2024年中考数学压轴题型（重庆专用）专题04 数论填空压轴题-重庆中考压轴题（教师版）

PAGE1PAGE专题04数论填空题--重庆中考压轴题通用的解题思路：通常考查的形式：整除类、平方差公式通常用到的技巧及知识点：一、整除类1、表示出该数，并标注未知数范围2、用位值原理展开并合并3、分离：分离为整除部分与余式部分，余式部分系数越小越好4、要运用未知数范围求解二、平方差公式：1、因式分解后本质是求该数的因数2、a+b＞a-b3、a+b与a-b，奇偶相同1．（中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为4312；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是8165．【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12，解得a＝4，∴这个数为4312，由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c＝110a+101b＝99（a+b）+11a+2b，又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去，当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，当c取6时，d＝5，∴满足条件的数的最大值是8165，故答案为：4312；8165．2．（中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为6200；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为9313．【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的自然数0时．百位数是2；则最小的“天真数”为6200．故答案为：6200．一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．由“天真数”的定义得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；Q（M）＝a﹣5.＝若能被10整除当a取最大值9时，即当a＝9时，满足能被10整除，则c＝1，“天真数”M为9313．故答案为：9313．1．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为9871；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，．若F（M）、G（M）都是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为4761．【解答】解：为最大的“和平数”，而1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，但各个数位上的数字不同，而各个数位上的数字之和为完全平方数，∴最大的完全平方数为25，∴最大的“和平数”，当b＝8，c＝7时，d＝25﹣9﹣8﹣7＝1，∴最大的“和平数”为9871；∵s＝10a+b，t＝10c+d，则，，∵F（M）、G（M）都是整数，设＝k1，＝k2，k1，k2为正整数，则10（a+c）+b+d＝9k1，10（a﹣c）+b﹣d＝3k2，两式相加得：20a+2b＝18a+2（a+b）＝9k1+3k2＝3（3k1﹣k2），两式相减得：20c+2d＝18c+2（c+d）＝9k1﹣3k2＝3（3k1﹣k2），∴a+b，c+d都能被3整除，∴a+b+c+d能被3整除，4＜a+b+c+d＜36，∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，∴4＜a+b+c+d＜36，∴a+b+c+d＝9或16或25，而a+b+c+d能被3整除，∴a+b+c+d＝9，又∵a+b，c+d都能被3整除，∴a+b＝6，c+d＝3时，M最大，a+b＝3，c+d＝6时，M最小，∴Mmax＝6021，Mmin＝1260，Mmax﹣Mmin＝4761．故答案为：9871；4761．2．一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数m，记，则D（1254）＝﹣3；若某个“等和数”n的千位与十位上的数字之和为8，D（n）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”n是8404．【解答】（1）D（1254）＝＝＝﹣3．故答案为﹣3．（2）设“等和数“n的千位、百位分别为a、b，则十位数为（8﹣a），个位数为（8﹣b），n＝990a+99b+88，m＝8800﹣990b﹣99a，n﹣m＝1089（a+b﹣8）D（n）＝＝a+b﹣8．∵D（n）能表示两个连续偶数的平方差，可设D（n）＝（2k+2）2﹣（2k）2（k为自然数），∴D（n）＝8k+4＝4（2k+1）＝a+b﹣8，即a+b﹣8为4的奇数倍，∵n的千位与十位上的数字之和为8，..1≤a≤8，1≤b≤7，..a+b﹣8＝4，..a+b＝12，当a最大是8，b为4，满足条件的最大“等和数”n是8404．故答案为8404．3．若一个两位数N满足N＝ab+a+b，其中a、b均为正整数，则称N为好数，那么最大的好数是99；若a、b同时还满足或4，则称N为绝对好数，那么绝对好数的个数为39．【解答】解：①∵N＝ab+a+b，∴N+1＝ab+a+b+1＝（a+1）（b+1），∵a≥1，b≥1，∴（a+1）（b+1）≥4，即N+1≥4，∴N+1是合数，又∵10≤N≤99，∴12≤N+1≤100，且N+1是合数，∵N+1的最大值为100，∴N的最大值为99；②当a、b同时满足，即ab＝3（a+b），∴N＝ab+a+b＝3（a+b）+a+b＝4（a+b），∵a≥1，b≥1，∴4（a+b）≥8，即N≥8，且N是4的倍数，又∵N是一个两位数，∴8≤N≤88，且N是4的倍数，∴绝对好数N有21个，当a、b同时满足，即ab＝4（a+b），∴N＝ab+a+b＝4（a+b）+a+b＝5（a+b），∵a≥1，b≥1，∴5（a+b）≥10，且N是5的倍数，又∵N是一个两位数，∴10≤N≤95，且N是5的倍数，∴绝对好数N有18个，综上所述，绝对好数N的个数为：21+18＝39（个）．故答案为：99；39．4．对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“附中数”，并规定F（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．例如：四位数8274，满足：4﹣2＝2×（8﹣7），则8274是一个“附中数”，F（8274）＝82﹣74＝8．记“附中数”，（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数），若F（M）为完全平方数，则a+b﹣c﹣d＝﹣2；同时，令G（M）＝c2﹣d2+a﹣b﹣6，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为4040．【解答】解：∵是“附中数”，∴d﹣b＝2（a﹣c），∴b﹣d＝﹣2（a﹣c），∵F（M）为完全平方数，∴10a+b﹣（10c+d）＝10（a﹣c）+（b﹣d）＝10（a﹣c）﹣2（a﹣c）＝8（a﹣c），∵8（a﹣c）是完全平方数，且1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数，∴a﹣c＝2或8，∵a﹣c＝8，则d﹣b＝16，不合题意，∴a﹣c＝2，∴a+b﹣c﹣d＝（a﹣c）+（b+d）＝（a﹣c）﹣2（a﹣c）＝﹣（a﹣c）＝﹣2；当a﹣c＝2时，d﹣b＝4，∵a，b，c，d互不相同，①当a＝3，c＝1时，d＝6，b＝2，所以G（M）＝﹣40，此时不是整数，d＝8，b＝4，则G（M）＝﹣70，此时不是整数，d＝9，b＝5，则G（M）＝﹣88，此时不是整数，②当a＝4，c＝2时，d＝5，b＝1，则G（M）＝﹣24，此时是整数，M＝4125，d＝7，b＝3，则G（M）＝﹣50，此时不是整数，故舍去，d＝9，b＝5，则G（M）＝﹣84，此时不是整数，故舍去，③当a＝5，c＝3时，d＝6，b＝2，则G（M）＝﹣30，此时不是整数，d＝8，b＝4，则G（M）＝﹣60，此时不是整数，故舍去，④当a＝6，c＝4时，d＝5，b＝1，则G（M）＝﹣10，此时不是整数，d＝7，b＝3，则G（M）＝﹣36，此时不是整数，d＝9，b＝5，则G（M）＝﹣70，此时不是整数，⑤当a＝7，c＝5时，d＝6，b＝2，所以G（M）＝﹣12，此时是整数，M＝7256，d＝8，b＝4，所以G（M）＝﹣42，此时不是整数，舍去，⑥当a＝8，c＝6时，d＝5，b＝1，所以G（M）＝12，此时是整数，M＝8165，d＝7，b＝3，所以G（M）＝﹣14，此时不是整数，舍去，d＝9，b＝5，所以G（M）＝﹣48，此时不是整数，舍去，⑦当a＝9，c＝7时，d＝5，b＝1，所以G（M）＝26，此时不是整数，舍去，d＝6，b＝2，所以G（M）＝14，此时不是整数，d＝8，b＝4，所以G（M）＝﹣16，此时不是整数，M最大值为8165，M最小值为4125，8165﹣4125＝4040，故答案为：﹣2，4040．5．若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”．如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是2040；若M、N分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，M、N各数位上的数字之和分别记为F（M）和F（N），若能被10整除．则当取得最大值时M的值是4342．【解答】解：根据题意，最小的”谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040．设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：a+1，a，4，2；“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：b+2，b，6，2；则：M＝1000（a+1）+100a+42＝1100a+1042，F（M）＝a+1+a+4+2＝2a+7；N＝1000（b+2）+100b+62＝1100b+2062，F（N）＝b+2+b+6+2＝2b+10；则＝＝＝＝550+，∵能被10整除，即55+为整数，也就是说，2（a﹣b）﹣3是51的因数，根据题意0≤a≤8，0≤b≤7，（千位上最大的数字是9），当取得最大值时，也就是说最大，又∵51＝1×3×17，∴当a﹣b＝3时，，当a﹣b＝2时，＝51，∴当a﹣b＝3时，a＝b+3，＝＝1+，b＝0时，最大值为1.3；当a﹣b＝2时，a＝b+2，＝＝1+，b＝0时，最大值为1.1．故当b＝0，a＝3时，有最大值，此时M的值为：4342．故答案为：2040；4342．6．对于一个三位自然数N，如果其十位数字为6，则称这个三位数为“中六数”，将一个“中六数”N的百位数字和个位数字互换得到的新三位数记为N'，记．若一个“中六数”N的百位数字为a（1≤a≤9），个位数字为b（0≤b≤9），且满足F（N）+9＝ab，则满足条件的“中六数”N的最大值为564．【解答】解：由题意，得N＝100a+60+b，N′＝100b+60+a，∴．∵“中六数”N要取得最大值，∴a≥b，∴F（N）＝11a﹣11b，∵F（N）+9＝ab，∴F（N）+9＝ab．当a＝9时，99﹣11b+9＝9b，，不符合题意；当a＝8时，88﹣11b+9＝8b，，不符合题意；当a＝7时，77﹣11b+9＝7b，，不符合题意；当a＝6时，66﹣11b+9＝6b，，不符合题意；当a＝5时，55﹣11b+9＝5b，b＝4，符合题意；∴“中六数”N的最大值为564．故答案为：564．7．对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大2，则称这个四位数m为“差双数”，记F（m）为m的各个数位上的数字之和．例如：m＝1632，∵1+6﹣（3+2）＝2，∴1632是“差双数”，F（1632）＝1+6+3+2＝12；m＝6397，∵6+3﹣（9+7）＝﹣7≠2，∴6397不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是3432；已知M，N均为“差双数”，其中M＝2000a+100b+10c+d，N＝1000x+300b+40﹣d（1≤a≤4，0≤b≤3，0≤c≤9，1≤d≤9，1≤x≤9，a，b，c，d，x是整数），已知F（M）+F（N）﹣2能被6整除，且为整数，则满足条件的所有的M的值之和为8628．【解答】解：∵与都是“差双数”，∴（5+k）﹣（4+1）＝2，（3+s）﹣（t+2）＝2．∴k＝2，s﹣t＝1．∵，∴5+2+4+1＝3+s+t+2，∴s+t＝7．∴．解得：．∴“差双数”＝3×1000+4×100+3×10+2＝3432；∵M＝2000a+100b+10c+d，N＝1000x+300b+40﹣d，∴M＝2a×1000+b×100+c×10+d，N＝x•1000+3b•100+3×10+（10﹣d）．∴M千位上的数字是2a，百位上的数字是b，十位上的数字是c，个位上的数字是d，N千位上的数字是x，百位上的数字是3b，十位上的数字是3，个位上的数字是10﹣d．∴F（M）＝2a+b+c+d，F（N）＝x+3b+3+10﹣d＝x+3b+13﹣d．∵M，N均为“差双数”，∴（2a+b）﹣（c+d）＝2，（x+3b）﹣（3+10﹣d）＝2．∴2a+b＝2+c+d，x+3b＝15﹣d．∴F（M）＝2c+2d+2，F（N）＝28﹣2d．∴F（M）+F（N）﹣2＝2c+2d+2+28﹣2d﹣2＝2c+28，＝＝．∵F（M）+F（N）﹣2能被6整除，∴＝＝4+是整数．∵0≤c≤9，且c为整数，∴c＝1或c＝4或c＝7．当c＝1时，＝＝．∵为整数，1≤d≤9，d为整数，∴d＝2或d＝6；当c＝4时，＝＝．∵为整数，1≤d≤9，d为整数，∴d不存在；当c＝7时，＝＝．∵为整数，1≤d≤9，d为整数，∴d不存在．①c＝1，d＝2．∵2a+b＝2+c+d，∴2a+b＝5．∵1≤a≤4，0≤b≤3，∴a＝1，b＝3或a＝2，b＝1．∵x+3b＝15﹣d．当a＝2，b＝1，c＝1，d＝2时，x＝10，不符合题意，舍去．∴M＝2000a+100b+10c+d＝2312．②c＝1，d＝6．∵2a+b＝2+c+d，∴2a+b＝9．∵1≤a≤4，0≤b≤3，∴a＝3，b＝3．∴M＝2000a+100b+10c+d＝6316．∴满足条件的所有的M的值之和为：2312+6316＝8628．故答案为：3432，8628．8．一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定F（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，G（M）等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果F（M）＝60，那么M各数位上的数字之和为15；有一个四位正整数（0≤x≤8，0≤y≤9，0≤z≤8，且为整数）是一个“共进退数”，且F（N）是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N是1125．【解答】解：设M千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d．∴2（a+c）＝b+d．∵F（M）＝60，∴（10a+b）+（10c+d）＝60．∴10a+10c+b+d＝60．∴12a+12c＝60．∴a+c＝5．∴b+d＝2（a+c）＝10．∴a+b+c+d＝15；∵N＝+1000x+10y+z，∴N＝1×1000+1×100+1+1000x+10y+z＝1000（x+1）+1×100+y×10+（z+1）．∴N的千位上的数字为x+1，百位上的数字为1，十位上的数字为y，个位上的数字为z+1．∵N是一个“共进退数”，∴2（x+1+y）＝1+z+1．∴2x+2y＝z．∴F（N）＝[10（x+1）+1]+[10y+（z+1）]＝10x+10y+z+12＝5z+z+12＝6z+12．G（N）＝[10（x+1）+1]﹣[10y+（z+1）]＝10x﹣10y﹣z+10＝10x﹣10y﹣（2x+2y）+10＝8x﹣12y+10．∵F（N）是一个平方数，6z+12＝6（z+2），0≤z≤8，且为整数，∴z＝4．∴x+y＝2．∴x＝2﹣y．∴G（N）＝8（2﹣y）﹣12y+10＝26﹣20y．∴＝＝＝3﹣3y+．∵是一个整数，0≤y≤9，∴y＝2或9．当y＝2时，x＝0；当y＝9时，x＝﹣7（不合题意，舍去）．∴N＝1000（x+1）+1×100+y×10+（z+1）＝1125．故答案为：15，1125．9．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，∵23+69＝92，∴3296是“乘风破浪数”．则1341不是（填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去2c能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为8131．【解答】解：∵31+14＝45≠43，∴1341不是“乘风破浪数”．故答案为：不是；∵是一个乘风破浪数，，∴10b+a+10d+c＝10c+b，即a+9b﹣9c+10d＝0，∵一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两位数组成的两位数的差，再减去2c能被8整除，∴100a+10b+c﹣（10c+d）﹣2c＝100a+10b+c﹣10c﹣d﹣2c＝100a+10b﹣11c﹣d＝（12×8+4）a+（8+2b）﹣（8+3）c﹣d，∴4a+2b﹣3c﹣d能被8整除，∵a＝9c﹣10d﹣9b，∴4a+2b﹣3c﹣d＝4（9c﹣10d﹣9b）+2b﹣3c﹣d＝36c﹣40d﹣36b+2b﹣3c﹣d＝33c﹣41d﹣34b＝（4×8+1）c﹣（5×8+1）d﹣（4×8+2）b，∴c﹣d﹣2b能被8整除，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，当c＝8，b＝1，则d＝7，a＝9c﹣10d﹣9b＝81﹣70﹣9＝2，则2197，b为其他数时，不合题意，舍去；当c＝8，b＝1，则d＝6，a＝9c﹣10d﹣9b＝72﹣60﹣9＝3，则3186，当c＝7，b＝1，则d＝5，a＝9c﹣10d﹣9b＝63﹣50﹣9＝4，则4175，当c＝6，b＝1，则d＝4，a＝9c﹣10d﹣9b＝54﹣40﹣9＝5，则5164，当c＝5，b＝1，则d＝3，a＝9c﹣10d﹣9b＝45﹣30﹣9＝6，则6153，当c＝4，b＝1，则d＝2，a＝9c﹣10d﹣9b＝36﹣20﹣9＝7，则7142，当c＝3，b＝1，则d＝1，a＝9c﹣10d﹣9b＝27﹣10﹣9＝8，则8131，当c＝2，b＝1，则d＝8，则a＝9c﹣10d﹣9b＝18﹣80﹣9＜0，舍去，综上所述，最大值为8131．10．一个四位正整数若满足各个数位上的数字均不为0，且它的前两位数字组成的两位数与它的后两位数组成的两位数的乘积能被35整除，则称这个四位正整数为“三五数”．例如：四位数1225，∵12×25＝300，300不能被35整除．∴1225不是“三五数”；又如：四位数1425，∵14×25＝350，350能被35整除．∴1425是“三五数”．若m是最小的“三五数”，则m＝1135；若四位正整数是“三五数”，且满足a+b＝c+d，则满足条件的最大的“三五数”与最小的“三五数”之和为10119．【解答】解：设，∵能被35整除，且35＝5×7＝1×35，∴当中都不等于35时，那么能被7整除的时候，一定能被5整除或能被5整除的时候，一定能被7整除，∵两位数中能被7整除的数有14、21、28、42、49、56、63、77、84、91，98（除去35），能被5整除的数有15、25、45、55、65、75、85、95（除去35），∴此时组成的最小的四位数为1415；当中至少有一个数为35时，那么另一个数可以为任意的不被10整除的两位数，∴当要保证此时m最小时，则，即此时最小的四位数为1135；∴m＝1135；同理若四位正整数是“三五数”，则当中都不等于35时，那么能被7整除的时候，一定能被5整除或能被5整除的时候，一定能被7整除，∵两位数中能被7整除的数有14、21、28、42、49、56、63、77、84、91，98（除去35），能被5整除的数有15、25、45、55、65、75、85、95（除去35），当，不存在满足被5整除且满足a+b＝c+d；当，cd＝77，最大值应该为9577．当，只有时，满足a+b＝c+d，即此时的最大值为9155；当，不存在满足被5整除且满足a+b＝c+d；当，只有时，满足a+b＝c+d，即此时的最小组值为1542；当中至少有一个数为35时，∴a+b＝c+d＝8，∴此时满足题意得的最大值为7135，最小值为1735；∴最大的“三五数”为9577，与最小的“三五数”1542，∴和为9577+1542＝10119；故答案为：1135；10119．11．一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二阶数”．将“二阶数”R的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“二阶数”记为R′，记，例如：当R＝4212时，R′＝2421，则．已知两个“二阶数”，满足是一个完全平方数，且为整数，则a+b＝12，R﹣S的最大值为1809．【解答】解：∵，S＝，∴R＝1000a+100b+10c+d，R'＝1000b+100a+10d+c，∴R+R′＝1100a+1100b+11c+11d，∵千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，∴a+b＝2（c+d），∴，∴S＝1000×7+100m+10×4+n，S＝1000m+100×7+10n+4∴S+S＝7700+1100m+44+1ln，同理可得：7+m＝8+2n，即m＝2n+1，S+S′＝221ln+8844，，∵a、b、c、d是不完全相同的正整数且均不为零，∴a+b≤18，，是一个完全平方数，∴解得：a+b＝12或（舍去），∵＝＝为整数即为整数，∵m、n是正整数且均不为零，m＝2n+1，∴n≤4当n＝1时（不符合题意舍去），当n＝2时（符合题意），当n＝3时（不符合题意舍去），当n＝4时（不符合题意舍去），∴n＝2，m＝5，∴S＝7542，求R﹣S的最大值只需R最大，∵a+b＝12，c+d＝6，，∴a＝9，b＝3，c＝5，d＝1，∴R＝9351，∴R﹣S＝9351﹣7542＝1809，故a+b＝12，R﹣S＝1809．12．若一个三位正整数m＝（各个数位上的数字均不为0）满足a+b+c＝9，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记F（m）＝．如：m＝216满足2+1+6＝9，则216为“吉祥数”，那么n＝612，所以F（216）＝＝92．则最小的“吉祥数”是117；对于任意一个“吉祥数”m，若F（m）能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是351．【解答】解：（1）∵a+b+c＝9，各个数位上的数字均不为0，这个三位数要最小，∴百位上是1，十位上是1，∴个位是7，∴最小的“吉祥数”是117；（2）设m＝100a+10b+c，其中a+b+c＝9，则n＝100c+10b+a，∴F（m）＝＝＝＝＝101﹣9b，∵a+b+c＝9，且a，b，c均不为0，∴b＝1，2，37，当b＝1时，F（m）＝101﹣9×1＝92，不能被7整除，不合题意，当b＝2时，F（m）＝101﹣9×2＝83，不能被7整除，不合题意，当b＝3时，F（m）＝101﹣9×3＝74，不能被7整除，不合题意，当b＝4时，F（m）＝101﹣9×4＝65，不能被7整除，不合题意，当b＝5时，F（m）＝101﹣9×5＝56，能被7整除，符合题意，∴a+c＝4，∴，，，∴m＝153或252或351，当b＝6时，F（m）＝101﹣9×6＝47，不能被7整除，不合题意，当b＝7时，F（m）＝101﹣9×7＝38，不能被7整除，不合题意，∴满足条件的“吉祥数”m的最大值是315．故答案为：117，351．13．在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，则所有符合条件的N的最大值5662．【解答】解：设N的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为8﹣b，∴N＝5000+100a+10b+（8﹣b），∴N的“顺数”为50000+6000+100a+10b+（8﹣b）＝56008+100a+9b，N的“逆数”为50000+1000a+100b+60+（8﹣b）＝50068+1000a+99b，∴N的“顺数”与“逆数”之差为56008+100a+9b﹣（50068+1000a+99b）＝5940﹣900a﹣90b＝90（66﹣10a﹣b），∵N是“最佳拍档数”，∴90（66﹣10a﹣b）能被17整除，即66﹣10a﹣b能被17整除，∴66﹣10a﹣b＝17k，即10a+b＝66﹣17k（0≤k≤3，k为整数），由题意可得，0≤a≤9，0≤b≤8（a，b均为整数），当k＝0时，10a+b＝66，此时a＝6，b＝6，N＝5662当k＝1时，10a+b＝49，此时无合适的a，b值，当k＝2时，10a+b＝32，此时a＝3，b＝2，N＝5326，当k＝3时，10a+b＝15，此时a＝1，b＝5，N＝5153，综上，所有符合条件的N的值为5662，5326，5153，∴所有符合条件的N的最大值为5662．故答案为：5662．14．若一个各个数位的数字均不为零的四位数M满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”：将一个“间位等和数”的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B．令F（M）＝．若四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．则F（1573）＝，如果F（M）为完全平方数，那么M的最大值与最小值的差为8811．【解答】解：由题意得：A＝15，B＝73．∴F（1573）＝＝；∵四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，M为“间位等和数”，∴a+c＝b+d．∴A＝10a+b，B＝10c+d．∴F（M）＝＝＝＝．∵F（M）为完全平方数，各个数位的数字均不为零，∴a+c＝3或a+c＝12．∵求M的最大值，∴a，b均可以取最大值9，∴c，d均取3，∴最大值为9933．∵求M的最小值，∴a，b均可以取最小值1，∴c，d均取2，∴最小值为1122．∴M的最大值与最小值的差为：9933﹣1122＝8811．故答案为：，8811．15．如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为4437；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是9369．【解答】解：①∵是“跳跃数“，∴43+10m+7＝5（4+m+3+7），解得m＝4，∴这个数为4437；②设满足条件的“跳跃数”的最大值是，∴90+c+10b+d＝5（9+b+c+d），∴b＝﹣9，∵b，c，d是0～9中的整数，∴c+d＝15，b＝3，∴满足条件的“跳跃数”的最大值是，∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，且930+c﹣（300+10c+d）＝630﹣9c﹣d＝7（90﹣c）﹣（2c+d），∴2c+d是7的倍数，∵c+d＝15，∴c+15的7的倍数，∴c最大为6，∴d＝9，∴满足条件的“跳跃数”的最大值是9369；故答案为：9369．16．如果一个三位自然数的百位数字与1的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“差一数”．例如：726，∵7+1＝2+6，726是“差一数”．又如：632，∵6+1≠3+2，∴632不是“差一数”，则最小的“差一数”是102；若一个“差一数”P为，且P可以被5整除，又，且G（P）为整数，则满足条件的“差一数”P的最大值为560．【解答】解：最小三位数百位为1时，满足题意的十位数字与个位数字的和为2，∴十位为0，个位为2，∴三位数为102；“差一数”P满足a+1＝b+c，∴c＝a﹣b+1，∴＝＝＝2+，∵G（P）为整数，∴a+b+1为12的因数，想要让P大，∴a+b+1＝12，∴a+b＝11，∴P为928，836，744，652，560，∵P可以被5整除，∴P为560．故答案为：102；560．17．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+b+c＝d2；那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为2+6+1＝32，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为2+5+1≠42，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是8354；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N能被33整除，则满足条件的M的最大值是6213．【解答】解：由题意可得a+3+5＝42，解得a＝8，∴这个数为8354；设M＝1000a+100b+10c+d，则N＝1000b+100a+10d+c，a+b+c＝d2，∴M+N＝1100（a+b）+11（c+d）＝1100（d2﹣c）+11（c+d）＝1100d2+11d﹣1089c，∵M+N能被33整除，∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，∴是整数，∴d或d+1是3的倍数，∴d的可能值为：2，3，5，6，8，9．∵四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，∴d＝3．∴满足条件的数的M的最大值是6213．故答案为：8354；6213．18．对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数m1和一个最小数m2，规定F（m）＝，例如：m＝524，因为2＜5，2＜4，所以524是“义渡数”，且F（524）＝，则最小的“义渡数”是213；若三位自然数n＝100x+10y+z是“义渡数”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均为整数），且n的个位数字小于百位数字，F（n）+2x＝20，求满足条件的所有三位自然数n的最大值是978．【解答】解：由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213，故答案为：213．F（n）＝＝x﹣y，∵F（n）+2x＝20，∴x﹣y+2x＝20，∴y＝3x﹣20，∵y＜z＜x，∴当x＝7时，y＝1，若n最大，则z＝6，∴当x＝8时，y＝4，若n最大，则z＝7，∴当x＝9时，y＝7，若n最大，则z＝8，∴n的最大是978．故答案为：978．19．对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“弦月数”，当三位自然数为弦月数时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数m1和一个最小数m2，规定，例如：m＝524，因为2＜5，2＜4，所以524是“弦月数”，若m＝412．求F（412）＝3；若三位自然数n＝100x+10y+z是“弦月数”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均为整数），且n的个位数字小于百位数字，F（n）+3x＝15，求满足条件的所有三位自然数n的值是412或413．【解答】解：由“弦月数”得：F（412）＝＝3．∵x＞z＞y，∴F（n）＝＝x﹣y，∴x﹣y+3x＝15，∴x＝，当y＝1时，x＝4，∴n＝412或413．当y＝5时，x＝5，舍去．故答案为：3，412或413．20．若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“同七数”．已知M为一个“同七数”，且M可以被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），则可求出P（M）的值是9（请填入具体数字）．将M的个位数字与千位数字的差记为Q（M），并令G（M）＝，当G（M）是整数时，则满足条件M的最大值与最小值的差是2997．【解答】解：设M的千位数字是a，则个位数字是7﹣a，百位数字是b，则十位数字也是b，1≤a≤7，M＝1000a+100b+10b+7﹣a＝999a+110b+7，P（M）＝a+b+b+7﹣a＝2b+7．M可以被9整除，M＝999a+110b+7＝9（111a+12b）+2b+7，2b+7是9的倍数，又∵0≤b≤9，且b为自然数，7≤2b+7≤25，且2b+7是奇数，2b+7＝9，即P（M）＝9．解得：b＝1，又∵M的个位数字与千位数字的差记为O（M），即Q（M）＝7﹣a﹣a＝7﹣2a．G（M）＝＝，又∵1≤a≤7，且a为正整数，∴﹣7≤7﹣2a≤5，且7﹣2a是奇数，又∵G（M）是整数，∴7﹣2a＝﹣3或﹣1或1或3，解得：a＝5或4或3或2，∴M＝5112或4113或3114或2115．∴满足条件M的最大值与最小值的差是：5112﹣2115＝2997．故答案为：9；2997．21．若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是1001；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为8778．【解答】解：a取最小的正整数1，c取最小的整数0，则a+c＝b+d，b＝0，d＝1．∴最小的“交替数”是1001；根据题意知：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整数），a+c＝b+d．∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15＝15×1＝5×3，且0≤a≤9，0≤b≤9，∴或，解得或，∵a+c＝b+d．∴c﹣d＝b﹣a，∴c﹣d＝﹣1或c﹣d＝﹣3，∵c+d＝5k（k是正整数），∴c+d＝5或10或15，∴或或或或或，解得或或（舍去）或（舍去）或或，∴a＝8，b＝7，c＝2，d＝3，即8723；或a＝4，b＝1，c＝1，d＝4，即4114；或a＝8，b＝7，c＝7，d＝8，即8778；或a＝4，b＝1，c＝6，d＝9，即4169．故所有的“交替数”是