型六】空间向量求长度【典例分析】（2024·全国·高二课时练习）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.在空间直角坐标系中，设，，则两点间的距离___．2.【变式训练】1.（2024·全国·高二专题练习）在平行六面体中，，，，则（

）A． B．5 C． D．32.（2024·广东汕头·高二期末）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（

）A． B． C． D．3.（2024·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（

）A．1 B． C．2 D．【题型七】数量积最值与范围【典例分析】（2024·全国·高二课时练习）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式训练】1.（2024·全国·高二专题练习）已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上随意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2.（2024·全国·高二课时练习）已知是空间单位向量，，若空间向量满意，，则的最大值是_______.3.（2024·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满意，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【题型八】空间长度最值与取值范围【典例分析】（2024·全国·高二期末）如图，直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为A． B． C． D．【变式训练】1.（2024·全国·高二专题练习）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满意，则的最小值为（

）A． B． C． D．12.（2024·湖北武汉·高一期末）设点是棱长为的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是A． B． C． D．3.（2024·北京一零一中双榆校区高二期中）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满意到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为A． B． C． D．【题型九】空间角度范围最值【典例分析】（2024·全国·高二专题练习）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满意，则直线与直线所成角的取值范围为（

）（参考数据：A．， B．，C．， D．，【提分秘籍】基本规律夹角（1）求异面直线所成的角若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=______.（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有______=_______.（3）求二面角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=_______（4）求平面与平面的夹角平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________.【变式训练】1.（2024·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2.（2024·全国·高二专题练习）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．3.（2024·上海·曹杨二中高二期末）在正方体中，点（异于点）是棱上一点，则满意与，所成的角为45°的点的个数为A．0 B．3 C．4 D．6【题型十】轨迹【典例分析】（2024·全国·高二专题练习）在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本规律求轨迹基本思路：设点-列式-化简-变量范围【变式训练】1.（2024·全国·高二专题练习）空间向量，，，，，，且，，若点P满意，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为__________.2.（2024·全国·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．3.（2024·全国·高二期末）已知三棱锥的全部棱长均为2，为的中点，空间中的动点满意，，则动点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2024·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中确定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）①，，；

②，，；③，，；

④，，．2.（2024·浙江·高二开学考试）在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（

）A． B．C． D．3.（2024·江苏镇江·高二开学考试）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满意，，，若、、、四点共面，则实数__________．4.（2024·全国·高二课时练习）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（

）A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中随意三点不共线5.（2024·全国·高二课时练习）已知四面体，全部棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（

）A．1 B．2 C．-1 D．-26.（2024·全国·高二专题练习）已知斜三棱柱全部棱长均为2，，点､满意，，则（

）A． B． C．2 D．7.（2024·全国·高二课时练习）已知空间向量，，满意，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．8.（2024·浙江省杭州学军中学高二期中）如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则（

）A． B．C． D．9.（2024·全国·高二课时练习）已知，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.培优其次阶——实力提升练1.（2024·全国·高二课时练习）设且是空间的一组基底，给出下列向量组：①；②③

④其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．2.（2024·福建·厦门海沧试验中学高二期中）如图，在四面体中，，，，且，，则（

）A． B．C． D．3.（2024·福建·厦门双十中学高二期中）已知，若三向量共面，则实数=_____.4.（2024·河北·石家庄市第十二中学高二期中）下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.①若向量，与空间随意向量都不能构成基底，则②若非零向量，，满意，，，则有③是，共线的充分不必要条件④若，共线，则5.（2024·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6.（2024·安徽·高二阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（

）A． B． C． D．7.（2024·全国·高二专题练习）已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8.（2024·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．19.（2024·浙江·湖州中学模拟预料）已知点是正方体表面上一动点，且满意，设与平面所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．培优第三阶——培优拔尖练1.（2024·安徽蚌埠·高二期末（理））已知，，，则“”是“，，构成空间的一个